高中新課圓復(fù)習(xí)題集及解析引言圓是高中數(shù)學(xué)解析幾何的核心內(nèi)容，銜接平面幾何與代數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等重要思想。高考中，圓的考查形式涵蓋選擇、填空、解答題，涉及圓的方程、直線與圓/圓與圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用，占比約5%-10%。系統(tǒng)復(fù)習(xí)圓的知識(shí)，掌握解題方法，對(duì)提升數(shù)學(xué)成績(jī)至關(guān)重要。一、圓的方程：從標(biāo)準(zhǔn)到一般的轉(zhuǎn)化（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為\((a,b)\)、半徑為\(r\)的圓，方程為：\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\quad(r>0)\]特點(diǎn)：直接體現(xiàn)圓心與半徑，幾何意義明確。2.一般方程：圓的一般形式為：\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\quad(D^2+E^2-4F>0)\]配方后得標(biāo)準(zhǔn)方程：\[\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}\]圓心為\(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\)，半徑為\(\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)。3.求圓方程的方法：直接法：已知圓心和半徑，直接寫標(biāo)準(zhǔn)方程；待定系數(shù)法：已知三點(diǎn)或直徑端點(diǎn)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)/一般方程聯(lián)立求解；幾何法：利用垂直平分線交點(diǎn)（圓心）與半徑（圓心到點(diǎn)距離）求解。（二）典型例題例1：求過(guò)點(diǎn)\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(5,0)\)的圓的方程。解析：設(shè)一般方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，代入三點(diǎn)得：\[\begin{cases}D+2E+F=-5\\3D+4E+F=-25\\5D+F=-25\end{cases}\]消元得：\(D=-\frac{20}{3}\)，\(E=-\frac{10}{3}\)，\(F=\frac{25}{3}\)，故圓的方程為：\[3x^2+3y^2-20x-10y+25=0\quad(\text{或配方為標(biāo)準(zhǔn)方程})\]例2：已知圓的直徑端點(diǎn)為\(P(2,3)\)、\(Q(4,5)\)，求圓的方程。解析：圓心為直徑中點(diǎn)\((3,4)\)，半徑為\(\frac{1}{2}\vertPQ\vert=\sqrt{2}\)，故標(biāo)準(zhǔn)方程為：\[(x-3)^2+(y-4)^2=2\]（三）鞏固練習(xí)1.圓心在直線\(y=2x\)上，過(guò)點(diǎn)\(A(1,3)\)、\(B(3,1)\)，求圓的方程。（答案：\(x^2+y^2=10\)）2.圓的一般方程為\(x^2+y^2-6x+8y-11=0\)，求圓心和半徑。（答案：圓心\((3,-4)\)，半徑6）二、直線與圓的位置關(guān)系：幾何法與代數(shù)法的選擇（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.位置關(guān)系判定：幾何法：圓心到直線距離\(d\)與半徑\(r\)比較：\(d<r\)：相交（2個(gè)交點(diǎn)）；\(d=r\)：相切（1個(gè)交點(diǎn)）；\(d>r\)：相離（0個(gè)交點(diǎn)）。代數(shù)法：聯(lián)立方程得一元二次方程，判別式\(\Delta\)：\(\Delta>0\)：相交；\(\Delta=0\)：相切；\(\Delta<0\)：相離。2.切線方程：圓上點(diǎn)\((x_0,y_0)\)的切線：\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)；圓外點(diǎn)的切線：設(shè)點(diǎn)斜式，利用圓心到直線距離等于半徑求解（注意斜率不存在的情況）。3.弦長(zhǎng)公式：幾何法：\(l=2\sqrt{r^2-d^2}\)（\(d\)為圓心到直線距離）；代數(shù)法：\(l=\sqrt{1+k^2}\cdot\vertx_1-x_2\vert\)（\(k\)為直線斜率，\(x_1,x_2\)為交點(diǎn)橫坐標(biāo)）。（二）典型例題例1：求過(guò)點(diǎn)\(P(2,3)\)與圓\((x-1)^2+(y-2)^2=1\)相切的直線方程。解析：點(diǎn)\(P\)到圓心距離\(\sqrt{2}>1\)，故有兩條切線；設(shè)切線方程為\(y-3=k(x-2)\)，利用圓心到直線距離等于半徑得\(k=0\)，對(duì)應(yīng)直線\(y=3\)；斜率不存在時(shí)，直線\(x=2\)，驗(yàn)證為切線（圓心到直線距離1）。結(jié)論：切線方程為\(x=2\)和\(y=3\)。例2：求直線\(3x+4y+5=0\)與圓\(x^2+y^2=4\)的弦長(zhǎng)。解析：圓心到直線距離\(d=1\)，半徑\(r=2\)，弦長(zhǎng)\(l=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3}\)。（三）鞏固練習(xí)1.直線\(x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2-4x+2y-4=0\)的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)。（答案：相交，弦長(zhǎng)\(2\sqrt{2}\)）2.過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)作圓\(x^2+y^2=5\)的切線方程。（答案：\(x+2y=5\)）三、圓與圓的位置關(guān)系：圓心距與半徑的博弈（一）知識(shí)點(diǎn)回顧設(shè)兩圓圓心為\(O_1,O_2\)，半徑\(r_1,r_2\)，圓心距\(d=\vertO_1O_2\vert\)，則：\(d>r_1+r_2\)：外離；\(d=r_1+r_2\)：外切；\(\vertr_1-r_2\vert<d<r_1+r_2\)：相交；\(d=\vertr_1-r_2\vert\)：內(nèi)切；\(d<\vertr_1-r_2\vert\)：內(nèi)含。公共弦方程：兩圓方程相減（僅當(dāng)相交時(shí)，此直線為公共弦所在直線）。（二）典型例題例1：判斷圓\(C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=4\)與\(C_2:(x+2)^2+(y+1)^2=9\)的位置關(guān)系，并求公共弦方程。解析：圓心距\(d=3\sqrt{2}\approx4.24\)，\(r_1+r_2=5\)，\(\vertr_1-r_2\vert=1\)，故相交；兩圓方程相減得公共弦方程：\(6x+6y-5=0\)。例2：求圓\(x^2+y^2=1\)與\(x^2+y^2-2x-2y+1=0\)的公共弦長(zhǎng)。解析：公共弦方程：\(x+y=\frac{1}{2}\)；圓心到直線距離\(d=\frac{\sqrt{2}}{4}\)，半徑\(r=1\)，弦長(zhǎng)\(l=2\sqrt{r^2-d^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}\)。（三）鞏固練習(xí)1.判斷圓\(C_1:(x-2)^2+(y+1)^2=5\)與\(C_2:(x+1)^2+(y-2)^2=4\)的位置關(guān)系。（答案：外離）2.求兩圓\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)與\((x-3)^2+(y-4)^2=9\)的公共弦方程。（答案：\(4x+4y-15=0\)）四、圓的綜合應(yīng)用：思想方法的融合（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.最值問(wèn)題：圓上點(diǎn)到直線距離最值：\(d_{\text{max}}=d_{\text{圓心到直線}}+r\)，\(d_{\text{min}}=\vertd_{\text{圓心到直線}}-r\vert\)；圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值：\(d_{\text{max}}=d_{\text{圓心到定點(diǎn)}}+r\)，\(d_{\text{min}}=\vertd_{\text{圓心到定點(diǎn)}}-r\vert\)。2.與其他知識(shí)結(jié)合：如向量（圓上點(diǎn)的向量表示）、函數(shù)（圓的參數(shù)方程）、不等式（圓內(nèi)點(diǎn)的條件）等。（二）典型例題例1：求圓\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)上的點(diǎn)到直線\(3x+4y+5=0\)的距離最值。解析：圓心到直線距離\(d=\frac{16}{5}=3.2\)，半徑\(r=2\)，故最大值\(\frac{26}{5}\)，最小值\(\frac{6}{5}\)。例2：求圓\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)上的點(diǎn)到點(diǎn)\(P(0,0)\)的距離最值。解析：圓心到\(P\)的距離\(d=\sqrt{13}\)，故最大值\(\sqrt{13}+1\)，最小值\(\sqrt{13}-1\)。（三）鞏固練習(xí)1.圓\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)上的點(diǎn)到直線\(2x-y+1=0\)的距離最大值。（答案：\(\sqrt{5}+3\)）2.圓\(C:(x-1)^2+(y-2)^2=25\)上到直線\(l:2x-y+3=0\)距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。（答案：4個(gè)）五、總結(jié)與備考建議（一）核心思想總結(jié)1.數(shù)形結(jié)合：用幾何性質(zhì)（圓心、半徑、距離）簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算（如幾何法判斷位置關(guān)系、求弦長(zhǎng)）；2.轉(zhuǎn)化與化歸：將綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知模型（如最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心距離加減半徑）；3.函數(shù)與方程：設(shè)變量建立方程（如待定系數(shù)法求圓