專題22直角三角形【十六大題型】

?題型梳理

【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】...............................................................1

【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】..........................................................7

【題型3利用勾股定理求解】....................................................................12

【題型4判斷勾股數(shù)問題】......................................................................16

【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】..................................................................19

【題型6利用勾股定理解決折疊問題】...........................................................25

【題型7勾股定理與無理數(shù)】....................................................................33

【題型8利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】.....................................................35

【題型9勾股定理的證明方法】.................................................................42

【題型10以弦圖為背景的計(jì)算】.................................................................47

【題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】.......................................................53

【題型12利用勾股定理解決實(shí)際問題】...........................................................56

【題型13在網(wǎng)格中判定直角三角形】.............................................................60

【題型14利用勾股定理逆定理求解】.............................................................66

【題型15圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】.................................................70

【題型16用勾股定理解決實(shí)際生活問題】.........................................................75

，舉一反三

【知識點(diǎn)直角三角形】

①在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

②在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

③勾股定理：如果直角三角形的兩條宜角邊長分別為ab,斜邊長為c,那么/+b2=c2。

④勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長ab.c滿足。2+〃n2,那么這個三角形是直角三角形。

【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】

【例1】（2023?內(nèi)蒙古包頭?包頭市第三十五中學(xué)?？既＃┤鐖D，在正方形48CZ）中，點(diǎn)E、尸分別在邊CD,BC

上，且DE=C/，連接平分，力D"交48于點(diǎn)G,gz/FD=70°,則/力GD的度數(shù)為

AD

oBF:。

【答案】55755度

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得4。=OC,^ADE=ZC=^DAG=90°,AD\\BC,從而證明△ADE三4

DCF(S/1S),得乙4ED=ZDFC=LADF=70。，再由角平分線的定義可得"DG=^ADF=35°,再根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???四邊形480)是正方形，

：.AD=DC,^ADE=乙(？=LDAG=90。，AD\\BC,

：,^ADF=乙DFC,

在AADE和△DC/中，

(AD=DC

(DE=CF

：,4ADE三XDCF(SAS),

：,LAED=Z.DFC=Z.ADF=70°,

：。6平分乙4。?，

???4叫皿=35。,

：.^AGD=90°-Z-ADG=55°,

故答案為：55°.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)，熟練學(xué)

握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△ADE-△DC尸是解胭的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023?北京平谷?統(tǒng)考一模)如圖，RtUBC中,乙4cB=90。,CD14B于點(diǎn)，則下列結(jié)論不

一定成立的是()

A.41+42=90°B.Z1=30°C.Z1=Z4D.z2=Z3

【答案】B

【分析】借助直角三角形兩銳角互余，依次判斷即可.

【詳解】解：RtzMBC中，

=90°,

Azi+Z2=90°,故A正確；

,:CDLAB,

：,LADC=Z.CDB=90°,

Azi+Z3=90°,

*：LACB=90°,

Az3+z4=90°

???41二44,故C正確；

?：HDB=90°,

?"2+/4=90°,

Vz3+z4=90°

.\Z2=Z3,故D正確；

???4I不一定是30。，故B符合題意

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)直角三角形兩銳角互余這一性質(zhì)來解題是關(guān)鍵.

【變式1-2](2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模)如圖，分別以△ABC的邊4C和48向外作等腰口△R￡和等腰內(nèi)△

點(diǎn)M、N分別是BC、CE中點(diǎn)，若MN=23則四邊形BCED的面積為一.

【答案】24

【分析】連接BE,CD交于點(diǎn)H,根據(jù)三角形中位線定理可得BE=2MN=4>/5,然后證明

￡MC(SAS),可得BE1CD,再利用對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接BE,CO交于點(diǎn)H,BE交AD于G,

?:點(diǎn)M、N分別是BC、1中點(diǎn)，MN=2V3,

:.BE=2MN=4百，

在等腰Rt△力CE和等腰AB=AD,AE=AC,LBAD=LCAE=90°,

:.4BAD+Z.DAE=￡.CAE+Z.DAE,

???Z.BAE=Z.DAC,

在A84E和ADAC中，

(AB=AD

△BAE=Z.DAC,

(AE=AC

.??△84E三ZkZZ4c(SAS),

:.BE=DC>Z.ABE=Z.ADC>

v/.ABE+Z.BGA=90°,

AAADC+ABGA=90°,

???Z.BGA=乙DGH,

:.Z.ADC+乙DGH=90°,

???Z.DHG=90°,

:.BE1CD,

???BE=DC=4百，

???四邊形8CED的面積=；xBE?CD=；x48x48=24.

故答案為:24.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，對角線互相垂直的四邊形面枳，三

角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是得到^BAE-△DAC.

【變式1-3](2023?河南信陽?二模)【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點(diǎn)。重疊在一起.如圖2周

定三角板4。8,將三角板COD繞點(diǎn)。以每秒15。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為￡秒，當(dāng)。。邊與。8邊重合時

停止轉(zhuǎn)動.

A

【解決問題】

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛?1。。、之間的數(shù)量關(guān)系：

⑵當(dāng)運(yùn)動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

（3）當(dāng)乙AOC、乙力08、4B0C中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線。。是心力。8的“優(yōu)線”，請直接寫

出所有滿足條件的t值.

【答案】（1），40c+乙BOD=180°

（2）有,0。平分乙4。8,。8平分NC00,理由見解析

(3)(=2,3,4,9,12

【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫出圖形可得結(jié)論;

（2）依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計(jì)算出角的度數(shù)可得解；

（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得t的值.

【詳解】（1）解：①如圖，Z.A0C+Z.B0D=180°,理由如下:

由題意得，=90°—440C,4C0B=90°—匕A0C.

/.Z.AOC+Z-BOD=Z.AOC+Z.D0A+/.AOC+乙COB

=LAOC+90°-Z-AOC+^AOC+90°-^AOC

=180°,

oB

②如圖，/.AOC+^BOD=180°,理由如下：

由題意得，/。。力=90°—乙COB=90。一乙DOB.

：,LAOC+乙BOD=Z.DOA+Z.DCB+乙COB+乙BOD

=90。-乙DOB+乙DOB+90°-2DOB+乙BOD

=180°,

綜上，Z-AOC+乙BOD=180°.

故答案為：^AOC+乙BOD=180°；

(2)解：有，。“平分上A08,。8平分NCOO.

如圖所示，理由如下：

當(dāng)運(yùn)動時間為9秒時，LAOC=15°x9=135%

:.乙BOC=/-AOC-/,AOB=135。-90°=45°.

?:乙COD=90°,

???乙BOD=乙COD-LBOC=90°-45°=45°,

工乙BOC=CBOD=45°,

平分NCOO,

,:&BOD-450--A2AOB,

.??00平分4/。&

⑶解:由題意得，乙408=90。,Z,AOC=（15t）°.

當(dāng)=24力。C時，LAOC=30°,

A15t=30,解得￡=2：

當(dāng)4AOB=24AOC,OC在乙力。8內(nèi)部時，Z.AOC=45°,

/.15t=45,解得￡=3；

當(dāng)/HOC=2/BOC日寸，Z-AOC=60°,

/.15t=60,解得￡=4；

當(dāng)，40B=2/BOCH寸，Z.AOC=135°,

A15t=135,解得￡=9；

當(dāng)/40C=24/。8時，Z.AOC=180°,

=180,解得t=12；

綜上，t=2,3,4,9,12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會分類討論是解題的關(guān)鍵.

【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】

【例2】（2023?福建漳州?統(tǒng)考一模）在下列條件中：①41+匕8=NC,②=1:5:6,③〃=90°-

乙8,④44=乙8=乙。中，能確定△A5C是直角三角形的條件有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，能證明有一個角是90度即可確定△48C是直角三角形.

【詳解】解：由三角形內(nèi)角和定理得乙力+乙B+乙C=180。，

①當(dāng)乙A+乙8=乙。時，24C=180°,LC=90°,能確定△ABC是直角三角形；

②當(dāng)乙4:48:4C=1:5:6時，4C=」一x180°=90°,能確定AABC是直角三角形；

1+5+6

③當(dāng)41=90。一乙8時，乙力+乙8=乙。=90。，能確定△48。是直角三角形；

④當(dāng)/力=48=乙（7時，44+乙8=乙。=60。，不能確定△48。是直角三角形；

綜上可知，能確定△力8。是直角三角形的條件有3個，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三珀形內(nèi)角和定理.

【變式2-1］（2023?陜西西安?一模）如圖，已知銳角三角形ABC,用尺規(guī)作圖法在BC上作一點(diǎn)P,使得+

4P,4B=90。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】過點(diǎn)4作API8C于點(diǎn)尸，點(diǎn)P即為所求.

【詳解】解:如圖，點(diǎn)P即為所求.

乙APB=90°,

???乙B+乙PAB=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

【變式2-2］（2023?湖北武漢?校考模擬預(yù)測）如圖，。。經(jīng)過△人"的頂點(diǎn)力，C及48的中點(diǎn)D,一旦D是配1的

中點(diǎn).

（1）求證：△48C是直角三角形；

（2）若。。的半徑為1,求工的值.

【答案】（I）證明見解析

（2）4

【分析】（1）連接CD,根據(jù)。是此的中點(diǎn)，可得ZM=DC,所以2ZMC=NDC4,再根據(jù)點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

可推得DC=D8,所以NB=ZDCB,然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；

<2）連接。。并延長交。。于點(diǎn)E,迂接/1E,證明△//）￡-△C41,可得*=震，代入值即可解決問題.

CBBA

【詳解】（1）證明：如圖，連接CD,

???o是左f的中點(diǎn)，

：.DA=DC,

：,LDAC=/,DCA,

???點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，

：.DA=DB,

：.DC=DB,

*.LB=Z.DCB,

*：LBAC++Z.ACB=180°,

：,LBAC+々8+Z.DCA+乙DCB=180°,

：,2Z-BAC+2Z,B=180°,

：,LBAC+LB=90。，

??.AABC是直角三角形；

（2）解：如圖，連接。。并延長交。0于點(diǎn)E,連接力E,

???0E是。。的直徑，

：.LDAE=90°,

是此的中點(diǎn)，

：.AD=CD,

：.LDEA=Z.BAC,

'：￡DAE=￡BCA=90°,

AADECBA9

?ADDE

?C?BBA,

???0。的半徑為1,點(diǎn)。是48的中點(diǎn),

：,DE=2,AD=-2AB,

.迦二三

''BCABf

??\AB2=2BC,

：.AB2=4BC,

：.AB2\BC=4.

B

E

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形再似的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?湖南邵陽?統(tǒng)考一模)如圖，己知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為4(1,1),且與直線y=x-2

⑴求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求證：△A8C是直角三角形；

(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN_Lx軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以。，M,N為頂點(diǎn)的

三角形與△ABC相似？若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=-/+2x；。（一1,-3）

Q）見解析

（3）存在，N點(diǎn),其坐標(biāo)為0）或0,0）或（一1,0）或（5,0）

【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C’點(diǎn)

坐標(biāo)；

（2）分別過人、。兩點(diǎn)作工軸的垂線，交工軸于。、E兩點(diǎn)，得出△8EC和△408為等腰直角三角形,進(jìn)而可

得出4力BC=90。,即可得到答案；

（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)AMON和相似時，利用

三角形相似的性質(zhì)可得翳=篝或籍=黑，可求得乂點(diǎn)：的坐標(biāo).

【詳解】（1）???頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）,

???設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+1,

乂1?拋物線過原點(diǎn)，

.\0=a（0-l）2+l,

解得Q=-1,

...拋物線的解析式為y=-（X-1）2+1,即y=一避+2X,

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得P=一/+2”，

（y=x-2

，B（2,0）,C（-1,-3）；

（2）如圖，分別過4、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于。、E兩點(diǎn)，

MZD=OD=BD=1,8E=OB+OE=2+1=3,EC=3,

AA/1D5^1ABEC為等腰直角三角形，

：,LABO=Z.CBO=45°,^LABC=90°,

JAABC是直角三角形；

（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為0,0）或《,0）或（一1,0）或（5,0）,理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M

設(shè)/V5。）,則M（%-L+ZX）,

2

：.0N=\x\fMN=\-x+2x|,

由（2）在RtZiABD和RtZkCEB中，可分別求得力8=VLBC=3雙,

〈AIN_￡無軸于點(diǎn)乂

：,LABC=乙MNO=90°,

:.當(dāng)4時/70和4ABC相似時有黑=黃或黑=等，

①當(dāng)翳=翳時，則有上等*=界，即|訃IT+2|=”訃

???當(dāng)x=0時，M、0、N不能構(gòu)成三角形，

H0,

\—x+2|=^,即一無+2=±],

解得或此時N點(diǎn)坐標(biāo)為e，o）或（，o）；

②當(dāng)翳=黑時，則有上筍二皆即田?|T+2|=3|R.

/.|-x+2|=3,

BP-x+2=±3,解得*=-1或％=5,此時N點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,0）或（5,0）.

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為C，0）或（go）或（-1,0）或（5,0）.

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問題、直角三角形的判定、勾

股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等.在（I）中注意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在（3）中設(shè)出N、M的

坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對應(yīng).本題考查知

識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度稍大.

【題型3利用勾股定理求解】

【例3】（2023?廣東?模擬預(yù)測）如圖，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,。是矩形的對稱中心，點(diǎn)E、W分

別在邊力。、Z7C上，連接。？、OF,若“￡=Z?"=2,則?！晔闹禐椋ǎ?/p>

j工ED

BFC

A.2V2B.5V2C.V5D.2V5

【答案】D

【分析】連接AC,BD,過點(diǎn)。作。Ml4。于點(diǎn)M,交8c于點(diǎn)N,利用勾股定理求得0E的長即可解題.

【詳解】解：如圖，連接AC,BD,過點(diǎn)。作。M_L4O于點(diǎn)M,交RC于點(diǎn)N,

???四邊形A8C。是矩形，

0A=0D=0B

0M1AD

：.AM=DM=3

1

:.OM==2

???AE=2

EM=AM-AE=1

OE=JEM?+o“2=5”=Vs

同理可得。/=V5

:.OE+OF=2V5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

【變式3-1](2023?河北保定?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(1,2),8(-3,6),當(dāng)線段48最短時，b的

值為()

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得b的值.

【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得：

AB=，（一3一1產(chǎn)+俗-2尸=,16+（匕-2）2,

當(dāng)七=2時，48有最小值，最小值為4.

因此當(dāng)匕=2時，48最短，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)問題、二次函數(shù)的最值，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2】（2023上?遼寧沈陽?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形A8CO的對角線力C,BD交于點(diǎn)O.若

AC180,AB=4,CD=V5,則8c?+力。2=

【答案】21

【分析】根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】解：?.?4C?L80,718=4，CD=V5,

.?.在Rt△力。B中，。42+。呂2=/#=42=16,

.?.在C。。中，0c2+0D2=CD2=（V5）2=5,

又?.在Rt△力00中，OA2+OD2=AD2,

在RtaBOC中，OB2+OC2=BC2,

:.BC2+AD2

=（OB2+0c2）+（0不+。*

=（OB2+。爐）+（0C2+。屏）

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023?河南濮陽?統(tǒng)考三模）如圖，在△48。中，^BAD=90°,AB=2,AD=2>/3,將AB繞點(diǎn)

4逆時計(jì)旋轉(zhuǎn)。度（OvaV90）,得到4P,當(dāng)是等腰三角形時，點(diǎn)。到力。的距離為.

【答案】詈或I

【詳解】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=4,

再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=AP=2,然后分兩種情況：當(dāng)。4=00時；當(dāng)。時；最后分別進(jìn)行計(jì)

算，即可解答.

【解答】解：???乙BAD=90°,AB=2,AD=2百，

BD=>JAB2+AD2=J22+(2百尸=4,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AP=2,

分兩種情況：

當(dāng)ZM=DP時，如圖：

過點(diǎn)。作。尸14P,垂足為F,過點(diǎn)P作戶垂足為E,

：.AF=FP=^AP=1,

:.DF=y/AD2-AF2=J(2^3)2-I2=/IL

???△40P的面積=\ADPE=^APDF,

:.2>/3PE=2XVil,

解得：PE=亨，

???點(diǎn)戶到力。的距離為尊

當(dāng)PA=P。時,如圖:

D

當(dāng)點(diǎn)P落在8。的中點(diǎn)時，則BP=80=2,

???PA=PD=2,PG1AD,

:.AG=DG,

PG是△4BD的中位線，

:.PG=\AB=1,

???點(diǎn)P到AZ）的距離為1；

綜上所述：點(diǎn)P到力。的距離為孚或1.

故答案為：苧或1.

【題型4判斷勾股數(shù)問題】

【例4】（2023?四川瀘州?統(tǒng)考二模）倜髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世

紀(jì).《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）

和4（股）時，徑隅（弦）則為5,后人簡單地把這個事實(shí)說成“勾三股四弦五”.觀察下列勾股數(shù)：3,4,5：

5,12,13；7,24,25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，

弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；...?若某個此類勾股數(shù)的勾為16,則其弦是.

【答案】65

【分析】根據(jù)題意可得，勾為為偶數(shù)且mN4,根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論.

【詳解】解?：根據(jù)題意可得，勾為m（為偶數(shù)且m"）,則另一條直角邊得了一1,弦居丫+1.

則弦為.（T）+1=65,

故答案為：65.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式4-1】（2023?黑龍江牡丹江??？寄M預(yù)測）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長

為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三

角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2015次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”

上所有正方形的面積和為

【分析】運(yùn)用歸納的方法，根據(jù)勾股定理，先求出前幾次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和，然

后找到變化的規(guī)律，猜測第〃次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面枳和，從而獲解.

【詳解】解：生長之前面枳設(shè)為So,第〃次“生長”后的面積為Sn,

:.S)=a2,

Si=標(biāo)+。2=2a2,

22

S2=2Q2+a=3a,

Sn=(n4-1)Q2,

22

當(dāng)英=2015時，52OOO=(2015+l)a=2016a；

故答案為:2016a2.

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律、勾股定理，正確理解題中圖形的變化規(guī)律、準(zhǔn)確用代數(shù)式表示規(guī)律是解

答此題的關(guān)鍵.

【變式,4-2](2023?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題)勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上

第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)。，b,c,其中a,b均小于c,a=

-1，c=4-pm是大于1的奇數(shù)，則6=(用含m的式子表示).

【答案】m

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到a,b為直角邊，c為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到人的

值.

【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)小人,c,其中a,b均小于c,

:為直角邊，c為斜邊，

222

???a+b=cf

(；m2->2+川=("2+'2,

得到2m4--m2+-+b2=-m4--m2+-,

424424

.?.反=m2,

:.b=±77l?

???是大于1的奇數(shù)，

；.b=m.

故答案為：m.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚a,b為直角邊，c為斜邊是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3】(2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題)《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾

股數(shù)a,b,c的計(jì)算公式：。=1(田2一月2),b=mv,c=4-n2),其中m,ri是互質(zhì)的奇

數(shù).下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是()

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

【答案】C

【分析】首先證明出。2+/=。2,得到〃，人是直角三角形的直角邊然后由m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù)

逐項(xiàng)求解即可.

【詳解】Va=l(m2-n2),b=mn,c=1(7n2+n2),

22222222222

Aa+b=[|(m-n)]+(mr)=^(m-n)+mn=+如2n2+

Vc2=\-(m2+n2)]=-(m2+n2)2=-m4+-m2n2+-n4,

L2J4424

.*.G2+b2=c2.

???a,。是直角三角形的直角邊，

Vm,n是71質(zhì)的奇數(shù),

/.A.3=1x3,

22

工當(dāng)m=3,n=l時，a=；(血2一九2)=%-mn_3,c=A(m+n)=5,

???3,4,5能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出；

B.5=1x5>

2

.?.當(dāng)771=5,九=1時，Q=：(血2—/2)=12,/7=mn—5,c=4-n)=13,

.??5,12,13能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出；

C.6=2x3,8=2x4,

Vm,九是互質(zhì)的奇數(shù)，

???6,8,10不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出;

D.7=1x7,

???當(dāng)m=7,71=1時，a=—n2）=24,b=mn=7,c=1（m2+n2）=25,

：?7,24,25能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)的應(yīng)用，通過m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù)這兩個條件去求得符合題意的t的

值是解決本題的關(guān)鍵.

【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】

【例5】（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟I：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；

步腺2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：

圖1圖2

⑴直接寫出紙板上與紙盒上N&BC的大小關(guān)系;

⑵證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【答案】⑴乙4BC=〃MiG

（2）證明見解析.

【分析】（1）△ABC和AA181cl均是等腰直角三角形，乙力8C=乙4道￡=45。；

（2）證明△ABC是等腰直角三角形即可.

【詳解】（1）解：乙43。=乙4181G

(2)證明：連接/C,

c

設(shè)小正方形邊長為1,則4C=BC=712+22=V5,AB=Vl2+32=V10,

vAC2+BC2=5+5=482,

為等腰直角三角形，

A1C1=B1C1=1,41cl1B[Ci，

???AA]81G為等腰直角三角形，

???/.ABC=乙4]8心=45°,

故〃BC=N&BiG

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在2x4的方格紙力BC。中，每個小方格的邊長為1.已

知格點(diǎn)P,請按要求畫格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上).

A-----r---r---T---------

：：

???

■???

8…'-'…二C

(1)在圖中畫一個等腰三角形PEF,使底邊長為近，點(diǎn)E在8C上，點(diǎn)尸在4D上，再畫出該三角形繞矩形48CD

的中心旋轉(zhuǎn)180。后的圖形.

(2)在圖中畫一個Rt△0、/?,使NP=45。，點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)R在4D上，再畫出該三角形向右平移1個單位

后的圖形.

【答案】(I)見解析

(2)見解析

【分析】(1)底邊長為魚即底邊為小方格的對角線，根據(jù)要求面出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在

格點(diǎn)上的頂點(diǎn)即可得到等腰△PEF,然后根據(jù)中心旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出繞矩形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)180。后的圖形.

(2)根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，按要求構(gòu)造等腰直角三角形，然后按平移的規(guī)律作出平移后圖形即可.

【詳解】(1)(1)畫法不唯一，如圖1(PF=6、PE=EF=回，或圖2(PE=&PF=EF=后).

【點(diǎn)睛】本題主要考查「格點(diǎn)作圖，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，靈活畫出相等的線段和互相近直或平行的

線段.

【變式5-2](2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)

均為格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn)).

(1)畫出線段48關(guān)于直線CD對稱的線段4Bi；

⑵洛線段48向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段&B2,畫出線段42%；

(3)描出線段為8上的點(diǎn)M及直線CD上的點(diǎn)N,使得直線MN垂直平分A8.

【答案】(I)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到4B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)，連接4,區(qū),則線段48]即為所求;

<2)根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段&&即為所求；

（3）勾股定理求得4M=BM=Vl2+32=V10,MN=Vl2+3Z=同,則AM=MN證明△NPMMQ4

得；I"NMP+乙4MQ=90。，則4M_LMN,則點(diǎn)M,N即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，線段為反印為所求；

（2）解；如圖所示，線段公%即為所求;

如圖所示,

VZM=BM=V12+32=710,MN=V12+32=同,

.MM=MN,

又NP=MQ=1,MP=AQ=3,

工么NPM三AMQA,

LNMP=4M4Q,

又/M4Q+Z.AMQ=90°,

?"NMP+乙4MQ=90°

：.AM1MN,

???AIN垂直平分力從

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3】(2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題)圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊

長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)4、8均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中

按下列要求作△4BC,點(diǎn)C在格點(diǎn)上.

(1)在圖①中，的面枳為去

(2)在圖②中，△/18C的面積為5

(3)在圖③中，△4BC是面積為3的盹角三角形.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

(3)見解析

【分析】(1)以力B=3為底，設(shè)45邊上的高為歸依題意得S-8c=?h=￡解得九=3,即點(diǎn)C在上

方且到力〃距離為3個單位的線段上的格點(diǎn)即可；

(2)由網(wǎng)格可知，48=、32+12=/歷,以48=aU為底，設(shè)邊上的高為h,依題意得S08c=4人8?/1=

5,解得h=VTU,將繞A或8旋轉(zhuǎn)90。，過線段的另一個端點(diǎn)作48的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C；

(3)作6。=46=%，過點(diǎn)。作COMB,交丁格點(diǎn)C,連接A、B、C即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，

以58=3為底，設(shè)力B邊上的高為h,

依題意得：sAABC=\AB-/I=I

解得：h=3

即點(diǎn)C在力B上方且到48距離為3個單位的線段上的格點(diǎn)即可，

答案不唯一；

(2)由網(wǎng)格可知，

AB=&+#=/io

以/18=aU為底，設(shè)邊上的高為山

依題意得：?h=5

解得：h=VTo

將53繞4或8旋轉(zhuǎn)90°,過線段的另一個端點(diǎn)作力B的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，

答案不唯一,

（3）如圖所示，

作8D=AB=?過點(diǎn)。作CDIIAB,交于格點(diǎn)C,

圖③

由網(wǎng)格可知，

BD=AB=V22+I2=V5,AD=Vw,

???A718。是宜角三角形，且481.B0

*：CD\\AB

：^ABC=\AB-BD=\.

【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形的高的有關(guān)計(jì)算：解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)

格作平行線或垂直.

【題型6利用勾股定理解決折疊問題】

【例6】（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形力BCD的邊AD=5,。4:0。=1:4,將

矩形/BCD沿直線0E折疊到如圖所示的位置，線段。，恰好經(jīng)過點(diǎn)8,點(diǎn)C落在y軸的點(diǎn)G位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)

是（）

C.(V5-1,2)D.(1-V5,2)

【答案】D

【分析】首先證明4力。8?△D】GO,求t!M8=CD=2,連結(jié)0C,設(shè)BC與。C1交于點(diǎn)R然后求出0C=

0C：=2通，可得GF=2次一2,再用含E"的式子表示出EC】，最后在RtAEFC1中，利用勾股定理構(gòu)建方

程求出EF即可解決問題.

【詳解】解：二?矩形4。。。的邊4。=5,OA.OD=1:4,

：.0A=1,0D=4,BC=5,

由題意知4BII0G，

/.LABO=Z.D1OC1,

又?：乙BAO=乙。。1。1=90°,

:.AAOB~k0[C]O,

?OA_Dig

**AB~ODi)

由折疊知OOi=0D=4,DC=DC=AB,

.1AB

??一=—>

AB4

：.AB=2,即CD=2,

連接。。，設(shè)8。與OU】交于點(diǎn)R

:.0C=Wl)2+CL)2=V42+Z2=zV5,

VzFO/l=40/18=乙ABF=90°,

???四邊形。力BF是矩形，

：.AB=0F=2,乙BFO=90°=乙EFg,OA=BF=1,

，CF=5-1=4,

由折疊知。G=0C=2V5,EC1=EC=CF-EF=4-E尸,

：?(\F=0￡-OF=2遙—2,

???在RtAEFQ中，EF2+GF2=EQ2,

AFF2+(2V5-2『=(4-EF)2,

解得：EF=炳-1,

工點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1一遍,2),

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識,

通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出48的長是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E、尸分別在邊4。、BC

上，將正方形沿著“翻折，點(diǎn)B恰好落在CO邊上的點(diǎn)8'處，如果四邊形與四邊形EFCD的面積比為

3：5,那么線段尸C的長為.

【分析】連接8夕，過點(diǎn)尸作FH_LAD于點(diǎn)H,設(shè)=則OH=%,則BF=1—%，根據(jù)已知條件，分別表

示出證明△EHF三△B'CB(ASA),得出￡7/=B'C=三一2x,在Rt△eFC中，BlF2=B'C2+

4

CF2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接89，過點(diǎn)尸作FH1力。于點(diǎn)H,

???正方形48。。的邊長為I,四邊形力B/E與四邊形的面積比為3:5,

???5四邊如8/￡="1=￡

設(shè)CF=%,則0H=%,則8r=1一%

'S四邊形A8FE=：("E+8F)xAB=^

即：(AE+l-%)xl=g

2o

??AE=x—

：.DE=1-AE=--x,

4

：.EH=ED-HD=--x-x=--2x,

44

???折疊，

???B5'1EF,

/.zl+z2=Z-BGF=90°,

Vz2+z3=90°,

.*.zl=z.3,

又FH=BC=l/EHF=乙C

:.公EHFWAB'CB(ASA),

：

.EH=B'C=4--2x

在RtZkB'FC中,BfF2=B'C24-CF2

即(1一刈2=/+《一292

解得：x=j，

o

故答案為：

o

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折置的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形HBCD是矩形，AB=瓜BC=6.點(diǎn)E為邊BC的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊AO上一點(diǎn)，將四邊形48E尸沿EF折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8',過點(diǎn)夕

作于點(diǎn)從若B'H=2&,則F。的長是.

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E左側(cè)時，設(shè)B'E交AO于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作￡M_LAD于點(diǎn)M,則四位形ABEM為

矩形46=ME=e，AM=BE=3,由折疊可知6E=S'E=3,乙BEF=AB'EF,由平行線的性質(zhì)可得

乙GFE=乙BEF,于是NGFE=乙B，EF,FG=EG,利用勾股定理求得EH=1,證明△EMGB'HE,利用

相似三角形的性質(zhì)求得EG=誓=FG,MG=y,于是FM=FG-MG=瓜4尸=3—遙，則/0=AD-

力凡代入計(jì)算即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E右側(cè)時，設(shè)夕尸交8C于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作FK工BC于點(diǎn)K,同理可得

B'E=3,FP=EP,四邊形KC0尸為矩形，F(xiàn)K=AB=?利用相似三角形的性質(zhì)求得FP=號=EP,PK=

”，進(jìn)而去除EK=EP-PK=尊一"=6，則0F=CK=C￡-EK,代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E左側(cè)時，如圖，設(shè)8%交力。于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EM1力。于點(diǎn)M,

???點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，

BE=CE=-BC=3,

2

???四邊形ABC。為矩形，BC=6,

???AD=BC=6,乙力==90°.ADWBC,

???^AME=乙4==90°,

四邊形/BEM為矩形，

:.AB=ME=瓜AM=BE=3,

由折疊可知，BE=B'E=3,乙BEF=LB'EF,

-ADWBC,

Z.GFE=乙BEF,

:.乙GFE=LB'EF,即NG/E=NGEF,

:.FG=EG,

???B'H1BC,

：.iB'HE=90°,

在Rt△夕，E中，EH=y/BfE2-B'H2=J32-(2^2)2=1,

?：ME1.BC,B'H1BC,

Z.EMG=乙B'HE=90°,

vADWBC,

:.￡EGM=乙B'EH,

.??△EMGB'HE,

EMEGMGunEGMG岳百

E'HB'EHE312夜2

3\后\/3

:.EG=—=FG,MG=—?

FM=FG-M6=—-—=V3,

22

???AF=AM-FM=3-^3,

FD=/ID-/IF=6-(3-V3)=3+V3；

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E右側(cè)時，如圖，設(shè)B'F交BC于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作尸K1BC于點(diǎn)K,

同理可得：B'E=3,FP=EP,四邊形KCDF為矩形，F(xiàn)K=AE=?AB'EH*FPK,

在BEE中，EH=\lB'E2-BrH2=32-(272)2=1,

???&B'EHMFPK,

E'EB'HEHnn32V21

,,77―~FK一束,手而一飛一嬴

「n373p.nnrz巡

AFP=—2=EP,2PK=—

T—§3

:.DF=CK=CE-EK=3-?

綜上，F(xiàn)O的長是3+百或3-6.

故答案為：3+V5或3—遮.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定

與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵.

【變式6-3］（2023?河南周口?統(tǒng)考二模）如圖，在長方形A8CD中，AB=10,AD=12,P是射線4D上一點(diǎn),

將ZMBP沿BP折疊得到△4BP,若點(diǎn)4’恰好落在8C的垂直平分線/上，則線段AP的長為.

B

【答案】9或30

【分析】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考

問題，屬于中考?？碱}型.設(shè)直線I交4D于R,交BC于7.分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段4R上時，設(shè)

AP=PA'=》.如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段DR上時，設(shè)4P=PA'=y.分別利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：設(shè)直線［交力。于R,交BC于T.

如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段4R上時，設(shè)AP=PA'=%.

在Rt△87\4'中，vZ.BTA'=90°,BT=6,BA1=10,

:.A!T=y/A'B2-BT2=V102-62=8,

vAB=RT=10,

???RA1=10—8=2,

在RtAPRN中，則有［=(6-/產(chǎn)+22,

解得％=y.

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段DR上時，設(shè)AP=P4=y.

圖2

在RtzxBTA中，?.ZB7;4'=9O。，BT=6,BA1=10,

A!T=>JA'B2-BT2=V102-62=8,

,:AB=RT=10,

???RA=10+8=18,

在Rt/kPR/T中，則有y2=(y-6)2+182,

解得y=30,

綜上所述，滿足條件的AP的值為弓或30.

故答案為：學(xué)或30.

【題型7勾股定理與無理數(shù)】

【例7】（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，平面內(nèi)某正方形內(nèi)有一長為10寬為5的矩形，它可以在該正方

形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，則該正方形邊長的最小整數(shù)九為（）

5

A.10B.IIC.12D.13

【答案】C

【分析】先求出矩形對角線的長度，再估算取值范圍即可得出答案.

【詳解】矩形的對角線長：V52+102=5V5,

???矩形可以在該正方形的內(nèi)部以及便捷通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換成豎放，

???該正方形的邊長不小于5代，

Vil<575Vl5,

，該正方形邊長的最小正數(shù)n為12,

故答案選擇