專題4.4角【十大題型】

【人教版】

【逑型I角的概念及角的度星】.................................................................2

【題型2角的單位及其換算】....................................................................3

【題型3角的計(jì)數(shù)問題】........................................................................5

【題型4鐘面上角的特征】......................................................................8

【題型5方向角】.............................................................................10

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】...........................................................13

【題型7與角n等分線相關(guān)的隹的運(yùn)算】........................................................20

【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】..............................................................28

【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】..................................................................35

【題型10同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】..................................................39

”7歲*三

【知識(shí)點(diǎn)1角的概念】

定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圍形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊.

定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的國形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.

【知識(shí)點(diǎn)2角的表?示方法】

表示方法圖例記法適用范圍

用三個(gè)大寫字母NAOB任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字

0___A

表示或NBOA母必須寫在中間.

B

用一個(gè)大寫字母

AZA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè).

表示

用數(shù)字表示Z1任何情況下都適用.但必須在靠近

頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，

用希臘字母表示Za并注上數(shù)字或希臘字母.

【題型1角的概念及角的度量】

［例I］（2022?甘肅蘭州?七年級期末）下列說法中正確的是（）

A.由兩條射線組成的圖形叫做角

B.角的大小與角的兩邊長度有關(guān)

C.角的兩邊是兩條射線

D.用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)變大了

【答案】C

【分析】根據(jù)角的定義和性質(zhì)解答即可.

【詳解】A.由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故原說法不正確；

B.角的大小與角的兩邊長度無關(guān)，故原說法不正確；

C.角的兩邊是兩條射線，正確；

D.用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)不變，故原說怙不正確；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查角的概念，具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn),

這兩條射線叫做角的兩條邊.角的大小與邊的長短沒有關(guān)系.

【變式（2022?山東淄博?期中）乙4c8的兩邊分別是（）

A.射線AC、BCB.射線CA,CBC.線段AC,BCD.直線C4,CB

【答案】B

【分析】根據(jù)角的定義可進(jìn)行求解.

【詳解】解：/AC8的兩邊分別是射線CA,CB,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，用量角器度量MOB,可以讀出姐OB的度數(shù)為，

【答案】120

【分析】根據(jù)角的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：看內(nèi)圈的數(shù)字可得：財(cái)。氏120。，

故答案為：120.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.乙力OB也可用|乙0來表示

B.4s與乙80c是同一個(gè)角

C.圖中共有三個(gè)角：^AOB,Z-A0C,乙B0C

D.與是同一個(gè)角

【答案】A

【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示.其中頂點(diǎn)字母要

寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母

究竟表示哪個(gè)角.角還可以用一個(gè)希臘字母（如函，明，町、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（01,02...）表示

進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A、與0AOO是同一個(gè)角，不可用團(tuán)。來表示，說法錯(cuò)誤；

B、明與（38OC是同一個(gè)角，說法正確；

C、圖中共有三個(gè)角：（MOB,（3A0C,OBOC,說法正確；

D、團(tuán)1與0A08是同一個(gè)角，說法正確；

故選:A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法.

【題型2角的單位及其換算】

【例2】（2022?山東煙臺(tái)?期中）若41=25。15',42=25°13'30〃，43=25.35°,則（）

A.z3>zl>z2B.z2>zl>z3C.zl>z3>z2D.zl>z2>z3

【答案】A

【分析】首先團(tuán)1、團(tuán)2已經(jīng)是發(fā)、分、秒的形式，故將m3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個(gè)角的度數(shù)進(jìn)行

大小比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】0Z1=25。15',Z2=25叮3'30〃,43=25.35°=25°21,,

0z3>z.1>Z.2.

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)

鍵.

【變式2-1］（2022?全國?七年級單元測試）下面等式成立的是1）

(3)

解：42°16,+18°23,x2

=42°16'+36°46'

=7902,.

【點(diǎn)睛】本題考查度分秒的計(jì)算，1。=6011，=60〃，掌握度分秒之間的進(jìn)率是解答本題的關(guān)鍵.

【變式23］（2022?天津南開?七分級期末）如圖1是一個(gè);的圓（13AOB=90。）,芳芳第一次在圖1中畫了一

4

條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分成4份，第三次由加了四條線，將圖1等分

成8份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16份，如圖2所示，則第n（n>l）次可將圖1等分成

份，當(dāng)n=5時(shí)，圖1中的每份的角度是（用度，分,秒表示）

【分析】從特殊到一般，探究規(guī)咎后即可解決問題.

【詳解】第一次在圖1中畫了一條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分4=22份，第

三次由加了四條線，將圖1等分成8=23份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16=24份，第〃（〃>1）次

可將圖1等分成2〃份.

當(dāng)n=5時(shí)，圖1中的每份的角度是90胃=2。48,45".

故答案為2〃,2°48'45".

【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算、規(guī)律型：圖形變化類等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的探究

方法，屬于中考?？碱}型.

【題型3角的計(jì)數(shù)問題】

【例3】（2022?福建龍巖?七年級期末）在銳角（MOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個(gè)銳角；畫出2條

不同的射線，可以畫出6個(gè)銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個(gè)銳角.照此規(guī)律，畫19條不同的

射線，可以畫出銳角的個(gè)數(shù)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件得出規(guī)律為從一個(gè)角的內(nèi)部引出〃條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是“九+1)5+2),

代人即可得到答案.

【詳解】在銳角0AOB內(nèi)部,

畫出1條射線，可以畫出3個(gè)銳角；

畫出2條不同的射線，可以畫出6個(gè)銳角；

畫出3條不同的射線，可以畫出10個(gè)銳角；

二從一個(gè)角的內(nèi)部引出〃條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是

1+2+3+…+(九+1)=/n+l)(n+2)

畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個(gè)數(shù)為:x(19+1)x(19+2)=210

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律.

【變式3-1](2022?山東?泰安市泰山區(qū)樹人外國語學(xué)校期中)如圖所示，Z.AOB=90°,則圖中銳角有()

A.12個(gè)B.14個(gè)C.15個(gè)D.16個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)角的分類求解即可，順時(shí)針方向數(shù)，以。8為邊可得4個(gè)銳角，以O(shè)C為邊可得4個(gè)銳角，以O(shè)D

為邊可得3個(gè)銳角，以O(shè)E為邊可得2個(gè)銳角，以O(shè)F為邊可得1個(gè)銳角，即可求得答案

【詳解】解：順時(shí)針方向數(shù)，以08為邊可得4個(gè)銳角，

以0C為邊可得4個(gè)銳角，

以。。為邊可得3個(gè)銳角，

以0E為邊可得2個(gè)銳角，

以0尸為邊可得1個(gè)銳角，共有銳角4+4+3+24-1=14個(gè)

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了交點(diǎn)分類，角的個(gè)數(shù)，分類討論是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)角的個(gè)數(shù)時(shí)，不要將直角算進(jìn)

去.

【變式3-2］（2022?黑龍江牡丹江?七年級期末）如圖，線段條數(shù)為m,小于平角的角的個(gè)數(shù)為m則幾-7九的

值為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)線段的定義和小于平角的角的性質(zhì)得出m,n的值，再代入求解即可.

【詳解】由題意得m=7,n=8

故式—m=8—7=1

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段和平角的問題，掌握線段的定義和平珀的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2022?湖南婁底?七年級期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過的（）

A.8個(gè)銳角，6個(gè)直角，2個(gè)鈍角B.12個(gè)銳角，9個(gè)直角，2個(gè)鈍角

C.8個(gè)銳角，10個(gè)直角，2個(gè)鈍角D.6個(gè)銳角，8個(gè)直角，2個(gè)鈍角

【答案】B

【分析】根據(jù)一副七巧板圖形，查出銳角，直角和鈍角的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】5個(gè)等腰直角三角形，5個(gè)直角，10個(gè)銳角，1個(gè)正方形，4個(gè)直角，1個(gè)平行四邊形，2個(gè)鈍角,

2個(gè)銳角，

在一幅七巧板中根據(jù)12個(gè)銳角，9個(gè)直角，2個(gè)鈍角.

故選擇B.

【點(diǎn)睛】本題考查角的分類，平面圖形，掌握角的分類，平面圖形是解題關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)3鐘表上有關(guān)夾角問題】

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對應(yīng)30。的角，分針I(yè)分鐘轉(zhuǎn)6。，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)3（T,時(shí)

針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可郝助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題.

【題型4鐘面上角的特征】

【例4】（2022?貴州?仁懷市周林學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.3時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角是90。B.6時(shí)30分，時(shí)針與分針重合

C.8時(shí)45分，時(shí)針與分針的夾角是30°D.9時(shí)整，時(shí)針與分針的夾角是90°

【答案】D

【分析】根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案.

【詳解】解：A、3時(shí)30分時(shí)?，時(shí)針在3與4中間位置，分針在6上，可以得出分針與時(shí)針的夾角是2.5大

格，所以分針與時(shí)針的夾角是2.5x30=75。，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、6時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角等于15。，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、8時(shí)45分，時(shí)針與分針的夾角是30X：=7.5。，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、9時(shí)整，鐘面上的時(shí)針與分針的夾角=3x30=90。，故本選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，確定時(shí)針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?河南洛陽?七年級期末）時(shí)鐘的分針從8點(diǎn)整轉(zhuǎn)到8點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)了（）度.

A.20B.120C.90D.150

【答案】B

【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30。，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

4x30°=120°,

13時(shí)鐘的分針從8點(diǎn)整轉(zhuǎn)到8點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)了120度,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一人格是30。是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022?山東煙臺(tái)?期中）當(dāng)分針指向12,時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120。的角，此時(shí)的時(shí)刻是.

【答案】8點(diǎn)鐘或4點(diǎn)鐘

【分析】根據(jù)鐘表上每一個(gè)大格之間的夾角是30。，當(dāng)分針指向12,時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120。的角，應(yīng)

該得出，時(shí)針距分針應(yīng)該是4個(gè)格，應(yīng)考慮兩種情況.

【詳解】解：團(tuán)鐘表上每一個(gè)大格之間的夾角是30。，

回當(dāng)分針指向12,時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120。的角時(shí)?，距分針成120。的角時(shí)針應(yīng)該有兩種情況，即距時(shí)針4

個(gè)格，

團(tuán)只有8點(diǎn)鐘或4點(diǎn)鐘是符合要求.

故答案為：8點(diǎn)鐘或4點(diǎn)鐘.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角的有關(guān)知識(shí).距分針成120。的角時(shí)針應(yīng)該有兩種情況，分類討論的應(yīng)用是

解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2022?全國?七年級單元測試）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻南?一天24小時(shí)中，當(dāng)鐘

面角為0°時(shí)，時(shí)針與分針重合次.

【答案】22

【分析】求出相鄰兩次鐘面角為。之間間隔的時(shí)間，即可得出答案.

【詳解】鐘面上，分針轉(zhuǎn)一圈即360。需要60分鐘，即分針的速度是每分鐘6。，時(shí)針轉(zhuǎn)一圈需要12個(gè)小時(shí),

時(shí)針的速度是每分鐘海；=0.5。，

60X12

則相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時(shí)間是：辭y65.45（分鐘），

6—0.57

一天有24X60=1440（分鐘），

則鐘面角為0的次數(shù)為：7^7?22.0015,

65.45

故答案為：22.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角問題.求出相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時(shí)間是解答本題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)4方向角】

在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線OA的方向是北偏東60。；射線OB的

方向是南偏西30。.這里的“北偏東60?！焙汀澳掀?0?！北硎痉较虻慕?，就叫做方向角.

【題型5方向角】

【例5】（2022?山東煙臺(tái)?期末）如圖，某海域中有A,8兩個(gè)小島，其中B在A的北偏東40。方向，那么小

島A相對于小島8的方向是（）

北

A.南偏東40。B.北偏東50。C.南偏西40。D.北偏西50。

【答案】C

【分析】根據(jù)B在人的北偏東40。方向，即可得出直線與8點(diǎn)正南方向的夾角為40。，再根據(jù)人的位置即

可得到答案.

【詳解】解：3在A的北偏東40。方向，

回小島A相對于小島B的方向是南偏西40。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查位置和方向，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法.

【變式5-1］（2022?全國?七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東70。方向走到點(diǎn)B,乙從點(diǎn)A出發(fā)

向南偏西15。方向走到點(diǎn)C,貝脂BAC的度數(shù)是（）

A.85°B.105°C.125°D.160°

【答案】C

【分析】首先求得AB與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意得：0BAC=（90°-70°）+15°+90°=125%

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?全國?八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向

這兩個(gè)數(shù)據(jù)來確定.問：

⑴漁船B相對小島的位置應(yīng)怎樣表述？

（2）小島的北偏東30。方向，距禽小島30km處是哪艘漁船？

【答案】⑴漁船B在小島南偏東60。方向的25km處⑵漁船D

【分析】（1）根據(jù)漁船8和小島的位置，距離關(guān)系即可解答.

（2）根據(jù)圖像查找即可解答.

【詳解】⑴根據(jù)題中給的形式可得漁船B在小島南偏東60。方向的25km處.

（2）根據(jù)圖像可得小島的北偏東30。方向，距離小島30km處是通船D.

【變式5-3］（2022?重慶禁江?七年級期中）某部隊(duì)在大西北戈壁灘上進(jìn)行軍事演習(xí)，部隊(duì)司令部把部隊(duì)分

為“藍(lán)軍〃、“紅軍〃兩方.藍(lán)軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地3地，4地在8地的正西邊（如圖）.部隊(duì)

司令部在C地.。在A的北偏東60。方向上、在8的北偏東30。方向上.

（1）ABAC=。；

⑵演習(xí)前，司令部要藍(lán)軍、紅軍派人到。地匯報(bào)各自的準(zhǔn)備情況.紅軍一輛吉普車從8地出發(fā)、藍(lán)軍一部越

野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時(shí)到達(dá)C地.已知吉普車行駛了18分鐘.A到C的距離是

3到C的距離的1.7倍.越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米.求越野車、吉普車的速度及3地到C

地的距離（速度單位用：千米/時(shí)）.

【答案】（1）30

⑵越野車為204千米/時(shí)、吉普車的速度為100千米/時(shí)，B地到。地的距離為30千米

［分析］(1)LBAC=90°-60°；

(2)設(shè)吉普車的速度為xT?米/時(shí)，越野車的速度為(女+4)千米/時(shí)，4到C距離為首3千米，A到C的距

60

離為1.7x普工千米，根據(jù)題意列配方程并計(jì)算即可.

60

(1)

解：Z.BAC=90°-60°=30°,

故答案為：30

(2)

解：設(shè)吉普車的速度為x千米/時(shí)，則越野車的速度為⑵+4)二米/時(shí)，8到C距離為六又千米，A到。的

60

距離為1.7x秒x千米，

OV

由題意，得1.7x總%=(2%+4)x今”，

解得x=100,

則2x+4=204,^-x=30,

60

答:越野車為204千米/時(shí)、吉普車的速度為100千米/時(shí)，8地到C地的距離為30千米.

【點(diǎn)睛】本題考查了方位角和一次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)出合適未知數(shù)，找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)5角的比較與運(yùn)算】

角的比較：角的大小比校與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1:度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2:疊合比較法.把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較.

如比較NAOR和NATFIV的大?。喝缦聢D，由圖(D可得NAOBVNA94T;由圖(2)可得NAOB=N

A,OB,;由圖(3)可得NAOB>NTO，B，.

【知識(shí)點(diǎn)6角的和、差關(guān)系】

如圖所示，NAOB是N1與N2的和，記作：ZA()B=Z1+Z2;N1是NAOB與N2的差，記作：Zl=

ZAOB-Z2.

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.如圖所示，0C是NAOB

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

ZAOC=ZBOC=；NAOB.

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】

【例6】(2022?江西省遂川縣教育局教學(xué)研窕室七年級期末)如圖，〃。8=90。，z^OC=a(03<a<180°),

OD,0E分別是乙4。8,的平分線.

圖1備用圖

⑴如圖1,當(dāng)0C在0B左側(cè)，且380。時(shí)，4DOE的度數(shù)是；

(2)當(dāng)。。的位置不確定時(shí)，請利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究Z0OE的大小與a的數(shù)量關(guān)系;

⑶當(dāng)?shù)亩葦?shù)為36。時(shí)，請直接寫出a的度數(shù).

【答案】(1)85°

(2)LDOE=45°+\a或NDOE=45。-1a或40E=1a-45°

⑶18°或162°

【分析】(1)利用角平分線的定義和角的和差關(guān)系求解；

(2)分0C在04左側(cè)，0c在乙4。8內(nèi)部，0C在。4卜.方三種情況，利用角的和差關(guān)系分別計(jì)算即可求解;

(3)將乙DOE=36。代入(2)中結(jié)論即可求解.

(1)

解：由題意得，4408=90。，￡B0C=a=80o,

團(tuán)0D,0E分別是N/10B,乙B0C

^DOB=^AOB=45°,^E0B=^B0C=4Q°,

22

團(tuán)4DOE=4OOB+/EOB=450+40°=85。，

即，的度數(shù)是85。；

(2)

解：分三種情況討論，當(dāng)OC在0B左側(cè)時(shí)，如下圖所示:

乙DOE=^DOB+乙EOB=1LAOB+；N80C=45°+\a；

當(dāng)。。在乙408內(nèi)部時(shí)，如下圖所示：

乙D0END0B-乙EOB=1乙8℃=45°—；a；

當(dāng)。C在OA下方時(shí)，如下圖所示：

乙。?！?乙￡。8—乙。。8=統(tǒng)8。?！丁?。8="-45。；

綜上可知，ND0E=45°+\?；?D0E=45°一1a或4DOE=1a—45°.

（3）

解：由（2）可知，4D0E=36°時(shí)，

45c-ia=36°,或:1一45。=36。，或36。=45。+"

解得a=18。，或a=162。，或a=-18。（舍去），

即a的度數(shù)為18?；?62。.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和角的和差關(guān)系，需要注意X的位置有多種可能，掌握分類討論思想是

解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2022?山東煙臺(tái)?期末）有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，乙408="。。，且?！隇橐褺OC的角平分線.

⑴如圖1,請?zhí)剿?40￡和乙DOE的大小關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖2,乙AOE和乙DOE是否仍然滿足（1）中關(guān)系？請說明理由;

⑶若4408=90°,Z-AOC=64°,求ii"80E的度數(shù).

【答案】⑴0AOE=13OOE,理由見解析

（2）^AOE=^DOE,理由見解析

⑶N80E的度數(shù)為13?；?7°

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，由OE為團(tuán)80c的角平分線，得她0￡=團(tuán)。。石，進(jìn)而推出加

（2）與（1）同理；

（3）分兩種情況，國40c在的內(nèi)部或西OC在財(cái)06的外部，根據(jù)角的和差關(guān)系，由西06=90。，（M0C

=64°,得團(tuán)8OC=團(tuán)4O8-EAOC=26?；蚧?0c=財(cái)08+財(cái)00=154。，然后根據(jù)角平分線的定義，由?！隇橐?OC

的角平分線，得加。E=泓。。=13?；驁F(tuán)8OE=^BOC=77°.

(1)

解：^AOE=^DOE,理由如下：

團(tuán)0E為團(tuán)50c的角平分線，

WOE=^\COE,

^0B=X0D,

(3財(cái)。8+團(tuán)3。七=團(tuán)。。。+團(tuán)。?！?

團(tuán)西。E=(3OOE.

(2)

(MOE=0DOE,理由如下：

團(tuán)。E為國30c的角平分線，

團(tuán)團(tuán)80E=團(tuán)。。七，

mmAOB=mCOD,

^BAOB-^BOE=^COD-mCOE,

^A0E=^D0E.

(3)

解：當(dāng)0Aoe在財(cái)OB的內(nèi)部時(shí)，如圖所示:

回酎。8=90°,0AOC=64°,

WOC=^AOB-^AOC=26°,

(30E為(3BOC的角平分線，

物8OE=%BOC=13°；

2

當(dāng)日1OC在財(cái)08的外部時(shí)，如圖所示:

B

團(tuán)財(cái)08=90°,MOC=64°,

團(tuán)團(tuán)BOC=a4O8+aAOC=154%

團(tuán)OE為財(cái)OC的角平分線，

團(tuán)鼬0七=細(xì)80。=77°；

2

綜上分析可知，Z80E的度數(shù)為13?；?7。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和差美系、角平分線的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系、角平分線的定義，是解

決本題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2022?山東濟(jì)南?七年級期末)如圖1,已知EL4O8=60。，OM平分財(cái)OA.

備用圖

(1)@BOM=；

(2)若在圖1中畫射線OC,使得團(tuán)80c=20。，ON平分G38OC,求13MON的大小；

(3)如圖2,若線段。4與(M分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，勖UM=60。，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過

程中，OM始終平分財(cái)08,則經(jīng)過多少分鐘后，團(tuán)40M的度數(shù)第一次等于50。.

【答案】⑴30。

(2)20?；?0°

嘴分鐘

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得出答案；

（2）根據(jù)題意分類討論，分為射線OC在財(cái)03內(nèi)部和外部兩種情況計(jì)算即可；

（3）根據(jù)鐘表轉(zhuǎn)動(dòng)求出時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，再根據(jù)分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度-時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度=財(cái)。8增加的度

數(shù)，建立方程解出答案即可.

（1）

解：既L4OB=60°,OM平分財(cái)08,

團(tuán)NB0M=-/-AOB=-X60°=30°；

22

（2）

當(dāng)射線0。在財(cái)03內(nèi)部時(shí)，如圖所示，

釀BOC=20°,ON平分團(tuán)BOC,

囹NBON=-Z.BOC=-x20°=10°,

22

0ZMO/V=乙BOM-乙BON=30°-10°=20°；

當(dāng)射線OC在MOB外部時(shí)，如圖所示，

團(tuán)團(tuán)3OC=20°,ON平分(38OC,

?乙BON=-/-BOC=-x20°=10。，

22

用乙MON=乙BOM+乙BON=300+10°=40°；

綜上所述，?MON的度數(shù)為20?；?0。；

(3)

回OM平分團(tuán)403,團(tuán)803=50°

團(tuán)乙AOB=2乙B0M=100°

設(shè)經(jīng)過x分鐘后，的度數(shù)第一次等于50。,

團(tuán)分針OB的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：味二6。

oO

時(shí)針OA的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：^-=0.5%

12X60

06°x-O.5°x=100°-60°,

所以經(jīng)過黑分鐘后，回BOM的度數(shù)第一次等于50。.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論思想，一元一次方程的應(yīng)用之行程問題，分類討論思想和

方程思想是本題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2022?內(nèi)蒙占?察哈爾右翼前旗教學(xué)研究室七年級期末)已知乙內(nèi)部有三條射線，其中，0E

平分乙80C,。/平分乙AOC.

B,EE、C

(1)如圖1,若4108=90。，^AOC=30°,求4EOF的度數(shù)；

(2)如圖2,若乙AOB=a,求“OF的度數(shù)(用含a的式子表示)；

(3)若將題中的"平分"條件改為"34E08="0B,3乙COF=2“O/T,且乙力。8=a,用含a的式子表示

"0F的度數(shù)為.

【答案】(1)I3EOF=45°,(2)0EOF=-a,(3)@EOF=-a.

23

【分析】(1)首先求得OBOC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得：0EOF=0EOC+0COFHPnJ

求解；

(2)根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得ISEOF-iaEOC+OCOF=|13BOC+^3AOC-^(0BOC+0AOC),即可求角吊；

⑶根據(jù)角的等分線的定義可得：0EOF=0EOC+{3COF=|eBOC+|0AOC=|(0BOC+0AOC)=^)AOB,即可求解.

【詳解】解：(1)mBOC=?AOB-3AOC=90°-30°=60°,

回OE平分團(tuán)BOC,OF平分田AOC,

00EOC=^BOC=-x6Oo=3O0,0COF=*AOC=2x30°=15°,

00EOr=0EOC+0COr=3Oo+150=45o；

(2)團(tuán)0E平分團(tuán)BOC,OF平分回AOC,

00EOC=^BOC,(?1COF=^AOC,

00EOF=(3EOC+0COF=-0BOC+如AOC=-(0BOC+0AOC)=細(xì)AOB=-a；

22222

(3)30EOB=0COB,30COF=20COA

UP(?EOB=^1BOC,0COF=|{3AOC,

00EOC=^BOC

3

22222

00EOF=0EOC+0COF=-QBOC+-{3AOC=-(0BOC+0AOC)=-0AOB=-a.

33333

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算及角平分線的定義，角的等分線的定義，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】

【例7】(2022?貴州畢節(jié)?七年級階段練習(xí))如圖，點(diǎn)A、C、8三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CO、CE、

CF,^DCE=^ECA,aFCE=^ECB.

33

(1)求回。C尸的大小，并說明理由：

(2)當(dāng)回DCE=%ECA,MCE=W1￡C8時(shí)，直接寫出團(tuán)。b的大小(用含〃的代數(shù)式表示).

nn

【答案】(1)0DCF=6O°,理由見解析

(2)回。。尸=蜉.

【分析】(1)利用角的和與角的差，平角的定義來計(jì)算即可；

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算模式，把:換成乙就可得出結(jié)果.

3n

(1)

解：回點(diǎn)A、C、8三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CO、CE、CF,^DCE^ECA,^FCE=^ECB,

33

00DCF=0DCE+0FCE=-C^ECA+^ECB)="xl80°=60°；

35

(2)

解：回點(diǎn)A、C、4三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CO、CE、CF,^DCE^ECA,^FCE=^ECB,

nn

^DCF=^DCE+^FCE=-（0ECA+0￡CB）=1x180°=—.

nnn

【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算、列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是掌握角的計(jì)算和根據(jù)題意列代數(shù)式.

【變式7-1]（2022?湖南長沙?七年級期末）如圖，在財(cái)08的內(nèi)部有3條射線OC、O。、OE,若（MOC=70。,

WOE=^BOC,姐OO=%4OB,則麗OE=（用含〃的代數(shù)式表示）

nn

【答案】r

【分析】根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論.

【詳解】解：函30后細(xì)6OC,

n

回回6OC=〃團(tuán)3OE,

00AOB=a4OC+OBOC=7O°+慮80E,

回財(cái)0。二細(xì)4。氏歹+團(tuán)

nn

70°

^DOE=^BOD-^BOE=-^-,

故答案為：

n

【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2022?全國?七年級單元測試）已知:乙4。8和乙C。。是直角.

（1）如圖，當(dāng)射線。8在“0。內(nèi)部時(shí)，請?zhí)骄啃牧?。。和N80C之間的關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)射線04射線08都在4C0D外部時(shí)，過點(diǎn)0作射線0E,射線?？诐M足乙BOE=+乙BOC,乙DOF=

;乙q。。，求4EOF?的度數(shù).

?5

（3）如圖3,在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線0G,使得乙GOBxGOE=2:3,若不存在，請說明

理由，若存在，求出4G。尸的度數(shù).

D

【答案】（1）乙4。。+ZBOC=180。，詳見解析；（2）150°；（3）/GO/的度數(shù)是60?；?4。

【分析】（1）根據(jù)角與角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，證明乙4。。+48。。=180。；

（2）利用角度之間的倍數(shù)關(guān)系，設(shè)MB0E=a,然后用a表示必?！辍ⅰ?B、^AOF,最后加起來就可以算

出/EOF；

（3）分情況討論，射線OG在內(nèi)部或者外部，再根據(jù)比例關(guān)系求出NGO尸的度數(shù).

【詳解】解：（1）Z.AOD+Z.BOC=180°,

證明：???4力。8和乙C。。是直角，

￡AOB=乙COD=90°,

?:乙BOD+乙BOC=乙COD,

」BOD=900—乙BOC,

同理：AAOC=90°-zBOC,

:./.AOD=Z.AOB+乙BOD=90°+90°-乙BOC=180°-乙BOC,

Z.AOD+乙BOC=180°；

(2)解：設(shè)NBOE=a,則48OC=3a,

???Z.BOE+Z.EOC=乙BOC,

:.Z.EOC=Z.BOC—乙BOE=2a,

vZ.AOD+乙COD+乙BOC+Z-AOB=360°,

:.Z.AOD=360°-乙COD-乙BOC-Z-AOB=360°-90°-3a-90°=180°-3a,

2

???/DOF=：乙4。。，

AZDOF=^(180°-3tz>=120。-2a,

￡AOF=^Z.AOD=^(180°-3a)=60。-a,

JJ

Z.EOF=Z-BOE+Z.AOB+Z.AOF=a+90°+60°-a=150°,

答：NE。尸的度數(shù)是150。；

(3)①如圖，當(dāng)射線OG在4EOF內(nèi)部時(shí)，

vZ.GOF:Z.GOE=2:3>

222

乙GOF=—Z-EOF=-/.EOF=-x150°=60°,

2+355

D

②如圖，當(dāng)射線OG在此。尸外部時(shí)，

?:乙GOF:乙GOE=2:3,

:.Z.GOF=總(360。-/.EOF)="360。-150°)=|x210°=84°,

綜上所述，NGOF的度數(shù)是60。或84。.

【點(diǎn)睛】本題考查角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是找到圖象中角與角之間的聯(lián)系，進(jìn)行列式求解，需要注意最

后一問要進(jìn)行分類討論.

OA

圖備用圖

【變式7-3］（2022?江蘇淮安?七年級期末）3

【閱讀理解】

射線OC是0AO8內(nèi)部的一條射線，若（MOC5OC,則稱射線0C是射線。八在0Ao3內(nèi)的一條“友好線”.如

圖1,若a4O4=75。，BAOC=25°,則次］4OC,所以射線OC是射線在財(cái)08內(nèi)的一條“友好線”.

【解決問題】

⑴在圖1中，若作團(tuán)BOC的平分線0D,則射線0D（填“是"或"不是”）射線0B在財(cái)0B內(nèi)的一條“友

好線”；

（2）如圖2,（L40B的度數(shù)為〃，射線0M是射線0B在EL40B內(nèi)的一條"友好線"，ON平分財(cái)0B,則團(tuán)MON的

度數(shù)為（用含〃的代數(shù)式表示）；

（3）如圖3,射線08先從與射線QA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)。以每秒1。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：10秒后射線0C

也從與射線04重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)0以每秒5。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線0c與射線04的延長線重合

時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.問：當(dāng)射線0C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，射線04,OB,0C中恰好有一條射線是余下兩條射

線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條"友好線"？

【答案】（1）是

（3）黑吟或15或詈或券秒

【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；

（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；

（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進(jìn)行計(jì)算即可.

⑴

解：???（用是N50C的平分線，

：,ZBOD=ZCOD,

ZCOA=^ZBOC.

工ZBOD=-ZAOD,

2

，射線。。是射線08在NAOB內(nèi)的一條“友好線”.

故答案為：是.

（2）

???射線0M是射線OB在NAOB內(nèi)的一條“友好線”，NAOB的度數(shù)為〃，

/.ZBOM=3-ZAOB=-3n,

TON平分NA03,

:,NBON=L/AOB=LI,

22

JNMON=ZBON-N80M=：〃?^n=-n.

236

故答案為：

（3）

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為工秒時(shí)，射線。4、。從0C中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”.

???當(dāng)射線0C與射線0A的延長線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止

360

???x<――=72

KZ

如圖，當(dāng)射線OC是射線04在NAO3內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)"10。=亞8。。時(shí)，

根據(jù)題意可得乙4。8=(10+x)°,^AOC=5x°,則NBOC==JOB-^AOC=(104-x)°-5x°=(10-4x)°

B

A

5x=；(10-4x)

乙

解得“=1

如圖，當(dāng)射線OC是射線OB在內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)亞力。。=乙8。。時(shí),

^AOB=(10+x)°,LAOC=5x°,LBOC=Z.A0B-LAOC=(10+x)°-5x°=(10-4x)°

B

4

1

-X=

25X

2O

解得X--

13

即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒時(shí)，射線。c是射線。5的“友好線”.

③如圖，當(dāng)射線08是射線04在NAOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則NAO8=：NCO8,

/-A0B=(10+x)°,^AOC=5x°,LBOC=Z-AOC-/-AOB=5x°-(10+x)°-5x°=(4x-10〕。

所以10+x=；(4x-10),

解得x=15(符合題意)，

即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為15秒時(shí)，射線03是射線的“友好線”.

④如圖，當(dāng)射線04是射線0C在NA0C內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則

/-A0B=(10+x)°,^AOC=5x°,LBOC=/-A0C-LAOB=5x°-(10+x)°-5x°=(4x-10)。

:.g(10+x)=4x—10

解得％=y

⑤如圖，???AAOB=(10+x)°,Z,AOC=(360-5x)°

當(dāng)/40C4408時(shí)

1

360-5%=-(10+x)

乙

解得：x=

^Z-AOC=Z.AOBll'i

!(360-5%)=10+x

340

解得:x

7

綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或工或15或詈或券秒時(shí)，符合題意要求.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)川，角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想.

【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】

【例8】(2022?陜西西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)七年級階段練習(xí))將一副三角板如圖1擺放.-108=60。,“。。=

45c,OM平分4AO。，ON平分乙C0B.

圖1圖2圖3

⑴/M0N=；

⑵將圖1中的三角板。CD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，求乙M0N；

⑶將圖1中的二角板OC。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求乙M0N.

【答案】⑴52.5。

(2)52.5°

(3)52.5°

【分析】(1)利用角平分線的性質(zhì)，分別求出4NOB和NM08,相加即可求得4M0N；

(2)由角平分線分別表示出NM。。和/NOB,則4MON=；乙/OD+：乙COB+48。0,將式子變形為4M0N=

3(4力00+乙BOD+乙COB+乙BOD)=：(乙4。8+乙CO。)，彳弋入數(shù)值計(jì)算即可；

(3)同(2)由角平分線分別表示出4M。。和/N08,fflzMO/V=^Z.AOD+^COB-Z.BOD,將式子變形

為乙MON+乙BOD-zCOB-乙BOD)=^AOD-乙BOD)+g(/C08-乙BOD),代入數(shù)值計(jì)算

即可.

(1)

解：I3OM平分4400,ON平分乙COB,

田乙NOB=-Z-COB=22.5°,乙MOB=-Z.AOD=30°,

22

?乙MON=乙NOB4-乙MOB=22.5°+30°=52.5°.

故答案為：52.5°.

(2)

解：回0M平分乙力。0,ON平分乙C08,

=-^.AOD,乙NOB=-乙COB，

22

團(tuán)/MON=-Z.AOD+-乙COB+乙BOD

22

1

=-{Z.AOD+乙COB+2乙BOD)

1