專題40統(tǒng)計(jì)【十二大題型】

?題型梳理

【題型1全面調(diào)查與抽樣調(diào)查】.................................................................2

【題型2總體、個(gè)體、樣本、樣本容量1...................................................................................4

【題型3用樣本估計(jì)總體1.....................................................................................................6

【題型4條形、扇形、折線統(tǒng)計(jì)圖】.............................................................8

【題型5頻數(shù)分布直方圖】.....................................................................13

【題型6頻數(shù)與頻率］.........................................................................16

【題型7與平均數(shù)有關(guān)的計(jì)算】.................................................................18

【題型8與中位數(shù)、眾數(shù)有關(guān)的計(jì)算】..........................................................20

【題型9與方差有關(guān)的計(jì)算】..................................................................22

【題型10根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性】................................................................24

【題型11利用合適的統(tǒng)計(jì)量做決策】.............................................................27

【題型12借助調(diào)查結(jié)果做決策】................................................................29

【知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)】

1.全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

全面調(diào)查：考察全體對象的調(diào)查叫做全面調(diào)查。

抽樣調(diào)查：只抽取一部分對象進(jìn)行調(diào)查，然后根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)推斷全體對象的情況，這種調(diào)查方法叫做

抽樣調(diào)查。

2.總體、個(gè)體及樣本

總體是要考察的全體對象。其中每一個(gè)考察對象叫做個(gè)體。

當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)目較多時(shí)，一般從總體中抽取一部分個(gè)體，這部分個(gè)體叫做總體的樣本。樣本中個(gè)體

的數(shù)H叫做樣本容量°

3.常見統(tǒng)計(jì)圖表

直方圖、扇形圖、條形圖、折線圖。

4.平均數(shù)

平均數(shù)：X=+X,+…+X”)

n

加權(quán)平均數(shù)：x="人+乎+…+>〃（X4...X的權(quán)分別是匕.鼠…kQ

冗+右+…+k.'-7，

新數(shù)據(jù)的平均數(shù)：當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)。的上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡化公式：*=

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，對=不一。，x\=x2-a，…，<=

-1

￡二一（其+以+…+總）是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把再,當(dāng),…，居，叫做原數(shù)據(jù)，處，。，…，總，叫做新

n

數(shù)據(jù)）。

5.眾數(shù)與中位數(shù)

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

中位數(shù)：將?組數(shù)據(jù)按由小到大（或由大到小）的順序排列。如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則稱處于中間位

置的數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)：如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則稱中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

6.方差

方差：s2=—[（X,—X）2+（x,—x）2+...+Q*-x）2]

n

方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小。

【題型1全面調(diào)查與抽樣調(diào)查】

【例1】（2023?廣西南寧?二模）以下調(diào)查中，最適合采用抽樣調(diào)查的是（）

A.檢測綠城南寧的空氣質(zhì)量

B.調(diào)查亞運(yùn)會(huì)100m游泳決賽運(yùn)動(dòng)員興奮劑的使用情況

C.公司招聘，對應(yīng)聘人員進(jìn)行面試

D.檢查“神舟十七號(hào)"載人飛船的零件質(zhì)量情況

【答案】A

【分析】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈

活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)杳、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，

對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、

物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)杳得到的調(diào)查結(jié)果比較近似.

【詳解】解：A、檢測綠城南寧的空氣質(zhì)量，適合抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)符合題意；

B、調(diào)查亞運(yùn)會(huì)100m游泳決賽運(yùn)動(dòng)員興奮劑的使用情況，適合全面調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題意；

C、公司招聘，對應(yīng)聘人員進(jìn)行面試，適合全面調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題意；

D、檢查〃神舟十七號(hào)〃載人飛船的零件質(zhì)量情況，適合全面調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【變式1-1］（2023?浙江金華?一模）下列調(diào)查方式合適的是（）

A.為了解市民對電影《血戰(zhàn)犯擊嶺》的感受，黎明在學(xué)校隨機(jī)采訪了10名初一學(xué)生

B.為了解全班學(xué)生.每天完成課外作業(yè)的時(shí)間，小瑩同學(xué)在網(wǎng)上向3位好友做了調(diào)查

C.為了解全國青少年兒童的每天睡眠時(shí)間，統(tǒng)計(jì)人員采用了普查的方式

D.為了解“神舟十五號(hào)"載人飛船發(fā)射前零部件的狀況，檢測人員采用了普查的方式

【答案】D

【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果

比較近似判斷.

【詳解】解：A、為了解市民對電影《血戰(zhàn)犯擊嶺》的感受，黎明在學(xué)校隨機(jī)采訪了10名初一學(xué)生，調(diào)查

方式不合適，不具有代表性，本選項(xiàng)不符合題意：

B、為了解全班學(xué)生每天完成課外作業(yè)的時(shí)間，小瑩同學(xué)在網(wǎng)上向3位好友做了調(diào)查，調(diào)查方式不合適，不

具有代表性，本選項(xiàng)不符合題意；

C、為了解全國青少年兒童的每天睡眠時(shí)間，統(tǒng)計(jì)人員采用了普查的方式，調(diào)查方式不合適，應(yīng)采取抽樣調(diào)

查，木選項(xiàng)不符合題意；

D、為了解“神舟十五號(hào)〃載人飛船發(fā)射前零部件的狀況，檢測人員采用了普查的方式，調(diào)查方式合適，本選

項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征

靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查,

對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

【變式1-2］（2023?北京朝陽?一模）下列調(diào)查：①調(diào)查全市中學(xué)生對2022年“中國航天日”主題"航天點(diǎn)亮

夢想”的了解情況；②檢測某批次節(jié)能燈的使用壽命；③選出某體育運(yùn)動(dòng)學(xué)校速度滑冰成績最好的學(xué)生參

加全國比賽，其中適合采用抽樣調(diào)查的是（寫出所有正確答案的序號(hào)）.

【答案】①②

【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比

較近似.

【詳解】解：下列調(diào)查：①調(diào)查全市中學(xué)生對2022年“中國航天日”主題“航天點(diǎn)亮夢想〃的了解情況；②檢

測某批次節(jié)能燈的使用壽命；③選出某體育運(yùn)動(dòng)學(xué)校速度滑冰成績最好的學(xué)生參加全國比賽.其中適合采

用抽樣調(diào)查的是①②.

故答案為：①②.

【點(diǎn)睛】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈

活選用，一般來說，對于具有破玩性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查,

對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

【變式1-3］（2023?遼寧錦州?二模）下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇不合理的是（）

A.為了了解某河流的水質(zhì)情況，選擇普查

B.為了了解神舟飛船的設(shè)備零件的質(zhì)量情況，選擇普查

C.為了了解新型炮彈的殺傷半徑，選擇抽樣調(diào)杳

D.為了了解一批袋裝食品是否含有防腐劑，選擇抽樣調(diào)查

【答案】A

【分析】根據(jù)普杳得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)杳結(jié)果

比較近似解答.

【詳解】A.為了了解某河流的水質(zhì)情況，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，故A符合題意：

B.為了了解神舟飛船的設(shè)備零件的質(zhì)量情況，應(yīng)選擇普查，故B不符合題意；

C.為了了解新型炮彈的殺傷半徑，選擇抽樣調(diào)查，故C不符合地意；

D.為了了解一批袋裝食品是否含有防腐劑，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，故D不符合題意：

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征

靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查,

對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

【題型2總體、個(gè)體、樣本、樣本容量】

【例2】（2023?河南南陽?一模）要想了解一本300頁的書稿大約共有多少字，從中隨機(jī)地選定一頁作調(diào)查,

數(shù)一數(shù)該頁的字?jǐn)?shù).以下說法：①這本300頁書稿的字?jǐn)?shù)是總體；②每頁書稿是個(gè)體；③從該書稿中選

定的那一頁的字?jǐn)?shù)是總體的一個(gè)樣本；④300是樣本容量，其中正確的是

【答案】①③

【分析】根據(jù)總體、個(gè)體、樣本和樣本容量的概念逐一判斷即可.

【詳解】解：這本300頁書稿的字?jǐn)?shù)是總體；每頁書稿的字?jǐn)?shù)是個(gè)體；從該書稿中選定的那一頁的字?jǐn)?shù)是

總體的一個(gè)樣本；1是樣本容量，

綜上，正確的結(jié)論為：①③，

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查了總體、個(gè)體、樣本和樣本容量的概念，正確區(qū)分概念是解題的關(guān)鍵.總體：我們把所

要考查的對象的全體叫做總體；個(gè)體：把組成總體的每一個(gè)考查對象叫做個(gè)體；樣本：從總體中取出的一

部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本；樣本容量：一個(gè)樣本包含的個(gè)體的數(shù)量叫做這個(gè)樣本的容量.

【變式2-1］（2023?江蘇南京?二模）2023年5月14日至5月20日是第32屆“全國城市節(jié)約月水宣傳周”，

為了解我校900名初三學(xué)生節(jié)約用水的情況，從22個(gè)班級中抽雙50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，下列說法正確的是

（）

A.900名學(xué)生是總體B.50是樣本容量

C.22個(gè)班級是抽取的一個(gè)樣本D.每名學(xué)生是個(gè)體

【答案】B

【分析】根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的定義逐項(xiàng)分折判斷即可求解.

【詳解】解：A.900名學(xué)生節(jié)約用水的情況是總體，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.50是樣本容量，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

C.50名學(xué)生節(jié)約用水的情況是抽取的一個(gè)樣本，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.每名學(xué)生節(jié)約用水的情況是個(gè)沐，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的定義，熟練掌握總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的定義

是解題的關(guān)鍵.（1）總體：我們把所要考察的對象的全體叫做總體；（2）個(gè)體：把組成總體的每?個(gè)考察對象

叫做個(gè)體；（3）樣本：從總體中取出的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本；（4）樣本容量：一個(gè)樣本包括

的個(gè)體數(shù)量叫做樣本容量.

【變式2-2］（2023?江蘇蘇州?一模）為了調(diào)查濱湖區(qū)九年級學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)試卷答題情況，從全區(qū)的數(shù)

學(xué)試卷中隨機(jī)抽取了10木沒拆封的試卷作為樣本，每本含試卷30份，這次抽樣調(diào)查的樣本容量是.

【答案】300

【詳解】從全區(qū)的數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取了10本沒拆封的試卷作為樣本，每本含試卷30份，

這次抽樣調(diào)查的樣本容量是10x30=300.

【變式2?3】（2023?山東青島?二模）某中學(xué)為了解九年級550名學(xué)生的睡眠情況，抽查了其中的200名學(xué)

生的睡眠時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，下面敘達(dá)正確的是（）

A.以上調(diào)查屬于全面調(diào)查B.總體是九年級550名學(xué)生

C.所抽取的200名學(xué)生是總體的一個(gè)樣本D.每名學(xué)生的睡眠時(shí)間是一個(gè)個(gè)體

【答案】D

【分析】本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個(gè)體與樣本，關(guān)鍵是

明確考查的對象.總體是指考查的對象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對象，樣本是總體中所抽取

的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目.我們在區(qū)分總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，這四個(gè)

概念時(shí)，首先找出考查的對象.從而找出總體、個(gè)體.再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后

再根據(jù)樣本確定出樣本容量.

【詳解】解：A.以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A不符合題意；

B.總體是九年級550名學(xué)生的睡眠情況，故B不符合題意；

C.所抽取的200名學(xué)生的睡眠情況是總體的一個(gè)樣本，故C不符合題意；

D.每名學(xué)生的睡眠時(shí)間是一個(gè)個(gè)體，故D符合題意；

故選：D.

【題型3用樣本估計(jì)總體】

【例3】（2023?湖南永州?三模）一個(gè)不透明的盒子里有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來的情況下，為估

計(jì)白球的個(gè)數(shù)，小剛向其中放入8個(gè)黑球，搖均后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒中，不斷

重復(fù)，共摸球400次，其中100次摸到黑球，估計(jì)盒子大約有白球一個(gè).

【答案】24

【分析】設(shè)有白球X個(gè)，根據(jù)^^=麗覆曝而即可求解.

【詳解】解：設(shè)有白球無個(gè)，由題意得：

8_100

8+x-400

解得：x=24

經(jīng)檢驗(yàn)：％=24是原方程的解

故答案為：24

【點(diǎn)睛】本題考查了由樣本估計(jì)總體.正確理出等顯關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?福建泉州?模擬預(yù)測）某校為了解學(xué)生對籃球、足球、排球等三種球類運(yùn)動(dòng)的喜愛程度,

隨機(jī)調(diào)查了該校50名學(xué)生，其中30名同學(xué)喜歡籃球運(yùn)動(dòng).若該校共有800名學(xué)生，根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)

可以估計(jì)該校喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有一名.

【答案】480

【分析】根據(jù)樣本所占百分比求出總體數(shù)量即可.

【詳解】解：估計(jì)該校喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有：

800x9=480（名）.

故答案為：480.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是熟練掌握統(tǒng)計(jì)知識(shí)，準(zhǔn)確計(jì)算.

【變式3-2]（2023?浙江溫州?三模）某校為了解學(xué)校900名九年級學(xué)生一周體育鍛煉時(shí)間的情況，隨機(jī)調(diào)

查了50名九年級學(xué)生，并繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知，九年級學(xué)生中，一周的體育

C.90人D.360人

【答案】D

【分析】用調(diào)查的總?cè)藬?shù)減去一周的體育鍛煉時(shí)間少于7小時(shí)的人數(shù)，然后求出其所占的百分比，然后利

用樣本估計(jì)總體即可.得解.

【詳解】解：由題意可知，一周的體育鍛煉時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)為50-3-9-18=20（人），

900X12=360（A），

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵在于弄清楚條形統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù).

【變式3-3]（2023?安徽宣城?模擬預(yù)測）某公司春節(jié)期間為職工準(zhǔn)備了A,B,C,D,E五種禮物，公司在

全體職工中隨機(jī)選取50人進(jìn)行調(diào)查，每人只能選擇一種自己喜歡的禮物.根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了一幅扇形統(tǒng)

計(jì)圖，已知扇形統(tǒng)計(jì)圖中以〃部分的面積是“反部分面積的5倍，該公司共1200位職工，據(jù)此以下對總體估

計(jì)正確的是（）

A.A部分對應(yīng)的圓心角為150。B.選A種禮物人數(shù)約480人

C.E部分對應(yīng)的圓心角為30。D.選E種禮物人數(shù)約100人

【答案】B

【分析】樣本容量為50選擇。種禮物的為12人，占總?cè)藬?shù)的12+50=24%：C部分圓心角為36。，占總

人數(shù)的券X100%=10%：4種禮物占18%,則A,E兩種禮物共占100%-(24%+10%+lB%)=48%,

FlTA〃部分的面積是“廣部分面積的5倍得到A,E種禮物各占40%,8%.逐項(xiàng)計(jì)算求解即可.

【詳解】解；樣本容量為50選擇。種禮物的為12人，占總?cè)藬?shù)的12+50=24%；

C部分圓心角為36。，占總?cè)藬?shù)的言X100%=10%：

36。

5種禮物占18%,

財(cái)，E兩種禮物共占100%-(24%+10%+18%)=48%

回“力”部分的面積是部分面積的5倍，

斯，七種禮物各占40%,8%.

財(cái)部分對應(yīng)的圓心角為360。x40%=144。，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

E部分對應(yīng)的圓心角為360。x8%=28.8。，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

選E種禮物人數(shù)約1200x8%=96人，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，

估計(jì)選擇4種禮物的人數(shù)約1200x40%=480人.故B選項(xiàng)正確；

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，讀懂題意正確求解是解題的關(guān)鍵.

【題型4條形、扇形、折線統(tǒng)計(jì)圖】

【例4】(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)某中學(xué)對學(xué)生最喜歡的課外活動(dòng)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，要求每人只

能選擇其中的一項(xiàng).根據(jù)得到的數(shù)據(jù)，繪制的不完整統(tǒng)計(jì)圖如下，則下列說法中不氐碰的是()

A.這次調(diào)查的樣本容量是200

B.全校1600名學(xué)生中，估計(jì)最喜歡體育課外活動(dòng)的大約有500人

C.扇形統(tǒng)計(jì)圖中，科技部分所對應(yīng)的圓心角是36。

D.被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動(dòng)的有50人

【答案】B

【分析】①由折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形圖可知：喜歡播音的人數(shù)是10人，占調(diào)查人數(shù)的5%,可以計(jì)算出這次調(diào)

查的樣本容量；②用全校1600名學(xué)生中的總?cè)藬?shù)，乘以喜歡體育課外活動(dòng)的所占總?cè)藬?shù)的百分比估計(jì)最喜

歡體育課外活動(dòng)的人數(shù)；③先計(jì)算被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動(dòng)的人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去各項(xiàng)人

數(shù)就可以算出喜歡科技的人數(shù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，從而可以計(jì)算出科技部分所對應(yīng)的圓心角；④被調(diào)查的學(xué)

生中，最喜歡藝術(shù)課外活動(dòng)的人數(shù)就是用200乘藝術(shù)課外活動(dòng)占調(diào)查人數(shù)的百分比；

【詳解】①由折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形圖可知：喜歡播音的人數(shù)是10人，占調(diào)查人數(shù)的S%,

這次調(diào)杳的樣本容量是10。5%=203（人），故A選項(xiàng)正確；

②全校1600名學(xué)生中，估計(jì)最喜歡體育課外活動(dòng)的大約有：1600x券=400（人）故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動(dòng)的有200X25%=50（人）

可以算出喜歡科技的人數(shù)為：200-50-50-10-70=20人

團(tuán)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，科技部分所對應(yīng)的圓心角是券x360°=36。，故C正確：

④被調(diào)查的學(xué)生中，最喜歡藝術(shù)課外活動(dòng)的有200X25%=50（人）故D止確；

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，理解兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)量之間的關(guān)系是正確解答的前提.

【變式4-1]（2023?云南昆明?一模）圖1表示的是某書店今年廣5月的各月營業(yè)總額的情況，圖2表示的

是該書店"黨史〃類書籍的各月營業(yè)額占書店當(dāng)月營業(yè)總額的百分比情況.若該書店1~5月的營業(yè)總額一共是

182萬元，某同學(xué)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖分析得到如下結(jié)論;

圖1圖2

①該書店4月份的營業(yè)總額為45萬元；②5月份“黨史〃類書籍的營業(yè)額為10.5萬元；③4月份“黨史”類

書籍的營業(yè)額最高；④5月份“黨史〃類書籍的營.業(yè)額最高，則上述結(jié)論中正確的是（）

A.④B.②③C.①②③D.①②④

【答案】D

【分析】用1~5月的營業(yè)總額減去其他月份的總額，求出4月份的營業(yè)額，故①正確；用5月份的營業(yè)額

乘以“黨史〃類書籍所占的百分比即可求出，故②正確；用4月份的營業(yè)額乘以“黨史〃類書籍所占的百分比

即可求出4月份“黨史〃類書籍營業(yè)額，和5月份比較，故③錯(cuò)誤；先判斷出1-3月份的營業(yè)總額以及“黨史〃

類T籍的營業(yè)額占當(dāng)月營業(yè)額的百分比都低于4、5月份，再由③的結(jié)論，故④正確.

【詳解】解：該書店4月份的營業(yè)總額是：182-（30+40+25+42：|=45（萬元）,故①正確；5月份“黨史”

類馬籍的營業(yè)額是42x25%=10.5（萬元），故②正確；4月份“黨史'類書籍的營業(yè)額是45x20%=9（萬元），10.5

>9.故③錯(cuò)誤：1一3月份的營業(yè)總額以及“黨史〃類書籍的營業(yè)額占當(dāng)月營業(yè)額的百分比都低于4、5月

份，而4月份"黨史”類書籍的營業(yè)額又小于5月份“黨史”類書籍的營'小額，故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了的是條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)

圖中得到必要的信息.

【變式4-2］（2023?河北滄州?模擬預(yù)測）某中學(xué)開展“迎接2022年北京冬奧會(huì)〃的手抄報(bào)作品征集活動(dòng)，從

中演機(jī)抽取了部分作品，按A,B，C,。，E五個(gè)等級評價(jià)開進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)

圖中提供的信息，下列說法正確的是（）

抽樣成績條形統(tǒng)計(jì)圖抽樣成績扇形統(tǒng)計(jì)圖

A.本次調(diào)查的樣本容最為200

B.C等級的學(xué)生有40名

C.扇形統(tǒng)計(jì)圖8等級所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為144。

D.該校有1200名學(xué)生參加競賽，則估計(jì)成績?yōu)锳和8等級的學(xué)生共有652名

【答案】C

【分析】從條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖中求得樣本容量、相關(guān)頻數(shù)、扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角以及用樣本估計(jì)總

體等知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)排查即可解答.

【詳解】解：A、本次調(diào)查中共抽取學(xué)生數(shù)為26?26%=100人，所以本次調(diào)查的樣本容量為100,故A錯(cuò)

誤；

B、C等級的學(xué)生數(shù)為100x20%=20人，故B錯(cuò)誤；

C、8等級人數(shù)為100-26-20-10-4=40人，所以扇形統(tǒng)計(jì)圖3等級所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為

3600X^=144^,故C正確；

D、該校1200名學(xué)生中估計(jì)成績?yōu)锳和8等級的學(xué)生共有1200X甯=792名，故D錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、樣本容量、用樣本估計(jì)總體，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取所需信

息是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023?北京?一模）科學(xué)技術(shù)的發(fā)展離不開大量的研究與試驗(yàn)，下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了北京市

2013~2017年研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出及增長速度的情況.

2013—2017年研究與實(shí)驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出及增長速度

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有以下四個(gè)推斷：

@2013~2017年，北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出連年增高；

@2014~2017年，北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出較上一年實(shí)際增長最多的是2017年；

③與2015年相比，2016年北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出的增長速度有所下降；

@2013-2017年，北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出的平均增長速度約為8.48%,

其中正確的有.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線圖的信息，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案；

【詳解】解：由統(tǒng)計(jì)圖可以看出2013~2017年，北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出連年增高，故①正確；

2014年北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出較上一年實(shí)際增長83.8億元，

2015年北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出較上一年實(shí)際增長115.2億元，

2016年北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出較上一年實(shí)際增長100.6億元,

2C17年北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出較上一年實(shí)際增長110.7億元，

2014~2017年，北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出較上一年實(shí)際增長最多的是2015年，

故②錯(cuò)誤：

由統(tǒng)計(jì)圖可得2015年北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出的增長速度為9.1%,2016年北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支

出的增長速度為7.3%,故③正確；

2013~2017年，北京市研究與試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)支出的平均增長速度約為(11.4%+7.1%+9.1%+7.3%+7.5%)+5=8.48%,

故④正確，正確的有①③④：

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和折線圖。解題的關(guān)鍵是理解題意。靈活運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖和折線圖的知識(shí)

解決問題.錯(cuò)因分析：①不能正確從統(tǒng)計(jì)圖中找到解題所需的數(shù)據(jù)；②計(jì)算每年的實(shí)際增長量及近五年增速

平均值時(shí)出錯(cuò).

【題型5頻數(shù)分布直方圖】

【例5】（2023?北京一模）為了了解2018年北京市乘坐地鐵的每個(gè)人的月均花費(fèi)情況，相關(guān)部門隨機(jī)調(diào)查

了1000人乘坐地鐵的月均花費(fèi)（單位：元），繪制了如下頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下面3個(gè)推斷

中，合理的是（）

①小明乘坐地鐵的月均花費(fèi)是75元，那么在所調(diào)查的1000人中至少有一半以上的人月均花費(fèi)超過小明；

②估計(jì)平均每人乘坐地鐵的月均花費(fèi)的范圍是60-120元；

③如果規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定數(shù)額可以享受折扣優(yōu)惠，并且享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)控制在20%左右，那么乘坐地

快的月均花費(fèi)達(dá)到120元的人可享受折扣.

【答案】D

【分析】①根據(jù)圖中信息月均花費(fèi)超過80元的有500人，于是得到結(jié)論；

②根據(jù)圖中信息，可得大多數(shù)人乘坐地鐵的月均花費(fèi)在60?120之間，據(jù)此可得平均每人乘坐地鐵的月均花

費(fèi)的范圍；

③該市1000人中，20%左右的人有200人，根據(jù)圖形可得乘坐地鐵的月均花費(fèi)達(dá)到120元的人有200人可

以享受折扣.

【詳解】解：①?.?200+100+80+50+25+25+15+5=500人，

???所調(diào)查的1000人中一定有一半或超過一半的人月均花費(fèi)超過小明，此結(jié)論正確；

②根據(jù)圖中信息，可得大多數(shù)人乘坐地鐵的月均花費(fèi)在60?120之間，估計(jì)平均每人乘坐地鐵的月均花費(fèi)的

范圍是60?120,此結(jié)論正確；

③???1000x20%=200,而80+50+25+25+15+5=200,

???乘坐地鐵的月均花費(fèi)達(dá)到120元的人可享受折扣，

???乘坐地鐵的月均花費(fèi)達(dá)到120元的人可享受折扣，此結(jié)論正確；

綜上，正確的結(jié)論為①②③，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，抽樣調(diào)查以及用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵需要理解，用樣本

去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對總體的估計(jì)也就越精確.抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、省

時(shí)的特點(diǎn)，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度.

【變式5-1］（2023?遼寧營口?一模）為了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)同年級50名學(xué)生進(jìn)行1分鐘

跳繩測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（各組只含最小值，不含最大值）.已知

圖中從左到右各組的頻率分別是0.3,0.4,0.2,設(shè)跳繩次數(shù)不低于100次的學(xué)生有b人,則小b的值

分別是（）

【答案】D

【分析】用總?cè)藬?shù)乘以第3、4組的頻率和可得人的值，由頻率之和等于1可得。的值.

【詳解】解：根據(jù)頻數(shù)、頻率之間的關(guān)系得：

a=1-0.3-0.4-0.2=0.1,

匕=（0.4+0.2）x50=30.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式5-2］（2023?上海奉賢?二模）某校為了了解學(xué)生雙休日參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了100

名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并繪成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖.已知該校共有1000名學(xué)生，據(jù)此估計(jì)，該校雙休口

參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在2?2.5小時(shí)之間的學(xué)生數(shù)大約是全體學(xué)生數(shù)的（填百分?jǐn)?shù)）.

鈕（ASO

時(shí)間,小時(shí)

【答案】28%.

【分析】用被抽查的100名學(xué)生中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在2?2.5小時(shí)之間的學(xué)生除以抽查的學(xué)生總?cè)藬?shù),

即可得解.

【詳解】由頻數(shù)分布直方圖知，2?2.5小時(shí)的人數(shù)為100-（8+24+30+10）=28,則該校雙休口參加社會(huì)實(shí)

踐活動(dòng)時(shí)間在2?2.5小時(shí)之間的學(xué)生數(shù)大約是全體學(xué)生數(shù)的百分比為蕓X1OO%=28%.

故答案為28%.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖以及用樣本估計(jì)總體，利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、

研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題.一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容

量越大，這時(shí)對總體的估計(jì)也就越精確.

【變式5-3］（2023?北京?中考模擬）光明中學(xué)九年級甲、乙、丙三個(gè)班中，每班的學(xué)生人數(shù)都為40名，某

次數(shù)學(xué)考試的成績統(tǒng)計(jì)如下：（如圖，每組分?jǐn)?shù)含最小值，不含最大值）根據(jù)圖、表提供的信息，則80?90

分這一組人數(shù)最多的班是—?

甲班數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布直方圖乙班數(shù)學(xué)成績各分?jǐn)?shù)段人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖

內(nèi)班數(shù)學(xué)成績頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表

分?jǐn)?shù)50?6060-7070?8080?9090-100

人數(shù)1415119

【答案】甲班.

【分析】根據(jù)圖象信息，判斷出甲、乙、丙三個(gè)班級在80?90分這一?組人數(shù)，即可解決問題.

【詳解】由甲班的數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布直方圖可知，則80?90分這一組人數(shù)是大于12人，由乙班數(shù)學(xué)成績的

扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，80?90分這一組人數(shù)是40x（1-10%-5%-35%-20%）=12人，由丙班的成績頻數(shù)

統(tǒng)計(jì)表可知，80?90分這一組人數(shù)是11人，所以甲班在80?90分這一組人數(shù)最多.

故答案為甲班.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

【題型6頻數(shù)與頻率】

【例6】（2023?遼寧營口?一模）為了了解初三畢業(yè)班學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的情況，某校抽取了一部分初三

畢業(yè)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)的測試，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，共分成4組，頻率分布表（不完整）如下表所

示.如果次數(shù)在110次（含110次）以上為達(dá)標(biāo),那么估計(jì)該校初三畢業(yè)生一分鐘跳繩次數(shù)的達(dá)標(biāo)率約為一.

組別分組（合最小值，不含最大值）頻數(shù)頻率

190?10030.06

2100-1101a

3110—120240.48

4120—130bC

【答案】92%

【分析】根據(jù)抽取的學(xué)生一分鐘跳繩的達(dá)標(biāo)率，即可估計(jì)該校初三畢業(yè)生一分鐘跳繩的達(dá)標(biāo)率.

【詳解】解：團(tuán)樣本容量為:3+0.06=50,

團(tuán)該校初三畢業(yè)生一分鐘跳繩次數(shù)的達(dá)標(biāo)率約為當(dāng)二xl00%=92%,

故答案為92%

【點(diǎn)睛】本題考壹的是頻數(shù)分布表的知識(shí)，準(zhǔn)確讀表、從中獲取準(zhǔn)確的信息是解題的關(guān)鍵，注意用樣本估

計(jì)總體的運(yùn)用.

【變式6-1］（2023?浙江溫州?三模）一次數(shù)學(xué)測試后，某班40名學(xué)生的成績被分為6組，第1-4組的頻

數(shù)之和為26,第5組的頻率是0.3則第6組的頻數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】首先根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)X頻率，求得第5組頻數(shù)：再根據(jù)各組的頻數(shù)和等于總數(shù)，求得第6組的頻數(shù)

即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，第5組頻數(shù)為：

40x0.1=4,

故第6組的頻數(shù)為：40-26-4=10.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是對頻率、頻數(shù)靈活運(yùn)用的綜合考查，掌握頻率和頻數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.用到的知識(shí)點(diǎn):

各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總和，各小組頻率之和等于1;頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率=頻數(shù)+總數(shù).

【變式6-2］（2023?湖北十堰?模擬預(yù)測）哪陽"的拼音""心做”中，字母？〃出現(xiàn)的頻率是（）

211

A.2B.-C.-D.-

737

【答案】B

【分析】找出字母了,出現(xiàn)的次數(shù)以及總字母數(shù)，再由頻率=頻數(shù)+總數(shù)，即可解答.

【詳解】解：拼音個(gè)前戶加g”中，總共有7個(gè)字母，字母“尸出現(xiàn)的次數(shù)為2次，

故字母仆”出現(xiàn)的頻率是2+7=；,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)和頻率的知識(shí)，熟知頻率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2023?上海楊浦?三模）將樣本容量為100的樣本編制成組號(hào)①?⑧的八個(gè)組.簡況如表所示:

組號(hào)②③④⑤⑥⑦⑧

頻數(shù)14111213團(tuán)131210

那么第⑤組的頻率是（）

A.14B.15C.0.14D.0.15

【答案】D

【分析】先用樣本容量分別減去其它7組的頻數(shù)得到第⑤組的頻數(shù)，然后根據(jù)頻率的定義計(jì)算第⑤組的頻

率.

【詳解】第⑤組的頻數(shù)為100-14-11-12-13-13-12-10=15,

所以第⑤組的頻率=15+100=0.15.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻（數(shù)）率分布表：在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常把數(shù)據(jù)按照不同的范圍分成幾個(gè)組，分成的

組的個(gè)數(shù)稱為組數(shù)，每一組兩個(gè)端點(diǎn)的差稱為組距，稱這樣畫出的統(tǒng)計(jì)圖表為頻數(shù)分布表.也考查了頻數(shù)

與頻率.

【題型7與平均數(shù)有關(guān)的計(jì)算】

【例7】（2023?河南?二模）在一次射擊訓(xùn)練中，某小組的成績?nèi)缦卤?已知該小組的平均成績?yōu)?.9環(huán)，

那么成績?yōu)?環(huán)的人數(shù)為（）

環(huán)數(shù)789

人數(shù)21

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】設(shè)成績?yōu)?環(huán)的有x人，根據(jù)平均數(shù)的定義可得關(guān)于工的方程，解方程即得答案.

【詳解】解：設(shè)成績?yōu)?環(huán)的有x人，根據(jù)題意得：

經(jīng)檢驗(yàn)：x=7是上述方程的解.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)的定義和解分式方程，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平均數(shù)的概念是關(guān)鍵.

【變式7-1]（2023?廣西河池?二模）某地區(qū)700個(gè)家庭的月收入按從低到高分別為:5800元，…，10000

元，各不相同.在將數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)時(shí)，錄入人員把最大的數(shù)錯(cuò)誤地輸成了1000元，則依據(jù)錯(cuò)誤數(shù)字算出

的平均值比實(shí)際數(shù)字的平均值少.

【答案】90

【分析】結(jié)合已知，根據(jù)平均數(shù)的定義，表示出輸入錯(cuò)誤數(shù)字和輸入實(shí)際數(shù)字時(shí)算得的平均數(shù)；再將這兩

種情況下得到的平均數(shù)作差，計(jì)算出結(jié)果，即可完成解答.

本題考查平均數(shù)的計(jì)算，掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】按輸入錯(cuò)誤的數(shù)字表示出來的平均數(shù)為58。。：二~1。。。,

若輸入實(shí)際的數(shù)字表示出來的平均數(shù)為電產(chǎn)”，

這兩個(gè)平均數(shù)作差，得58。。+需。。。。_58OO；O；1。。。=翳=90,

故依據(jù)錯(cuò)誤數(shù)字算出來的平均值與實(shí)際的平均值的差為90元.

故答案為：90.

【變式7-2](2023?廣西柳州?中考模擬)如果兩組數(shù)據(jù)xi，x2、……xn；V1,y2……y0的平均數(shù)分別為元和產(chǎn)，

那么新的一組數(shù)據(jù)2x1+y]，2x2+y2......2Xn+yn的平均數(shù)是()

A.2xB.2yC.2x+yD.等

【答案】C

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：由已知，(Xi+X2+...+Xn)=位，

(yi+V2+...+yn)=ny,

新的一組數(shù)據(jù)2x1+V1,2x2+y2......2Xn+yn的平均數(shù)為

(2x：+yi，2X2+Y2??????2xn+yn)+n

=[2(xi+x2+...+xn)+(yi+y2+...+yn)]-s-n

=(2nx+ny)-rn

=2x+y

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是平均數(shù)，熟練掌握平均數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)某商店有4,B兩種糖果，原價(jià)分別為a元/千克和匕元/千克.據(jù)

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，將兩種糖果按A種糖果加千克與4種糖果〃千克的比例混合，取得了較好的銷售效果.現(xiàn)調(diào)整

糖果價(jià)格，若A種糖果單價(jià)上漲20%,B種糖果單價(jià)下調(diào)10%,仍按原比例混合后，糖果單價(jià)恰好不變.則

7T為一

【答案】?

2a

【分析】本題主要考查了求加權(quán)平均數(shù)、比例的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知條件表示出價(jià)格變化前后兩種糖

果的平均價(jià)格是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)已知條件表示出價(jià)格變化前后兩種糖果的平均價(jià)格，進(jìn)而得到等式化簡即可解答.

【詳解】解：根據(jù)題意得:an+bn_am(l+20%)+bn(l-10%)

7n+nm+n

即am+bn=1.2am+0.9bn,

回0.2arn=O.lbn,

n0.2a2a

故答案為:￡

【題型8與中位數(shù)、眾數(shù)有關(guān)的計(jì)算】

【例8】（2023?浙江杭州?一模）一組數(shù)據(jù)一3,a,2,3,5有唯一的眾數(shù)3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.-2B.1C.3D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求出Q的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：?.?這組數(shù)據(jù)一3,Q,2,3,5有唯一的眾數(shù)3,

a=3,

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為:-3,2,3,3,5,

處在中間位置的數(shù)為3,即中位數(shù)為3,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大

（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果

這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【變式8-1］（2023?江蘇南京?二模）下表是某少年足球俱樂部學(xué)員的年齡分布，其中一個(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋了.若

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13.5歲，則這個(gè)俱樂部共有學(xué)員人.

年齡13141516

頻數(shù)282223

【答案】146

【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念計(jì)算即可.

【詳解】解：由中位數(shù)為13.5歲，可知中間的兩個(gè)數(shù)為13,14,

13這個(gè)俱樂部共有學(xué)員（28+22+23）x2=146（人）.

故答案為:146.

【點(diǎn)睛】本題主要考食了中位數(shù)的概念，讀懂列表，從中得到必要的信息是解答本題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2023?四川眉山?模擬預(yù)測）《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022）年版）》首次把學(xué)生學(xué)會(huì)炒菜納入勞

動(dòng)教育課程，并做出明確規(guī)定.某班有7名學(xué)生己經(jīng)學(xué)會(huì)炒的菜品的種數(shù)依次為：3,4,3,5,5,6,3,

則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.3,4B.4,3C.3,3D.4,4

【答案】A

【分析】本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)的概念，中位數(shù)：先將一列數(shù)排序，取中間的數(shù).若這列數(shù)的個(gè)數(shù)是

偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)和的一半，若這列數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則中間的數(shù)就是中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出

現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的概念解答即可.

【詳解】解：???這7個(gè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是3,

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3.

把這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排為：

3,3,3,4,5,5,6,

位于中間的數(shù)據(jù)為4,

,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4.

故選:A.

【變式8-3］（2023?江蘇南京?二植〉已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,口，。的平均數(shù)是4,若該組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)小于4,則。的值可能是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】由平均數(shù)定義可得Q+b的值，再由中位數(shù)的定義可知出力中必有一個(gè)是小于4的，即可得出答案.

【詳解】解：團(tuán)數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,小〃的平均數(shù)是4,

團(tuán)l+2+3+4+5+a+b=7x4=28,

???a+b=13,

將此組數(shù)據(jù)由小到大排列，則第4個(gè)數(shù)據(jù)即為中位數(shù)，

又團(tuán)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于4,

0a,〃兩數(shù)中必有一個(gè)值小于4,

???Q+匕=13,

北，b兩數(shù)中較大的數(shù)的值.大于9,

國。的值可能是10.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)定義：所有數(shù)的總和除以數(shù)的個(gè)數(shù)；中位數(shù)定義：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，

若奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)則中間的就是中位數(shù)，若偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，則取中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)；熟練掌握平均

數(shù)和中位數(shù)定義是解題的關(guān)鍵.

【題型9與方差有關(guān)的計(jì)算】

【例9】(2023?江蘇連云港?一模)某人5次射擊成績?yōu)?,小10,8,b.若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,方差

為會(huì)則附的值是()

A.48B.50C.64D.68

【答案】C

【分析】根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式和方差計(jì)算公式可得出Q+》=16,。2+匕2=]28再變形求解即可.

【詳解】解：團(tuán)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,

0(6+Q+8+b+10)+5=8

回Q+匕=16；

團(tuán)這組數(shù)據(jù)的方差為3

疇[(6-8)2+(a-8)2+(8-8)2+(b—8)2+(10-8)2]=

0a2+b2=128,

^2ab=(a+b)2-(a2+b2)=162-128=128

0ah=64

故選：C.

【點(diǎn)睛】要是主要考杳了平均數(shù)計(jì)算公式和方差計(jì)算公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【變式9-1](2023?河北石家莊?二模)若某一樣本的方差為s2=；[(5-7>+(7-7>+(8-7產(chǎn)+

(%-7)2+(y-7)2],樣本容量為5.則下列說法：①當(dāng)％=9時(shí)，y=6；②該樣本的平均數(shù)為7；③%,

y的平均數(shù)是7；④該樣本的方差與％,y的值無關(guān).其中小氐娜的是()

A.①②B.②④C.①③D.③④

【答案】D

【分析】先根據(jù)方差的定義及其計(jì)算公式得出：這組數(shù)據(jù)為5、7、8、X、)，且這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,繼而

知x+y=15,再逐一判斷即可.

【詳解】解：貼2=；[(5-7)2+(7-7)\(8-7)\(x-7)\(y-7)[,

團(tuán)這組數(shù)據(jù)為5、7、8、小y,且這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,

05+7+8+A+y=35,

歐+y=15,

①當(dāng)x=9時(shí)，y=6,此說法正確；

②這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,故此說法正確：

③X、)，的平均數(shù)為￡=7.5,故此說法錯(cuò)誤；

④該樣本的方差與-)，的值有關(guān)，故此說法錯(cuò)誤；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考行方差，解題的關(guān)鍵是掌握力差的定義和計(jì)算公式.

【變式9-2](2023?江蘇南京?二模)若一組數(shù)據(jù)1,3,5,小8的方差是2,則另一組數(shù)3,9,15,3小

24的方差是.

【答案】18

【分析】根據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)都放大或縮小相同的倍數(shù)，其平均數(shù)也有相對應(yīng)的變化，方差則變?yōu)檫@個(gè)倍數(shù)的平

方倍，從而得出答案.

【詳解】解：因一組數(shù)據(jù)1,3,5,。，8的方差是2,

回另一組數(shù)據(jù)3,9,15,3a,24的方差是2X32=18.

故答案為：18

【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算公式的運(yùn)用：一般地設(shè)有〃個(gè)數(shù)據(jù)，與，孫，???$，若每個(gè)數(shù)據(jù)都放大或縮小

相同的倍數(shù)后再同加或同減去一個(gè)數(shù)，其平均數(shù)也有相對應(yīng)的變化，方差則變?yōu)檫@個(gè)倍數(shù)的平方倍.

【變式9-3](2023?內(nèi)蒙古包頭?三模)若一組數(shù)據(jù)3,0,〃，3,-2,1的中位數(shù)為1,則這組數(shù)據(jù)的方差

是.

【答案】3

【分析】先根據(jù)中位數(shù)的定義求出〃的值，再根據(jù)方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)3,0,a,3,一2,1的中位數(shù)為1,

將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，1是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

則中間的兩個(gè)數(shù)為。和1，等=1，

解得Q=l,

平均數(shù)M=7(3+0+1+3-2+1)=1,

6

S2=7[(3-I)2+(0—I)2+(1-I)2+(3—I)2+(-2-I)2+(1-I)2]=3,

6

故答案為：3.

【點(diǎn)睹】本題考查中位數(shù)的定義和方差的計(jì)算，掌握方差的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【題型10根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性】

【例10](2023?內(nèi)蒙古呼和浩特,一模)2022年2月在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦了第24屆冬季奧林匹克

運(yùn)動(dòng)會(huì).寒假期間學(xué)校組織部分滑雪愛好者參加冬令營集訓(xùn)，訓(xùn)練期間，每位同學(xué)都參加了40次“單板滑雪〃

項(xiàng)目訓(xùn)練測試.已知每次測試成績分別為5分，4分，3分，2分，1分五檔.下面是甲乙兩位同學(xué)參加這

個(gè)項(xiàng)目的40次測試成績統(tǒng)計(jì)圖.

甲同學(xué)測試成績乙同學(xué)測試成績

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖求得的甲同學(xué)測試成績的中位數(shù)以及對甲、乙兩位同學(xué)測試成績穩(wěn)定性的判斷，正確的是()

A.3,乙更穩(wěn)定B.3,甲更穩(wěn)定C.2.5,甲更穩(wěn)定D.2.5,乙更穩(wěn)定

【答案】A

【分析】根據(jù)方差、中位數(shù)的定義求出方差和中位數(shù)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：0甲同學(xué)第20和第21次的測試成績都是3,

回甲同學(xué)測試成績的中位數(shù)是3；

甲同學(xué)的平均數(shù)是(1x7+2x10+3x11+4x4+5x8)+40=2.9(分)，

222

=*x[(1-2.9)2x7+(2-2.9)2x10+(3-2.9)xll+(4-2.9)X4+(5-2.9)X8]=1.84,

乙同學(xué)的平均數(shù)是(1x3+2x15+3x15+4x6+5x1)+40=2.675(分)，

X[(1-2.675產(chǎn)x34-(2-2.675)2x15+(3-2.675)2x15+(4-2.67S)2x6+(5-2.675)2X

1]=0.82,

01.84>0.82,

回甲、乙兩位同學(xué)中單板滑雪成績更穩(wěn)定的是乙同學(xué)，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了方差、中位數(shù)的概念，熟練掌握方差計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【變式10-1】（2023?廣西柳州?二模）如圖是甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員10次射擊成績的折線統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)折

線圖判斷