PAGE1專題01函數(shù)的概念及其表示題型一：抽象函數(shù)求定義域題型二：求函數(shù)的值域題型三：分段函數(shù)求值、不等式問題題型四：求函數(shù)的解析式題型一：抽象函數(shù)求定義域1．已知函數(shù)的定義域為，值域為，則（

）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的定義域和值域都是D．函數(shù)的定義域和值域都是【答案】B【詳解】對于A選項：令，可得，所以函數(shù)的定義域為，故A選項錯誤；對于B選項：因為的值域為，所以的值域為，可得向下平移兩個單位的函數(shù)的值域也為，故B選項正確；對于C選項：令，得，所以函數(shù)的定義域為，故C選項錯誤；對于D選項：若函數(shù)的值域為，則，此時無法判斷其定義域是否為，故D選項錯誤.故選：B2．函數(shù)的定義域為，函數(shù)，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由于的定義域為，故，因此的定義域滿足，解得且，故定義域為，故選：C3．下列說法錯誤的是（

）A．已知函數(shù)，則B．與是同一函數(shù)C．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是D．函數(shù)的值域為【答案】C【詳解】對于A，，令，而方程有實數(shù)解，所以，A正確；對于B，函數(shù)的定義域相同，對應法則相同，它們是同一函數(shù)，B正確；對于C，在函數(shù)中，，則，于是在函數(shù)中，，解得，所以函數(shù)的定義域是，C錯誤；對于D，函數(shù)中，，解得或，的取值集合是，因此函數(shù)的值域為，D正確.故選：C4．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為的定義域為，所以在中，，則，則在中，，則．又，所以的定義域為．故選：B.5．下列說法正確的是（

）A．命題“，都有”的否定是“，使得”B．若，則C．與表示同一函數(shù)D．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】AD【詳解】對于A，由全稱命題的否定是特稱可得命題“，都有”的否定是“，使得”，故A正確；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，當時，無意義，而，故C錯誤；對于D，因為函數(shù)的定義域為，所以，即，解得，所以函數(shù)的定義域為，故D正確；故選：AD.6．下列說法正確的是（）A．與表示同一個函數(shù)B．方程有且僅有一個根，則實數(shù)的值為C．函數(shù)的值域為D．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】AD【詳解】對于選項A：由，解得，所以的定義域為，由，解得，所以的定義域為，且，故兩函數(shù)有相同的定義域及對應關系，表示同一個函數(shù)，故A正確；對于選項B：若，方程有且僅有一個根，符合題意，故B錯誤；對于選項C：令，則，可得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，可得，所以函數(shù)的值域為，故C錯誤；對于選項D：因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，所以函數(shù)的定義域為，故D正確；故選：AD.7．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是【答案】【詳解】由題意可得：，解得：，所以定義域是，故答案為：8．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【詳解】由題可知，對于函數(shù)滿足，所以，所以對于函數(shù)有，所以，所以函數(shù)定義域為.故答案為：.9．已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．【答案】答案見解析【詳解】由題意，，即.當或，即或時，不存在，即的定義域為，不滿足函數(shù)定義，函數(shù)無意義；當，即時，，的定義域為；當，即時，，的定義域為；當時，即時，，故的定義域為；當時，即時，，故的定義域為．綜上：①當或時，的定義域為；②當時，的定義域為；③當時，的定義域為；④當或時，函數(shù)定義域為，不存在．10．（1）已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域．（2）已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）由題意，，則，解得或，因此函數(shù)的定義域為．（2）由題意，的定義域為，即，所以有，，故函數(shù)的定義域為．題型二：求函數(shù)的值域11．滿足的實數(shù)對，構成的點共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【答案】C【詳解】由，又，則，所以在單調(diào)遞增，故值域為，即是的兩根，解得，當時，點為，當時，點為，當時，點為.故選：C12．已知集合，其中，函數(shù)的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域為A，值域為B，所以當時，；當時，；當時，；當時，；所以，又，所以若，解得或，因為，所以.此時，所以，則；若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.13．函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設，則，所以，因為，在上單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，所以函數(shù)，的值域是，故選：D.14．已知函數(shù)，則該函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，則，因為，所以，所以，則，所以，顯然，所以，即該函數(shù)的值域為.故選：D15．已知集合，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】函數(shù)中，則，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，則，故C正確；對于D，集合A的元素是數(shù)，集合的元素是有序?qū)崝?shù)對，因此，故D正確.故選：BCD.16．與函數(shù)值域相同的函數(shù)有（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】當時，函數(shù)，當且僅當時，等號成立，則的值域為，對于A，函數(shù)，當時有最小值，故其值域為，故A正確；對于B，因為，則，則的值域為，故B錯誤；對于C，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故的值域為，故C正確；對于D，當時，函數(shù)，其值域為，故D錯誤．故選：AC.17．下列函數(shù)值域是的為（）A． B．C． D．，【答案】AB【詳解】對A，因為，所以，A正確；對B，因為，所以，B正確；對C，，C錯誤；對D，，因為，所以，，所以，D錯誤.故選：AB.18．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結論正確的是（

）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間C．是函數(shù)的一個跟隨區(qū)間D．二次函數(shù)存在“倍跟隨區(qū)間”【答案】BCD【詳解】對于A，在上單調(diào)遞增，的值域為，，解得：（舍）或，A錯誤；對于B，在，上單調(diào)遞增，若存在跟隨區(qū)間，則，即為方程的兩根，即，無解，不存在跟隨區(qū)間，B正確；對于C，，當時，；又，，，在上的值域為，即是的一個跟隨區(qū)間，C正確；對于D，若存在“倍跟隨區(qū)間”，則其值域為；當時，在上單調(diào)遞增，，則是方程的兩根，解得：或，即，，是的一個“倍跟隨區(qū)間”，D正確.故選：BCD.19．求下列函數(shù)的值域：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以函數(shù)的值域為.（2）令，則，可得，當時，等號成立，所以函數(shù)的值域為.（3）因為，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，即，所以函數(shù)的值域為.20．從商業(yè)化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”——圖書館．建設高水平、現(xiàn)代化、開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲．現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地，其平面圖形如圖1所示，，建立如圖2所示的平面直角坐標系，將曲線看成函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分．

(1)求的值；(2)若在此地塊上建一座圖書館，其平面圖為直角梯形（如圖2，點在上，點在上，點在曲線上，），求圖書館平面圖周長的最大值．【答案】(1)2(2)17【詳解】（1）因為為一次函數(shù)，，則，所以的函數(shù)解析式為，所以，由圖象知，的圖象經(jīng)過點，則，解得.（2）由（1）得，，的函數(shù)解析式為，設，則，，所以，，，設直角梯形周長為，所以，令，所以，所以當，即時，周長有最大值，最大值為17.所以圖書館平面圖周長的最大值為17.題型三：分段函數(shù)求值、不等式問題21．已知函數(shù)若實數(shù)滿足且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：因為且，從圖像可得，因為，所以，即，因為，所以，則，所以的取值范圍為，故選：C.22．如果函數(shù)那么（

）A．2020 B．2021 C．2023 D．2025【答案】B【詳解】記，，根據(jù)可得，，而，，，，，，所以的周期為5，取值分別為2023，2024，2020，2021，2022，.故選：B23．設函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)，則，不等式，當時，，解得，因此；當時，，即，解得或，因此或，所以不等式的解集是.故選：B24．設，定義符號函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于選項A，，，故，故A不正確；對于選項B，，，故，故B不正確；對于選項C，，，故，故C不正確；對于選項D，，，故，故D正確.故選：D.25．下列選項中正確的有（

）A．已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為B．與表示同一函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線的交點最多有1個D．若函數(shù)，則5【答案】ACD【詳解】對A，設，則，即，解得或，故A正確；對B，定義域為，定義域為，所以不是同一函數(shù)，故B錯誤；對C，當在的定義域內(nèi)時，函數(shù)的圖象與直線有一個交點，當不在的定義域內(nèi)時，函數(shù)的圖象與直線沒有交點，故C正確；對D，由解析式，故D正確.故選：ACD26．已知函數(shù)，則下列關于函數(shù)的結論正確的是（

）A． B．若，則x的值是C．的解集為 D．的值域為【答案】ABD【詳解】對于A，因為，則，所以，故A正確；對于B，當時，，解得：（舍）；當時，，解得：（舍）或；的解為，故B正確；對于C，當時，，解得：；當時，，解得：；的解集為，故C錯誤；對于D，當時，；當時，；的值域為，故D正確.故選：ABD.27．，用表示，的較小者，記為，若，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)有最小值，無最大值C．不等式的解集是D．若a，b，c是方程的三個不同的實數(shù)解，則【答案】ACD【詳解】注意到或，.則.A選項，，故A正確.B選項，由可知無最小值，無最大值，故B錯誤；C選項，當時，；當時，不存在.綜上，不等式的解集是，故C正確；D選項，當時，；當時，，則，故D正確.故選：ACD28．（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（2）已知，求；（3）已知函數(shù)，求；【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）令，又，所以，所以，故；（2）由題設，聯(lián)立，所以，則，故；（3）由題設，時，時，時，所以.29．已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求實數(shù)的值；(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；(2)或；(3).【詳解】（1）依題意，，而,所以.（2）當時，，解得，不合題意；當時，，即，而，則；當時，，解得，符合題意，所以當時，或.（3）由，得或或，解得或或或,所以實數(shù)的取值范圍是.30．如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線右側的圖形的面積為函數(shù)．

(1)求的解析式；(2)已知時，．若正實數(shù)滿足，求的最小值．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）當時，，當時，；當時，；綜上所述（2）由（1）知，當時，，或-1（舍去）；當時，，或3（舍去）；所以．，都是正實數(shù)，，當且僅當，即，時，等號成立，取最小值，的最小值為．題型四：求函數(shù)的解析式31．設函數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，所以，解得：，，所以.故選：D32．設函數(shù)為一次函數(shù)，且，則（

）A．3或1 B．1 C．1或 D．或1【答案】B【詳解】設一次函數(shù)，則，，，解得或，或，或.故選：B.33．已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】令，則，，∴，∴.故選：B.34．設函數(shù)，記，，…，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)，則，，，，所以故選：A35．已知，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．（）C．（） D．（）【答案】C【詳解】設（），則，，所以（），故選：C.36．已知定義域為，則錯誤的是（

）A． B．C．， D．函數(shù)的定義域為【答案】ABD【詳解】已知，設，則.因為，所以.那么，化簡可得，，即，.

當時，，所以無定義，A選項錯誤.

當時，，所以無定義，B選項錯誤.

由前面的計算可知，，C選項正確.

對于函數(shù)，因為的定義域為，所以.解不等式得，所以函數(shù)的定義域為，D選項錯誤.故選：ABD.37．下列說法正確的是（）A．已知，則B．已知，則C．已知一次函數(shù)滿足，則D．定義在上的函數(shù)滿足，則【答案】AD【詳解】對于A選項，若，則，A對；對于B選項，若，令，則且，所以，，故，B錯；對于C選項，因為一次函數(shù)滿足，設，則，所以，，解得或，因此，或，C錯；對于D選項，定義在上的函數(shù)滿足①，可得②，由①②可得，D對.故選：AD.38．下列選項中正確的有（）A．已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為B．與表示同一函數(shù)C．函數(shù)的值域為D．定義在上的函數(shù)滿足，則【答案】ACD【詳解】對A，設，則，即，解得或，所以的解析式可能為，故A正確；對B，定義域為，定義域為，兩者定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為，則函數(shù)，當且僅當，即時取