一、單元地位與復(fù)習(xí)目標(biāo)“倍數(shù)與因數(shù)”是五年級數(shù)學(xué)的核心數(shù)論單元，是整數(shù)認(rèn)識的深化與拓展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)約分、通分、分?jǐn)?shù)四則運算的基礎(chǔ)工具。本單元復(fù)習(xí)需達成以下目標(biāo)：1.準(zhǔn)確理解因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等概念的定義與邏輯關(guān)系；2.熟練掌握找因數(shù)、倍數(shù)的方法，以及2、3、5的倍數(shù)特征；3.能正確計算兩個數(shù)的最大公因數(shù)（GCD）和最小公倍數(shù)（LCM）；4.避免常見易錯點，提升應(yīng)用概念解決實際問題的能力。二、核心知識點梳理（一）因數(shù)與倍數(shù)的基本概念1.定義：在整數(shù)除法中（除數(shù)\(b\neq0\)），若商是整數(shù)且無余數(shù)，則稱\(a\)是\(b\)的倍數(shù)，\(b\)是\(a\)的因數(shù)（或約數(shù)）。例：\(12\div3=4\)，則12是3和4的倍數(shù)，3和4是12的因數(shù)。2.相互依存性：因數(shù)與倍數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨說“12是倍數(shù)”或“3是因數(shù)”，必須表述為“12是3的倍數(shù)”或“3是12的因數(shù)”。3.0的特殊性：0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)（如\(0\div5=0\)），但0沒有因數(shù)（0不能做除數(shù)）。（二）因數(shù)與倍數(shù)的尋找方法1.找一個數(shù)的因數(shù)：方法：成對列舉法（從1開始，依次試除，直到商與除數(shù)相等）。例：找18的因數(shù)——\(18\div1=18\)，\(18\div2=9\)，\(18\div3=6\)，\(18\div6=3\)（重復(fù)），故18的因數(shù)為\(1,2,3,6,9,18\)。注意：一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。2.找一個數(shù)的倍數(shù)：方法：依次相乘（用這個數(shù)乘1,2,3,…）。例：找7的倍數(shù)——\(7\times1=7\)，\(7\times2=14\)，\(7\times3=21\)，…（無限延伸）。注意：一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)是無限的，最小倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù)。（三）2、3、5的倍數(shù)特征倍數(shù)類型特征舉例2的倍數(shù)個位是0,2,4,6,8（偶數(shù)）12,34,505的倍數(shù)個位是0或515,20,453的倍數(shù)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)12（1+2=3）、36（3+6=9）組合特征：既是2又是5的倍數(shù)：個位是0（如20,30）；既是2又是3的倍數(shù)：個位是偶數(shù)且數(shù)字和是3的倍數(shù)（如12,24）；既是3又是5的倍數(shù)：個位是0或5且數(shù)字和是3的倍數(shù)（如15,30）；既是2、3又是5的倍數(shù)：個位是0且數(shù)字和是3的倍數(shù)（如30,60）。（四）質(zhì)數(shù)與合數(shù)1.定義：質(zhì)數(shù)（素數(shù)）：大于1的自然數(shù)，只有1和它本身兩個因數(shù)（如2,3,5,7）；合數(shù)：大于1的自然數(shù)，除了1和它本身還有其他因數(shù)（如4,6,8,9）。2.1的特殊性：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)（只有1個因數(shù)）。3.100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表（需背誦）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97（共25個）。（五）最大公因數(shù)（GCD）與最小公倍數(shù)（LCM）1.定義：最大公因數(shù)：幾個數(shù)公有的因數(shù)中最大的一個（記作\((a,b)\)）；最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)中最小的一個（記作\([a,b]\)）。例：12和18的公因數(shù)有1,2,3,6，故\((12,18)=6\)；公倍數(shù)有36,72,…，故\([12,18]=36\)。2.尋找方法：列舉法：分別列出因數(shù)/倍數(shù)，找公共最大/最?。ㄟm用于小數(shù)）；分解質(zhì)因數(shù)法：最大公因數(shù)：取各質(zhì)因數(shù)的最小次冪相乘；最小公倍數(shù)：取各質(zhì)因數(shù)的最高次冪相乘。例：\(12=2^2\times3\)，\(18=2\times3^2\)，則\((12,18)=2\times3=6\)，\([12,18]=2^2\times3^2=36\)；短除法：用公因數(shù)連續(xù)去除，直到商互質(zhì)（只有公因數(shù)1），則：最大公因數(shù)=所有除數(shù)的乘積；最小公倍數(shù)=除數(shù)×商的乘積。例：12和18用短除法，除以2得6和9，再除以3得2和3（互質(zhì)），故\((12,18)=2×3=6\)，\([12,18]=2×3×2×3=36\)。3.特殊情況：互質(zhì)數(shù)（如5和7）：\((a,b)=1\)，\([a,b]=a×b\)；倍數(shù)關(guān)系（如12和6）：\((a,b)=\text{較小數(shù)}\)，\([a,b]=\text{較大數(shù)}\)。三、常見易錯點提醒1.概念混淆：不能單獨說“8是倍數(shù)”，需明確“8是2的倍數(shù)”；2.1的分類：易將1歸為質(zhì)數(shù)，記住1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；3.3的倍數(shù)特征：誤看個位（如認(rèn)為13是3的倍數(shù)），應(yīng)看數(shù)字和（1+3=4，不是3的倍數(shù)）；4.找因數(shù)遺漏：如找24的因數(shù)時漏掉1或24，需用成對列舉法；5.倍數(shù)的無限性：不能說“最大的倍數(shù)是100”，倍數(shù)沒有最大值；6.計算錯誤：短除法中，最大公因數(shù)是除數(shù)乘積，最小公倍數(shù)是除數(shù)×商乘積，不要混淆。四、典型例題解析1.找因數(shù)例：找出30的所有因數(shù)。解析：成對列舉——\(30÷1=30\)，\(30÷2=15\)，\(30÷3=10\)，\(30÷5=6\)，故30的因數(shù)為\(1,2,3,5,6,10,15,30\)。2.找倍數(shù)例：寫出40以內(nèi)6的倍數(shù)。解析：\(6×1=6\)，\(6×2=12\)，\(6×3=18\)，\(6×4=24\)，\(6×5=30\)，\(6×6=36\)，\(6×7=42\)（超過40），故40以內(nèi)6的倍數(shù)為\(6,12,18,24,30,36\)。3.2、3、5的倍數(shù)判斷例：判斷120是否是2、3、5的倍數(shù)。解析：個位是0→是2和5的倍數(shù)；數(shù)字和1+2+0=3→是3的倍數(shù)，故120是2、3、5的倍數(shù)。4.質(zhì)數(shù)合數(shù)判斷例：判斷17、25、29是否為質(zhì)數(shù)。解析：17只有1和17兩個因數(shù)→質(zhì)數(shù)；25有1,5,25三個因數(shù)→合數(shù)；29只有1和29兩個因數(shù)→質(zhì)數(shù)。5.最大公因數(shù)計算例：求16和24的最大公因數(shù)。解析：短除法——除以2得8和12，再除以2得4和6，再除以2得2和3（互質(zhì)），故\((16,24)=2×2×2=8\)。6.最小公倍數(shù)計算例：求15和20的最小公倍數(shù)。解析：分解質(zhì)因數(shù)——\(15=3×5\)，\(20=2^2×5\)，故\([15,20]=2^2×3×5=60\)。五、復(fù)習(xí)建議1.構(gòu)建知識框架：用思維導(dǎo)圖整理“因數(shù)與倍數(shù)→2、3、5的倍數(shù)特征→質(zhì)數(shù)與合數(shù)→最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”的邏輯關(guān)系，明確各知識點的聯(lián)系（如質(zhì)數(shù)是因數(shù)個數(shù)為2的數(shù)，最大公因數(shù)用于分?jǐn)?shù)約分）。2.背誦關(guān)鍵內(nèi)容：熟練記憶100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表、2、3、5的倍數(shù)特征（可通過“兒歌”輔助：“2的倍數(shù)看個位，0,2,4,6,8；5的倍數(shù)個位0或5；3的倍數(shù)看和數(shù)”）。3.針對性練習(xí)：重點練習(xí)易錯點：如找因數(shù)（避免遺漏1或本身）、判斷質(zhì)數(shù)（注意1和偶數(shù)的特殊性）、計算最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)（短除法步驟）；使用“錯題本”：記錄錯誤題目（如“把1當(dāng)成質(zhì)數(shù)”“3的倍數(shù)特征記錯”），標(biāo)注錯誤原因，反復(fù)鞏固。4.聯(lián)系實際應(yīng)用：最大公因數(shù)：分糖果（每袋糖果數(shù)相同且無剩余，求每袋最多裝多少顆）、剪正方形（用長方形紙剪最大正方形，邊長是長和寬的最大公因數(shù)）；最小公倍數(shù)：相遇問題（兩人同時出發(fā)，再次同時相遇的時間是速度的最小公倍數(shù)）、找共同時間（每周六、日休息，下次同時休息是6和7的最小公倍數(shù)42天）。5.互動復(fù)習(xí)：與同學(xué)互相出題（如“說出10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)”“求12和18的