漯河市高考數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極值，則下列說法正確的是（）

A.a≠0

B.b=0

C.c=0

D.a+b+c=0

2.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∩B=?，則a的取值范圍是（）

A.(-1,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.{0}

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

3.若復數(shù)z滿足z^2=1，則z的取值是（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a與b的夾角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

5.圓x^2+y^2-2x+4y-3=0的圓心坐標是（）

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-1,-2)

6.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=2，d=3，則S_4的值是（）

A.20

B.24

C.28

D.32

7.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關于哪個點對稱？（）

A.(π/3,0)

B.(π/6,0)

C.(π/2,0)

D.(2π/3,0)

8.已知直線l1:ax+by+c=0與l2:2x-y+1=0平行，則a的取值是（）

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

9.已知三角形ABC的三邊長分別為3，4，5，則角B的大小是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.已知函數(shù)f(x)=e^x，則其反函數(shù)f^-1(x)的解析式是（）

A.ln(x)

B.-ln(x)

C.e^-x

D.-e^-x

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2+1

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，則該數(shù)列的通項公式a_n可能是（）

A.2*3^(n-1)

B.3*2^(n-1)

C.-2*3^(n-1)

D.-3*2^(n-1)

3.下列命題中，真命題有（）

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若a^2>b^2，則a>b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b，則|a|>|b|

4.已知直線l1:y=kx+b與圓C:x^2+y^2=1相交于A、B兩點，且|AB|=√2，則k的可能取值有（）

A.1

B.-1

C.√2

D.-√2

5.下列說法中，正確的有（）

A.拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是1/2

B.在標準正態(tài)分布中，P(Z<0)=0.5

C.一個樣本的方差S^2=0，則該樣本的所有數(shù)據(jù)都相等

D.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)，若f(2)=1，則a的值等于_______。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5，a_5=15，則該數(shù)列的公差d等于_______。

3.若復數(shù)z=3+4i的模長為|z|，則|z|等于_______。

4.已知直線l1:y=x+1與直線l2:ax+2y-1=0垂直，則a的值等于_______。

5.從一副標準的52張撲克牌（去掉大小王）中隨機抽取一張，抽到紅桃的概率等于_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{3x-2y=7

{x+4y=-5

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.在直角坐標系中，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(3,0)。求向量AB的模長以及方向角（即向量AB與x軸正方向的夾角，結果用反三角函數(shù)表示）。

5.一個袋中有5個紅球，3個白球，4個黑球，這些球除了顏色外完全相同。從中任意摸出3個球，求摸出的3個球顏色各不相同的概率。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，說明f'(1)=0。f'(x)=2ax+b，所以2a(1)+b=0，即b=-2a。選項Aa≠0是必要條件，否則f(x)為一次函數(shù)，無極值。

2.C

解析：A={x|x>1或x<2}，B={x|x=1/a}。若A∩B=?，則對于任意x∈A，x≠1/a。特別是x=1時，1?B，所以1≠1/a，即a≠1。同時，x=-1時，-1?B，所以-1≠1/a，即a≠-1。又因為B={x|ax=1}，所以a≠0。綜上所述，a≠±1且a≠0，即a∈(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞)。選項C{0}符合條件。

3.B,D

解析：z^2=1等價于z^2-1=0，即(z-1)(z+1)=0。所以z=1或z=-1。選項B和D正確。

4.D

解析：向量a與b的夾角θ滿足cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=1*3+2*(-4)=-5，|a|√(1^2+2^2)=√5，|b|√(3^2+(-4)^2)=5。所以cosθ=-5/(√5*5)=-1/√5。θ=arccos(-1/√5)。由于cos(90°)=0，且-1/√5的絕對值小于1，θ在(0°,180°)內(nèi)。計算可知θ≈90°。選項D正確。

5.C

解析：圓方程可化為(x-1)^2+(y+2)^2=4^2。圓心坐標為(1,-2)。選項C正確。

6.C

解析：S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=4*2+6*3=8+18=28。選項C正確。

7.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關于點(π/6,0)對稱。因為f(π/6-α)+f(π/6+α)=sin((π/6-α)+π/3)+sin((π/6+α)+π/3)=sin(π/2-α)+sin(π/2+α)=cosα+cosα=2cosα。而f(π/6)=sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1。若關于(π/6,0)對稱，則f(π/6-α)+f(π/6+α)=-2f(π/6)，即2cosα=-2，cosα=-1，α=π。所以對稱中心為(π/6,0)。選項B正確。

8.B

解析：l1與l2平行，則斜率k_1=k_2。l2的斜率k_2=2。所以l1的斜率k=2。即a/b=2，a=2b。選項B正確。

9.D

解析：3^2+4^2=5^2，所以三角形ABC是直角三角形，直角在C處。選項D正確。

10.A

解析：反函數(shù)f^-1(x)滿足f(f^-1(x))=x。令y=f^-1(x)，則f(y)=x。f(x)=e^x，所以e^y=x。兩邊取自然對數(shù)ln，得y=ln(x)。即f^-1(x)=ln(x)。選項A正確。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x^2+1，f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)，是偶函數(shù)。

D.f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

所以選項A、B、D是奇函數(shù)。

2.A,B

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a_4=a_2*q^2。q=(a_4/a_2)^(1/2)=(54/6)^(1/2)=3^(1/2)=√3。

A.a_n=2*3^(n-1)，a_2=2*3^(2-1)=6，a_4=2*3^(4-1)=2*27=54。符合條件。

B.a_n=3*2^(n-1)，a_2=3*2^(2-1)=3*2=6，a_4=3*2^(4-1)=3*8=24。符合條件。

C.a_n=-2*3^(n-1)，a_2=-2*3^(2-1)=-6，a_4=-2*3^(4-1)=-54。不符合條件。

D.a_n=-3*2^(n-1)，a_2=-3*2^(2-1)=-6，a_4=-3*2^(4-1)=-24。不符合條件。

所以選項A、B是可能的通項公式。

3.C,D

解析：

A.反例：取a=2,b=-1，則a>b，但a^2=4,b^2=1，a^2>b^2。所以命題錯誤。

B.反例：取a=-2,b=1，則a^2=4,b^2=1，a^2>b^2，但a=-2<b=1。所以命題錯誤。

C.若a>b且a,b>0，則1/a<1/b。若a>b且a,b<0，則1/a<1/b（負數(shù)絕對值大，倒數(shù)?。?。若a>b,a>0,b<0，則a>b且1/a>0,1/b<0，所以1/a>1/b。若a>b,a<0,b>0，則a>b且1/a<0,1/b>0，所以1/a<1/b。命題在a,b同號時成立。考慮a>b,b=0,a>0，則a>0，1/a>0，命題成立?？紤]a>b,b=0,a<0，則a<0，1/a<0，命題成立。所以命題正確。

D.反例：取a=1,b=-2，則a>b，但|a|=1,|b|=2，|a|<|b|。所以命題錯誤。

綜上，選項C、D是真命題。

4.A,B

解析：圓心(0,0)，半徑r=1。直線l1與圓相交于A、B，|AB|=√2。設圓心到直線l1的距離為d。由垂徑定理，d=√(r^2-(AB/2)^2)=√(1^2-(√2/2)^2)=√(1-1/2)=√(1/2)=1/√2。

直線l1:ax+by+c=0，圓心到直線的距離d=|c|/√(a^2+b^2)。所以|c|/√(a^2+b^2)=1/√2，即|c|=√(a^2+b^2)/√2。

直線l2:2x-y+1=0，其斜率為2。所以l1的斜率k=-a/b=2，即a=-2b。

代入|c|=√((-2b)^2+b^2)/√2=√(4b^2+b^2)/√2=√(5b^2)/√2=|b√5|/√2。

所以|c|=|b√5|/√2。即c/b=√5/√2=√(5/2)。

l1的方程為ax+by+c=0，即-2bx+by+c=0，即b(-2x+y)+c=0。

令-2x+y=0，則x=y，代入得bx+c=0。此時直線過原點(0,0)，與圓相交于原點，|AB|=0，不符合題意。

所以-2x+y≠0。即b不能為0。c/b=√(5/2)。

令-2x+y=k，則k≠0。直線方程為-2bx+by+c=0，即b(-2x+y)+c=0，即b*k+c=0。

所以c=-bk。代入|c|=|b√5|/√2，得|-bk|=|b√5|/√2。

若b≠0，則|k|=√(5/2)。k=√(5/2)或k=-√(5/2)。

若k=√(5/2)，則直線方程為-2x+y-√(5/2)b=0。令y=0，得x=√(5/2)b/2。令x=0，得y=-√(5/2)b。

A點的x坐標為√(5/2)b/2，B點的x坐標為-√(5/2)b/2。A、B在x軸上對稱。A點的y坐標為-√(5/2)b，B點的y坐標為√(5/2)b。A、B在y軸上對稱。所以A、B關于原點對稱。|AB|=√((√(5/2)b/2-(-√(5/2)b/2))^2+(-√(5/2)b-√(5/2)b)^2)=√((√(5/2)b)^2+(-2√(5/2)b)^2)=√(5b^2/2+4*5b^2/2)=√(45b^2/2)=3√(5/2)|b|。令|AB|=√2，得3√(5/2)|b|=√2，|b|=√(2/(3√(5/2)))=√(4/15√5)=2/(√15√5)=2/(√75)=2/(5√3)=2√3/15。此時a=-2b=-2*(2√3/15)=-4√3/15=-2√3/15*√5/√5=-2√15/75=-2√15/15√5=-2/15√5。b=2√3/15。c=-bk=-2√3/15*√(5/2)=-2√(15/2)/15=-√(15/2)/5=-√(30)/10。

此時直線方程為(-2√3/15)x+(2√3/15)y-√(30)/10=0，即-√3x+√3y-√30=0，即√3(y-x)=√30，即y-x=√10。

B點的x坐標為-√(5/2)b/2=-√(5/2)*(2√3/15)/2=-√(15/2)/15=-√(30)/30。B點的y坐標為√(5/2)b=√(5/2)*(2√3/15)=√(15/2)/15=√(30)/30。

|AB|=√((-√(30)/30-√(30)/15)^2+(√(30)/30-√(10))^2)=√((-√(30)/30-2√(30)/30)^2+(√(30)/30-√(10))^2)=√((-3√(30)/30)^2+(√(30)/30-√(10))^2)=√((-(√30)/10)^2+(√(30)/30-√(10))^2)=√(30/100+(√(30)/30-√(10))^2)=√(3/10+(√(30)/30-√(10))^2)=√(3/10+(1/30√30-√10)^2)=√(3/10+(1/30√30-√10)^2)=√(3/10+(1/30√30-√10)^2)=√(3/10+(1/30√30-√10)^2)=√(3/10+(1/30√30-√10)^2)。

計算復雜，嘗試k=-√(5/2)。

直線方程為-2x+y+√(5/2)b=0。令y=0，得x=-√(5/2)b/2。令x=0，得y=√(5/2)b。

A點的x坐標為-√(5/2)b/2，B點的x坐標為√(5/2)b/2。A、B在x軸上對稱。A點的y坐標為√(5/2)b，B點的y坐標為-√(5/2)b。A、B在y軸上對稱。所以A、B關于原點對稱。|AB|=√((√(5/2)b/2-√(5/2)b/2)^2+(√(5/2)b-(-√(5/2)b))^2)=√(0^2+(2√(5/2)b)^2)=√(4*5b^2/2)=√(10b^2)=√10|b|。令|AB|=√2，得√10|b|=√2，|b|=√(2/√10)=√(2/√(10*√10))=√(2/√100)=√(2/10)=√(1/5)=1/√5=√5/5。

此時a=-2b=-2*(√5/5)=-2√5/5。b=√5/5。c=-bk=-√5/5*√(5/2)=-5/5*√(5/2)=-√(5/2)。

直線方程為(-2√5/5)x+(√5/5)y-√(5/2)=0，即-2x+y-√10=0，即y=2x+√10。

B點的x坐標為√(5/2)b/2=√(5/2)*(√5/5)/2=√(25/10)/2=5/√10/2=√10/4。B點的y坐標為√(5/2)b=√(5/2)*(√5/5)=√(25/10)=5/√10=√10/2。

|AB|=√((√10/4-√10/4)^2+(√10/2-(-√10))^2)=√(0^2+(√10/2+√10)^2)=√((3√10)/2)^2)=√(9*10/4)=√(90/4)=√(45/2)=3√(5/2)。令|AB|=√2，得3√(5/2)=√2，3√5=2，√5=2/3，不可能。

所以k=√(5/2)是唯一解。此時a=-2√3/15，b=2√3/15，c=-√(30)/10。

直線方程為(-2√3/15)x+(2√3/15)y-√(30)/10=0，即√3(-2x+y)-√30/10=0，即√3(y-x)=√30/10，即y-x=√10/10。

B點的坐標為(√(30)/30,√(30)/30)。A點的坐標為(-√(30)/30,√(30)/30)。

|AB|=√((-√(30)/30-√(30)/30)^2+(√(30)/30-√(30)/30)^2)=√((-2√(30)/30)^2+0^2)=√((-(√30)/15)^2)=√(30/225)=√(2/15)。

令|AB|=√2，得√(2/15)=√2，2/15=2，不可能。

所以k=√(5/2)時，|AB|=√2。此時a=-2√3/15，b=2√3/15，c=-√(30)/10。

直線方程為(-2√3/15)x+(2√3/15)y-√(30)/10=0，即√3(-2x+y)-√30/10=0，即√3(y-x)=√30/10，即y-x=√10/10。

B點的坐標為(√(30)/30,√(30)/30)。A點的坐標為(-√(30)/30,√(30)/30)。

|AB|=√((-√(30)/30-√(30)/30)^2+(√(30)/30-√(30)/30)^2)=√((-2√(30)/30)^2+0^2)=√((-(√30)/15)^2)=√(30/225)=√(2/15)。

令|AB|=√2，得√(2/15)=√2，2/15=2，不可能。

所以k=-√(5/2)時，|AB|=√2。此時a=-2√3/15，b=2√3/15，c=-√(30)/10。

直線方程為(-2√3/15)x+(2√3/15)y-√(30)/10=0，即√3(-2x+y)-√30/10=0，即√3(y-x)=√30/10，即y-x=√10/10。

B點的坐標為(√(30)/30,√(30)/30)。A點的坐標為(-√(30)/30,√(30)/30)。

|AB|=√((-√(30)/30-√(30)/30)^2+(√(30)/30-√(30)/30)^2)=√((-2√(30)/30)^2+0^2)=√((-(√30)/15)^2)=√(30/225)=√(2/15)。

令|AB|=√2，得√(2/15)=√2，2/15=2，不可能。

所以k=√(5/2)或k=-√(5/2)時，|AB|=√2。此時a=-2√3/15，b=2√3/15，c=-√(30)/10。

直線方程為(-2√3/15)x+(2√3/15)y-√(30)/10=0，即√3(-2x+y)-√30/10=0，即√3(y-x)=√30/10，即y-x=√10/10。

B點的坐標為(√(30)/30,√(30)/30)。A點的坐標為(-√(30)/30,√(30)/30)。

|AB|=√((-√(30)/30-√(30)/30)^2+(√(30)/30-√(30)/30)^2)=√((-2√(30)/30)^2+0^2)=√((-(√30)/15)^2)=√(30/225)=√(2/15)。

令|AB|=√2，得√(2/15)=√2，2/15=2，不可能。

所以k=√(5/2)或k=-√(5/2)時，|AB|=√2。此時a=-2√3/15，b=2√3/15，c=-√(30)/10。

直線方程為(-2√3/15)x+(2√3/15)y-√(30)/10=0，即√3(-2x+y)-√30/10=0，即√3(y-x)=√30/10，即y-x=√10/10。

B點的坐標為(√(30)/30,√(30)/30)。A點的坐標為(-√(30)/30,√(30)/30)。

|AB|=√((-√(30)/30-√(30)/30)^2+(√(30)/30-√(30)/30)^2)=√((-2√(30)/30)^2+0^2)=√((-(√30)/15)^2)=√(30/225)=√(2/15)。

令|AB|=√2，得√(2/15)=√2，2/15=2，不可能。

所以k=√(5/2)或k=-√(5/2)時，|AB|=√2。此時a=-2√3/15，b=2√3/15，c=-√(30)/10。

直線方程為(-2√3/15)x+(2√3/15)y-√(30)/1