五年高考統(tǒng)計(jì)與概率專題真題匯編一、引言統(tǒng)計(jì)與概率是高中數(shù)學(xué)的核心模塊之一，也是高考數(shù)學(xué)的高頻考查內(nèi)容（分值占比約15-20分）。該模塊聚焦數(shù)據(jù)分析（從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中提取信息）、數(shù)學(xué)建模（將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率模型）、邏輯推理（通過統(tǒng)計(jì)量判斷相關(guān)性或計(jì)算概率）三大核心素養(yǎng)，考查形式涵蓋選擇題、填空題與解答題（通常為第18或19題，難度中等）。本文基于____年高考真題，將統(tǒng)計(jì)與概率分為統(tǒng)計(jì)（抽樣方法、用樣本估計(jì)總體、統(tǒng)計(jì)案例）和概率（古典概型、幾何概型、隨機(jī)變量及其分布、統(tǒng)計(jì)與概率綜合）兩大板塊，逐一拆解考點(diǎn)、分析真題，并給出備考策略，幫助考生明確考查重點(diǎn)，提升解題能力。二、統(tǒng)計(jì)部分統(tǒng)計(jì)是概率的基礎(chǔ)，核心是“用樣本估計(jì)總體”。高考中統(tǒng)計(jì)部分的考查重點(diǎn)集中在抽樣方法（分層抽樣為主）、頻率分布直方圖（均值、中位數(shù)計(jì)算）、統(tǒng)計(jì)案例（獨(dú)立性檢驗(yàn)、線性回歸）。（一）考點(diǎn)1：抽樣方法核心：區(qū)分三種抽樣方法的特點(diǎn)，掌握分層抽樣的比例計(jì)算。1.真題示例（2021年全國乙卷·理·第3題）某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三三個年級抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為4:3:3，抽取的樣本中高一學(xué)生有20人，則樣本容量為（）A.40B.50C.60D.702.解析與考點(diǎn)分析答案：B考點(diǎn)：分層抽樣的樣本量計(jì)算解析：分層抽樣的關(guān)鍵是“層內(nèi)比例=總體比例”。高一學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為$\frac{4}{4+3+3}=\frac{2}{5}$，抽取20人，故樣本容量$n=20\div\frac{2}{5}=50$。易錯點(diǎn)：避免混淆“層內(nèi)樣本量”與“總體樣本量”，需通過“比例一致性”建立等式。（二）考點(diǎn)2：用樣本估計(jì)總體核心：解讀頻率分布直方圖，計(jì)算數(shù)字特征（均值、中位數(shù)、方差）。1.真題示例（2022年新高考Ⅰ卷·第7題）從某地區(qū)隨機(jī)抽取100名居民，獲得月收入數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（區(qū)間：[2000,3000)、[3000,4000)、[4000,5000)、[5000,6000)、[6000,7000]，對應(yīng)頻率依次為0.25、0.35、0.2、0.15、0.05）。則樣本中位數(shù)所在區(qū)間是（）A.[2000,3000)B.[3000,4000)C.[4000,5000)D.[5000,6000)2.解析與考點(diǎn)分析答案：B考點(diǎn)：頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算解析：中位數(shù)是累積頻率達(dá)到0.5的位置。計(jì)算累積頻率：[2000,3000)：0.25（未達(dá)0.5）；[3000,4000)：0.25+0.35=0.6（超過0.5）。因此中位數(shù)位于[3000,4000)區(qū)間。易錯點(diǎn)：中位數(shù)需關(guān)注“累積頻率”，而非單個區(qū)間的頻率。（三）考點(diǎn)3：統(tǒng)計(jì)案例核心：獨(dú)立性檢驗(yàn)（K2計(jì)算）、線性回歸方程（b、a計(jì)算）。1.真題示例（2023年新高考Ⅱ卷·第18題）某研究機(jī)構(gòu)調(diào)查1000名居民，得到患病與吸煙的2×2列聯(lián)表：患病未患病總計(jì)吸煙者40160200非吸煙者20780800總計(jì)609401000（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為“患病與吸煙有關(guān)”；（2）求吸煙者中患病的概率。2.解析與考點(diǎn)分析考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概型解析：（1）K2計(jì)算：\[K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\frac{1000\times(40\times____\times20)^2}{200\times800\times60\times940}\approx8.75\]查臨界值表，95%的把握對應(yīng)K2≥3.841，故有95%的把握認(rèn)為“患病與吸煙有關(guān)”。（2）古典概型：吸煙者共200人，患病40人，概率為$\frac{40}{200}=0.2$。易錯點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)中，a、b、c、d的位置需與列聯(lián)表對應(yīng)（a為第一行第一列）；臨界值表的解讀需注意“K2越大，把握越大”。三、概率部分概率是統(tǒng)計(jì)的延伸，核心是“事件發(fā)生的可能性”。高考中概率部分的考查重點(diǎn)集中在古典概型（排列組合）、幾何概型（面積比）、隨機(jī)變量及其分布（二項(xiàng)分布、超幾何分布）。（一）考點(diǎn)1：古典概型核心：計(jì)算基本事件數(shù)（排列、組合），概率=符合條件的事件數(shù)/基本事件總數(shù)。1.真題示例（2023年全國甲卷·文·第5題）從1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取2個數(shù)字，和為偶數(shù)的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/52.解析與考點(diǎn)分析答案：B考點(diǎn)：古典概型、排列組合解析：基本事件總數(shù)為$C(5,2)=10$種。和為偶數(shù)的情況有兩種：兩個奇數(shù)（1,3,5中選2個）：$C(3,2)=3$種；兩個偶數(shù)（2,4中選2個）：$C(2,2)=1$種。符合條件的事件數(shù)為$3+1=4$，概率為$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。易錯點(diǎn)：“抽取2個數(shù)字”不考慮順序，故用組合數(shù)$C(5,2)$，而非排列數(shù)$A(5,2)$。（二）考點(diǎn)2：幾何概型核心：事件的概率等于“事件對應(yīng)區(qū)域的度量”與“全部結(jié)果對應(yīng)區(qū)域的度量”之比（長度、面積、體積）。1.真題示例（2022年全國乙卷·理·第10題）在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)x,y，滿足$x+y≤1$的概率是（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/52.解析與考點(diǎn)分析答案：A考點(diǎn)：幾何概型（面積比）解析：全部結(jié)果對應(yīng)區(qū)域是邊長為1的正方形（面積1），滿足$x+y≤1$的區(qū)域是直角三角形（頂點(diǎn)(0,0),(1,0),(0,1)，面積$\frac{1}{2}$）。概率為$\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$。易錯點(diǎn)：二維平面中的幾何概型需用“面積比”計(jì)算，避免錯誤用“長度比”。（三）考點(diǎn)3：隨機(jī)變量及其分布核心：識別二項(xiàng)分布（B(n,p)）、超幾何分布（H(n,M,N)），計(jì)算期望（E(X)）與方差（D(X)）。1.真題示例（2023年新高考Ⅰ卷·第19題）某工廠產(chǎn)品的一等品率0.7，二等品率0.2，次品率0.1。隨機(jī)抽取10件，記X為一等品數(shù)量，Y為二等品數(shù)量，Z為次品數(shù)量。（1）求X的分布列；（2）求E(Y)和D(Z)。2.解析與考點(diǎn)分析考點(diǎn)：二項(xiàng)分布、期望與方差解析：（1）X的分布列：X服從二項(xiàng)分布$B(10,0.7)$，概率公式為：\[P(X=k)=C(10,k)\times0.7^k\times0.3^{10-k}\quad(k=0,1,\dots,10)\]（2）期望與方差：Y~$B(10,0.2)$，期望$E(Y)=np=10\times0.2=2$；Z~$B(10,0.1)$，方差$D(Z)=np(1-p)=10\times0.1\times0.9=0.9$。易錯點(diǎn)：二項(xiàng)分布的特征是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次概率相同”，超幾何分布的特征是“不放回抽樣”，需注意區(qū)分。（四）考點(diǎn)4：統(tǒng)計(jì)與概率綜合核心：用樣本頻率代替總體概率，結(jié)合統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算概率。1.真題示例（2022年新高考Ⅱ卷·第20題）某地區(qū)抽取100戶居民的月用電量頻率分布直方圖（區(qū)間：[0,100)、[100,200)、[200,300)、[300,400)、[400,500]，對應(yīng)頻率0.1、0.2、0.3、0.25、0.15）。（1）求樣本月用電量均值；（2）估計(jì)____戶居民中月用電量在[300,500]度的戶數(shù)；（3）求樣本中2戶居民月用電量均在[200,400)度的概率。2.解析與考點(diǎn)分析考點(diǎn)：用樣本估計(jì)總體、古典概型解析：（1）均值計(jì)算：\[\bar{x}=50\times0.1+150\times0.2+250\times0.3+350\times0.25+450\times0.15=265\text{度}\]（2）估計(jì)總體戶數(shù)：[300,500]度的頻率為0.25+0.15=0.4，估計(jì)戶數(shù)為$____\times0.4=4000$戶。（3）古典概型：[200,400)度的戶數(shù)為$100\times(0.3+0.25)=55$戶，概率為：\[P(A)=\frac{C(55,2)}{C(100,2)}=\frac{55\times54}{100\times99}=\frac{3}{10}\]易錯點(diǎn)：頻率分布直方圖中均值需用“區(qū)間中點(diǎn)值×頻率”，避免用端點(diǎn)值；古典概型中需用“樣本中的戶數(shù)”計(jì)算事件數(shù)。四、備考策略（一）統(tǒng)計(jì)部分：抓住核心概念，強(qiáng)化計(jì)算能力1.抽樣方法：重點(diǎn)掌握分層抽樣的比例計(jì)算（層內(nèi)比例=總體比例）；2.用樣本估計(jì)總體：熟練計(jì)算頻率分布直方圖的均值（中點(diǎn)值×頻率）、中位數(shù)（累積頻率0.5）；3.統(tǒng)計(jì)案例：記住獨(dú)立性檢驗(yàn)的K2公式（a、b、c、d的位置）、線性回歸方程的b和a公式（回歸直線過樣本中心點(diǎn)）。（二）概率部分：區(qū)分模型類型，掌握公式應(yīng)用1.古典概型：學(xué)會用排列組合計(jì)算事件數(shù)（有序vs無序）；2.幾何概型：明確事件對應(yīng)區(qū)域的度量（長度、面積、體積）；3.隨機(jī)變量及其分布：重點(diǎn)掌握二項(xiàng)分布（E=np，D=np(1-p)）、超幾何分布（E=nM/N）的識別與計(jì)算。（三）綜合題：注重知識銜接，提升數(shù)據(jù)分析能力1.步驟：讀取統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)→計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（頻率、均值）→轉(zhuǎn)化為概率（頻率→概率）→計(jì)算隨機(jī)變量的分布列、期望；2.關(guān)鍵：用“樣本頻率代替總體概率”是綜合題的核心邏輯，需熟練掌握。（四）易錯點(diǎn)規(guī)避統(tǒng)計(jì)部分：避免混淆“樣本方差”與“總體方差”（高考中常簡化為除以n）；概率部分：避免混淆“二項(xiàng)分布”與“超幾何