土力學(xué)基礎(chǔ)公式及應(yīng)用詳解引言土力學(xué)是研究土的物理力學(xué)性質(zhì)及其與工程相互作用的學(xué)科，是建筑、地質(zhì)、交通等工程領(lǐng)域的基礎(chǔ)理論。其核心內(nèi)容圍繞土的物理性質(zhì)、滲流規(guī)律、壓縮固結(jié)、抗剪強(qiáng)度及土壓力與地基承載力展開(kāi)，這些理論通過(guò)公式量化表達(dá)，直接指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)與施工。本文將系統(tǒng)梳理土力學(xué)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)邏輯、適用條件及工程應(yīng)用，旨在為從業(yè)者提供實(shí)用的理論工具。1土的物理性質(zhì)指標(biāo)及換算土的物理性質(zhì)是研究其力學(xué)行為的基礎(chǔ)，通過(guò)基本指標(biāo)（如含水量、密度）可衍生出狀態(tài)指標(biāo)（如孔隙比、飽和度），這些指標(biāo)共同反映土的密實(shí)度、含水狀態(tài)及顆粒組成。1.1基本物理性質(zhì)指標(biāo)基本指標(biāo)需通過(guò)試驗(yàn)直接測(cè)定，包括：含水量（\(w\)）：土中水分質(zhì)量與固體顆粒質(zhì)量之比，公式為：\[w=\frac{m_w}{m_s}\times100\%\]式中，\(m_w\)為土中水的質(zhì)量，\(m_s\)為固體顆粒質(zhì)量。密度（\(\rho\)）：土的總質(zhì)量與總體積之比，公式為：\[\rho=\frac{m}{V}=\frac{m_s+m_w}{V_s+V_v}\]式中，\(m\)為土總質(zhì)量，\(V\)為土總體積，\(V_s\)為固體顆粒體積，\(V_v\)為孔隙體積（\(V_v=V_w+V_a\)，\(V_w\)為水體積，\(V_a\)為氣體體積）。土粒相對(duì)密度（\(G_s\)）：土粒質(zhì)量與同體積4℃水質(zhì)量之比，公式為：\[G_s=\frac{m_s}{V_s\rho_w}\]式中，\(\rho_w\)為水的密度（取1.0g/cm3或1000kg/m3）。1.2衍生物理性質(zhì)指標(biāo)通過(guò)基本指標(biāo)可計(jì)算衍生指標(biāo)，反映土的結(jié)構(gòu)狀態(tài)：干密度（\(\rho_d\)）：?jiǎn)挝惑w積土中固體顆粒的質(zhì)量，公式為：\[\rho_d=\frac{m_s}{V}=\frac{\rho}{1+w}\]意義：衡量土的密實(shí)程度，是填土工程的關(guān)鍵控制指標(biāo)（如路基、堤壩要求達(dá)到指定干密度）。飽和密度（\(\rho_{sat}\)）：孔隙完全充滿水時(shí)的土密度，公式為：\[\rho_{sat}=\frac{m_s+V_v\rho_w}{V}=\frac{G_s\rho_w+e\rho_w}{1+e}=\rho_w\frac{G_s+e}{1+e}\]式中，\(e\)為孔隙比（\(e=\frac{V_v}{V_s}\)，孔隙體積與固體顆粒體積之比）。有效密度（\(\rho'\)）：飽和土中扣除水浮力后的密度（又稱浮密度），公式為：\[\rho'=\rho_{sat}-\rho_w=\rho_w\frac{G_s-1}{1+e}\]意義：計(jì)算水下土體自重應(yīng)力時(shí)需用有效密度（\(\sigma=\rho'gz\)）?？紫堵剩╘(n\)）：孔隙體積與總體積之比，公式為：\[n=\frac{V_v}{V}\times100\%=\frac{e}{1+e}\times100\%\]飽和度（\(S_r\)）：孔隙中水體積與孔隙體積之比，公式為：\[S_r=\frac{V_w}{V_v}\times100\%=\frac{wG_s}{e}\times100\%\quad(\text{由}\m_w=\rho_wV_w,\m_s=G_s\rho_wV_s,\e=\frac{V_v}{V_s}\\text{推導(dǎo)})\]意義：判斷土的含水狀態(tài)（\(S_r=0\)為干土，\(0<S_r<100\%\)為濕土，\(S_r=100\%\)為飽和土）。1.3物理性質(zhì)指標(biāo)換算關(guān)系及應(yīng)用各指標(biāo)間可通過(guò)三相草圖（將土分為固體、水、氣體三相）推導(dǎo)換算公式，核心關(guān)系為：\[e=\frac{G_s\rho_w(1+w)}{\rho}-1\quad;\quad\rho_d=\frac{G_s\rho_w}{1+e}\quad;\quadS_r=\frac{wG_s}{e}\]工程應(yīng)用：填土壓實(shí)控制：通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)環(huán)刀法測(cè)定干密度\(\rho_d\)，判斷是否達(dá)到設(shè)計(jì)要求（如路基壓實(shí)度\(K=\frac{\rho_d_{\text{現(xiàn)場(chǎng)}}}{\rho_d_{\text{最大}}}\)）。地基自重應(yīng)力計(jì)算：分層計(jì)算土體自重應(yīng)力，公式為\(\sigma_c=\sum\rho_igh_i\)（\(\rho_i\)為第\(i\)層土的密度，\(h_i\)為層厚）。2土的滲流理論及達(dá)西定律滲流是水在土孔隙中的流動(dòng)，其規(guī)律直接影響基坑降水、堤壩穩(wěn)定及地基固結(jié)。2.1滲流基本概念水力梯度（\(i\)）：沿滲流方向單位長(zhǎng)度的水頭損失，公式為：\[i=\frac{\Deltah}{L}\]式中，\(\Deltah\)為滲流路徑兩端的水頭差，\(L\)為滲流路徑長(zhǎng)度。滲透系數(shù)（\(k\)）：反映土透水性的指標(biāo)，單位為m/s或cm/s，值越大，透水性越強(qiáng)（如砂土\(k=10^{-2}\sim10^{-4}\)m/s，黏土\(k=10^{-7}\sim10^{-9}\)m/s）。2.2達(dá)西定律（Darcy'sLaw）達(dá)西通過(guò)試驗(yàn)提出層流滲流的流量公式，是滲流分析的基礎(chǔ)：\[q=kAi\]式中，\(q\)為滲流量（m3/s），\(A\)為滲流截面面積（m2），\(k\)為滲透系數(shù)（m/s），\(i\)為水力梯度。適用條件：層流滲流（雷諾數(shù)\(Re<10\)），適用于大多數(shù)工程中的土（砂土、黏土）；飽和土（孔隙充滿水，無(wú)氣體阻礙）。2.3滲透系數(shù)的測(cè)定方法常水頭試驗(yàn)（適用于透水性強(qiáng)的砂土）：保持水頭差\(\Deltah\)不變，測(cè)量單位時(shí)間內(nèi)的滲流量\(q\)，公式為：\[k=\frac{qL}{A\Deltaht}\]式中，\(t\)為時(shí)間（s）。變水頭試驗(yàn)（適用于透水性弱的黏土）：水頭隨時(shí)間變化，通過(guò)記錄水頭\(h\)與時(shí)間\(t\)的關(guān)系，公式為：\[k=\frac{aL}{A(t_2-t_1)}\ln\frac{h_1}{h_2}\]式中，\(a\)為變水頭管截面積（m2），\(h_1\)、\(h_2\)為\(t_1\)、\(t_2\)時(shí)刻的水頭。2.4滲流理論的工程應(yīng)用基坑降水：計(jì)算基坑涌水量，公式為（潛水完整井）：\[Q=1.366k\frac{(H^2-h^2)}{\lg\frac{R}{r_0}}\]式中，\(Q\)為涌水量（m3/d），\(H\)為潛水含水層厚度（m），\(h\)為井中水位（m），\(R\)為影響半徑（m），\(r_0\)為井群等效半徑（m）。堤壩滲流穩(wěn)定：通過(guò)流網(wǎng)（由等勢(shì)線與流線組成）分析滲流速度與水頭損失，判斷是否發(fā)生管涌（土顆粒被滲流帶出）或流土（土體整體浮動(dòng)）。3土的壓縮與固結(jié)理論土的壓縮性是指土在荷載作用下體積縮小的特性，固結(jié)是指飽和土中孔隙水排出、體積逐漸壓縮的過(guò)程。3.1壓縮性指標(biāo)壓縮系數(shù)（\(a\)）：\(e-p\)曲線（孔隙比與壓力關(guān)系曲線）上某壓力段的斜率，公式為：\[a=-\frac{\Deltae}{\Deltap}=\frac{e_1-e_2}{p_2-p_1}\]式中，\(e_1\)、\(e_2\)為壓力\(p_1\)、\(p_2\)對(duì)應(yīng)的孔隙比（\(p_1\)取當(dāng)前壓力，\(p_2=p_1+100\)kPa或\(200\)kPa）。意義：衡量土的壓縮性（\(a>0.5\)MPa?1為高壓縮性土，\(0.1<a\leq0.5\)MPa?1為中壓縮性土，\(a\leq0.1\)MPa?1為低壓縮性土）。壓縮模量（\(E_s\)）：土在側(cè)限條件下（無(wú)側(cè)向變形）的應(yīng)力應(yīng)變比，公式為：\[E_s=\frac{\Deltap}{\Delta\varepsilon_v}=\frac{p_2-p_1}{\frac{e_1-e_2}{1+e_1}}=\frac{(1+e_1)}{a}\]式中，\(\Delta\varepsilon_v\)為體積應(yīng)變（\(\Delta\varepsilon_v=\frac{\DeltaV}{V}=\frac{e_1-e_2}{1+e_1}\)）。體積壓縮系數(shù)（\(m_v\)）：?jiǎn)挝粔毫υ隽恳鸬捏w積應(yīng)變，公式為：\[m_v=\frac{\Delta\varepsilon_v}{\Deltap}=\frac{a}{1+e_1}\]3.2一維固結(jié)理論（太沙基理論）飽和土在側(cè)限條件下，孔隙水逐漸排出，有效應(yīng)力逐漸增加，體積逐漸壓縮的過(guò)程稱為一維固結(jié)。太沙基（Terzaghi）提出的一維固結(jié)微分方程及解為：\[\frac{\partialu}{\partialt}=C_v\frac{\partial^2u}{\partialz^2}\]式中，\(u\)為超孔隙水壓力（\(u=\sigma-\sigma'\)，\(\sigma\)為總應(yīng)力，\(\sigma'\)為有效應(yīng)力），\(C_v\)為固結(jié)系數(shù)（\(C_v=\frac{k(1+e_0)}{\gamma_wa}\)，\(\gamma_w\)為水的重度，\(e_0\)為初始孔隙比）。固結(jié)度計(jì)算：固結(jié)度（\(U\)）是指某一時(shí)間\(t\)內(nèi)土的固結(jié)變形量與最終固結(jié)變形量之比，公式為：\[U=1-\frac{8}{\pi^2}e^{-\frac{\pi^2C_vt}{4H^2}}=1-\frac{8}{\pi^2}e^{-\pi^2T_v/4}\]式中，\(H\)為最大排水距離（單面排水時(shí)\(H=\text{土層厚度}\)，雙面排水時(shí)\(H=\text{土層厚度}/2\)），\(T_v\)為時(shí)間因數(shù)（\(T_v=\frac{C_vt}{H^2}\)，無(wú)因次）。工程應(yīng)用：預(yù)測(cè)地基沉降隨時(shí)間的變化：如某建筑地基為飽和黏土，\(C_v=1.0\times10^{-7}\)m2/s，土層厚度\(H=5\)m（雙面排水），計(jì)算\(t=1\)年（\(t=3.154\times10^7\)s）時(shí)的固結(jié)度：\[T_v=\frac{1.0\times10^{-7}\times3.154\times10^7}{(5/2)^2}=0.505\]查固結(jié)度表（或用公式近似）得\(U\approx70\%\)，即1年后地基完成70%的最終沉降。3.3地基沉降計(jì)算分層總和法：將地基分為若干層，計(jì)算每層的壓縮量，總和即為總沉降，公式為：\[s=\sum_{i=1}^n\frac{\Deltap_iH_i}{E_{s_i}}=\sum_{i=1}^nm_{v_i}\Deltap_iH_i\]式中，\(\Deltap_i\)為第\(i\)層土的附加應(yīng)力（\(\Deltap_i=\sigma_z-\sigma_c\)，\(\sigma_z\)為荷載引起的豎向應(yīng)力，\(\sigma_c\)為自重應(yīng)力），\(H_i\)為第\(i\)層土厚度，\(E_{s_i}\)為第\(i\)層土的壓縮模量。規(guī)范法：基于分層總和法，引入沉降計(jì)算經(jīng)驗(yàn)系數(shù)（\(\psi_s\)）修正，公式為：\[s=\psi_s\sum_{i=1}^n\frac{\Deltap_iH_i}{E_{s_i}}\]\(\psi_s\)由土的壓縮性和基礎(chǔ)寬度決定（如高壓縮性土\(\psi_s=1.1\sim1.4\)）。4土的抗剪強(qiáng)度理論土的抗剪強(qiáng)度是指土抵抗剪切破壞的能力，是邊坡穩(wěn)定、地基承載力及擋土墻設(shè)計(jì)的核心指標(biāo)。4.1庫(kù)侖定律（Coulomb'sLaw）庫(kù)侖通過(guò)試驗(yàn)提出，土的抗剪強(qiáng)度\(\tau_f\)與法向應(yīng)力\(\sigma\)呈線性關(guān)系，公式為：\[\tau_f=\sigma\tan\phi+c\]式中，\(\phi\)為內(nèi)摩擦角（反映土顆粒間的摩擦阻力），\(c\)為黏聚力（反映土顆粒間的黏結(jié)力，砂土\(c=0\)）。有效應(yīng)力原理（Terzaghi）：飽和土中，總應(yīng)力\(\sigma\)由有效應(yīng)力\(\sigma'\)（傳遞給固體顆粒的應(yīng)力）和超孔隙水壓力\(u\)（傳遞給孔隙水的應(yīng)力）組成，公式為：\[\sigma=\sigma'+u\quad\Rightarrow\quad\sigma'=\sigma-u\]有效應(yīng)力是控制土抗剪強(qiáng)度的關(guān)鍵，因此有效應(yīng)力抗剪強(qiáng)度公式為：\[\tau_f=\sigma'\tan\phi'+c'\]式中，\(\phi'\)為有效內(nèi)摩擦角，\(c'\)為有效黏聚力（比總應(yīng)力指標(biāo)更穩(wěn)定，是長(zhǎng)期工程設(shè)計(jì)的依據(jù)）。4.2抗剪強(qiáng)度指標(biāo)的測(cè)定方法直剪試驗(yàn)：將土樣置于上下盒之間，施加垂直荷載\(\sigma\)，緩慢推動(dòng)上盒，測(cè)量剪切力\(T\)，計(jì)算抗剪強(qiáng)度\(\tau_f=\frac{T}{A}\)（\(A\)為剪切面積）。根據(jù)排水條件分為：快剪（\(q_u\)）：不允許孔隙水排出（飽和軟土，用總應(yīng)力指標(biāo)\(\phi_q\)、\(c_q\)）；固結(jié)快剪（\(c_u\)）：允許固結(jié)后快速剪切（用總應(yīng)力指標(biāo)\(\phi_{cu}\)、\(c_{cu}\)）；慢剪（\(s\)）：允許充分排水（用有效應(yīng)力指標(biāo)\(\phi'\)、\(c'\)）。三軸壓縮試驗(yàn)：將圓柱形土樣置于壓力室，施加圍壓\(\sigma_3\)，然后增加軸向壓力\(\Delta\sigma_1\)，直到破壞，得到應(yīng)力圓（\(\sigma_1\)為大主應(yīng)力，\(\sigma_3\)為小主應(yīng)力）。根據(jù)排水條件分為：不固結(jié)不排水試驗(yàn)（UU）：飽和軟土，\(\phi_{uu}=0\)，\(c_{uu}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\)；固結(jié)不排水試驗(yàn)（CU）：測(cè)量超孔隙水壓力，可得到有效應(yīng)力指標(biāo)；固結(jié)排水試驗(yàn)（CD）：充分排水，得到有效應(yīng)力指標(biāo)\(\phi'\)、\(c'\)。4.3工程應(yīng)用邊坡穩(wěn)定分析：采用條分法（如瑞典條分法、畢肖普條分法），計(jì)算每一條塊的抗滑力與滑動(dòng)力，判斷邊坡安全系數(shù)\(F_s=\frac{\text{抗滑力}}{\text{滑動(dòng)力}}\)（\(F_s\geq1.2\)為穩(wěn)定）。地基承載力計(jì)算：地基破壞時(shí)，滑動(dòng)面的抗剪強(qiáng)度需滿足平衡條件，公式為（太沙基公式）：\[q_{ult}=cN_c+\gammaD_fN_q+0.5\gammaBN_\gamma\]式中，\(q_{ult}\)為極限承載力，\(D_f\)為基礎(chǔ)埋深，\(B\)為基礎(chǔ)寬度，\(N_c\)、\(N_q\)、\(N_\gamma\)為承載力系數(shù)（僅與\(\phi'\)有關(guān)，可查圖表）。5土壓力與地基承載力土壓力是土對(duì)擋土結(jié)構(gòu)（如擋土墻、基坑支護(hù)）的作用力，分為靜止土壓力、主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力三種類(lèi)型。5.1土壓力類(lèi)型靜止土壓力（\(p_0\)）：擋土墻無(wú)位移時(shí)，土對(duì)墻背的壓力，公式為：\[p_0=K_0\gammaz\quad;\quadK_0=\frac{\mu}{1-\mu}\]式中，\(K_0\)為靜止土壓力系數(shù)，\(\mu\)為土的泊松比（砂土\(\mu=0.2\sim0.3\)，黏土\(\mu=0.3\sim0.45\)），\(\gamma\)為土的重度，\(z\)為計(jì)算點(diǎn)深度。主動(dòng)土壓力（\(p_a\)）：擋土墻向離開(kāi)填土方向位移（\(\delta\geq0.001H\)，\(H\)為墻高），土達(dá)到主動(dòng)極限平衡狀態(tài)時(shí)的壓力，公式為：\[p_a=K_a\gammaz-2c\sqrt{K_a}\quad;\quadK_a=\frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi}=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi}{2}\right)\]式中，\(K_a\)為主動(dòng)土壓力系數(shù)（\(K_a<K_0\)），\(c\)為黏聚力（無(wú)黏性土\(c=0\)）。被動(dòng)土壓力（\(p_p\)）：擋土墻向填土方向位移（\(\delta\geq0.01H\)），土達(dá)到被動(dòng)極限平衡狀態(tài)時(shí)的壓力，公式為：\[p_p=K_p\gammaz+2c\sqrt{K_p}\quad;\quadK_p=\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}=\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)\]式中，\(K_p\)為被動(dòng)土壓力系數(shù)（\(K_p>K_0\)，數(shù)值遠(yuǎn)大于\(K_a\)，如\(\phi=30^\circ\)時(shí)，\(K_p=3\)，\(K_a=1/3\)）。5.2地基承載力理論地基承載力是指地基承受荷載的能力，太沙基公式（適用于條形基礎(chǔ)，底面粗糙，地基破壞為整體剪切破壞）為：\[q_{ult}=cN_c+\gammaD_fN_q+0.5\gammaBN_\gamma\]式中，\(N_c\)、\(N_q\)、\(N_\gamma\)為承載力系數(shù)（由\(\phi'\)決定，如\(\phi'=0^\circ\)時(shí)，\(N_c=5.14\)，\(N_q=1\)，\(N_\gamma=0\)；\(\phi'=30^\circ\)時(shí)，\(N_c=30.14\)