第1頁(yè)/共1頁(yè)2024～2025學(xué)年度高三年級(jí)4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，再根據(jù)交集的含義即可得到答案.【詳解】由得，所以，又，所以．故選：C．2.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用投影向量的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以在上的投影向量?故選：C3.圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓面，那么此圓錐的側(cè)面積是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為底面半徑的2倍，因?yàn)閳A錐的底面半徑為a，故圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2a，故圓錐的側(cè)面積，故選A.4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)得，根據(jù)平移得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求其對(duì)稱(chēng)軸即可.【詳解】因，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則，令，解得.結(jié)合選項(xiàng)可知D正確．故選:D.5.已知變量x和變量y的一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，其中，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)又增加了2個(gè)樣本點(diǎn)，，得到新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.在新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程下，若樣本的殘差為，則m的值為（）A.3.15 B.1.75 C.2.35 D.1.95【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算新數(shù)據(jù)的平均值，然后計(jì)算新數(shù)據(jù)的回歸方程，進(jìn)而根據(jù)殘差定義計(jì)算.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，將代入得.增加兩個(gè)樣本點(diǎn)后x的平均數(shù)為，，.所以新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.所以樣本的殘差是，解得.故選：D.6.某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱(chēng)為“幸運(yùn)數(shù)”（如2024是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A.32個(gè) B.28個(gè) C.27個(gè) D.24個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，“幸運(yùn)數(shù)”的后三位數(shù)字的和為6，故可以分成七類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”中其它三位數(shù)字的組合有以下七類(lèi)：①“006”組合，有種，②“015”組合，有種，③“024”組合，有種，④“033”組合，有種，⑤“114”組合，有種，⑥“123”組合，有種，⑦“222”組合，有1種.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有個(gè).故選：B.7.已知函數(shù)，其中為常數(shù)，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)B.的圖象的對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)C.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)圖象求得參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)檢驗(yàn)即得.【詳解】因，函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，則，即得，又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，故得，解得，于是，，易得該拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于A，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，又的圖象與軸有唯一交點(diǎn)，即的圖象與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，等于直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由A項(xiàng)，因，則直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，在軸右側(cè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因的圖象對(duì)稱(chēng)軸：，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.8.畫(huà)法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直直線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心，以長(zhǎng)半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根為半徑的圓，稱(chēng)該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.設(shè)A，B為橢圓E：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)上，若恒成立，則E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義寫(xiě)出橢圓方程對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A，再由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)線(xiàn)距離公式列不等式求參數(shù)范圍，進(jìn)而求橢圓離心率范圍.【詳解】根據(jù)題意，得橢圓E的蒙日?qǐng)A方程為，其上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線(xiàn)互相垂直，因此當(dāng)直線(xiàn)與圓相離時(shí)，，由，解得.所以離心率.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，均為模是1的復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.的最大值為5【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)，復(fù)數(shù)和均為模是1的復(fù)數(shù)，意味著它們?cè)趶?fù)平面上表示的點(diǎn)位于單位圓上，利用這一性質(zhì)，可以對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而找出正確的選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，所以，，，所以，故C正確；對(duì)于D，的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)以為圓心的單位圓上的點(diǎn)到的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為5，則最大值為6，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法推導(dǎo)可得數(shù)列的特性，計(jì)算判斷AB；取，再取，結(jié)合奇函數(shù)定義判斷C；由選項(xiàng)C的結(jié)論，結(jié)合等差數(shù)列求和判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)于AB，取，則，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，，則，，AB正確；對(duì)于C，由，得，取，得，取，得，即，因此，是奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則平面平面B.若，則與所成角的取值范圍為C若，則平面D.若，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為【答案】AC【解析】【分析】由的取值確定動(dòng)點(diǎn)所在線(xiàn)段，A項(xiàng)先證明線(xiàn)面垂直，再證面面垂直即可；BD項(xiàng)建系，利用向量方法分別求解線(xiàn)線(xiàn)角與長(zhǎng)度可得；C項(xiàng)由線(xiàn)線(xiàn)平行得線(xiàn)面平行，再得面面平行，由此線(xiàn)面平行得證.【詳解】A項(xiàng)，如圖，取線(xiàn)段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.，，若，則，則三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在線(xiàn)段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；由分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；B項(xiàng)，，若，則，則三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在線(xiàn)段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，則又，所以，，因?yàn)椋瑒t，，，因?yàn)榕c所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，如圖，過(guò)作，交于，則為中點(diǎn).延長(zhǎng)至，使，連接.取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點(diǎn)共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在線(xiàn)段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；又平面，故平面，故C正確；D項(xiàng)，如圖，連接.若，由，可得，，，與C項(xiàng)同理可得，點(diǎn)P在線(xiàn)段NG上運(yùn)動(dòng).連接，同選項(xiàng)B建系，則有，則，，所以，則，故當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，應(yīng)用向量加減法的幾何意義（平行四邊形法則與三角形法則）確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是解決此類(lèi)題型的關(guān)鍵所在.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則其離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程，可得，根據(jù)以及離心率公式可得答案.【詳解】因?yàn)闈u近線(xiàn)方程，所以，則，，故離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.13.已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.【詳解】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，而，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.故答案為：14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)_____．【答案】##【解析】【分析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，，由基本不等式可得，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故由可知，即得.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立時(shí)，即等號(hào)成立，得故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題由的最小值為，，故，進(jìn)而確定，進(jìn)而可得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的零點(diǎn).【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）分，和三種情況討論的符號(hào)，即可得到的零點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)有，對(duì)有.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】首先，根據(jù)（1）的結(jié)論，可以得到不等式，即.用替換，就得到，即.當(dāng)時(shí)，，故，顯然的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.所以函數(shù)的零點(diǎn)為.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系可得遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得答案；（2）由（1）可得的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，又．所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，．所以，則，①，②—②有．所以17.如圖，在體積為的三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，?為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用等體積法先求得點(diǎn)到平面的距離，可得平面，從而可得，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一可得，可證得平面，從而可得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱柱的體積，所以，因?yàn)椋跃褪屈c(diǎn)到平面的距離，故平面.因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，直線(xiàn)為軸，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)與垂直的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，所以.設(shè)平面的法向量為，則有得取，得.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角正弦值為.18.已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓與的準(zhǔn)線(xiàn)相切．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知是上的一點(diǎn)，是軸上的一點(diǎn)，若的最小值為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，且在兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)，證明：．【答案】（1）（2）或（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意設(shè)出拋物線(xiàn)方程，根據(jù)圓的方程明確圓心與半徑，結(jié)合切線(xiàn)的性質(zhì)，可得答案；（2）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式寫(xiě)出函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案；（3）由題意設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)方程，聯(lián)立求交點(diǎn)，結(jié)合距離公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，設(shè)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)為，因?yàn)閳A與的準(zhǔn)線(xiàn)相切，且圓心為，半徑為所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【小問(wèn)3詳解】證明：根據(jù)題意，直線(xiàn)的斜率存在，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，所以，對(duì)求導(dǎo)，得，由，解得，所以．因?yàn)?，所以，又，所?19.某市教育局舉辦的校園足球比賽，其中小學(xué)生足球淘汰賽階段的比賽規(guī)則如下：①常規(guī)時(shí)間分上、下半場(chǎng)，每個(gè)半場(chǎng)各30分鐘，在常規(guī)時(shí)間內(nèi)進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；②如果在常規(guī)時(shí)間內(nèi)兩隊(duì)?wèi)?zhàn)平，則雙方各派3名隊(duì)員進(jìn)行3輪點(diǎn)球決戰(zhàn)，進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；③如果點(diǎn)球大戰(zhàn)依然戰(zhàn)平，則將進(jìn)行抽簽決定哪支球隊(duì)進(jìn)入下一輪，現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行淘汰賽階段的比賽．（1）假設(shè)在常規(guī)時(shí)間內(nèi)甲隊(duì)獲勝的概率為，戰(zhàn)平的概率為；在點(diǎn)球大戰(zhàn)中甲隊(duì)獲勝以及戰(zhàn)平的概率均為；在抽簽環(huán)節(jié)，兩隊(duì)進(jìn)入下一輪機(jī)會(huì)均等．已知在甲隊(duì)進(jìn)入下一輪的條件下，求他們是通過(guò)抽簽進(jìn)入下一輪的概率；（2）點(diǎn)球大戰(zhàn)中，當(dāng)領(lǐng)先的一方提前獲得比賽的勝利，則剩下的隊(duì)員不再出場(chǎng)進(jìn)行點(diǎn)球比賽（如甲方3∶1領(lǐng)先時(shí)，乙隊(duì)的最后一名隊(duì)員不必再出場(chǎng)比賽）．假設(shè)甲隊(duì)每名隊(duì)