1/4構(gòu)建二次函數(shù)求最值在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到要求最大值或最小值的問題，不少同學(xué)們面對(duì)這類問題總是束手無策，難以下手.事實(shí)上，只要我們能認(rèn)真閱讀題目，理解其問題的實(shí)質(zhì)，構(gòu)建出二次函數(shù)，再運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可快速準(zhǔn)確地求解.現(xiàn)舉例說明.例1、市“健益”超市購(gòu)進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克.由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）（x≥30）存在如圖1所示的一次函數(shù)關(guān)系（1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)p元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？圖1（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤(rùn)不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于4180元，請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)x的范圍（直接寫出）.圖1解（1）設(shè)y＝kx+b，由圖象可知，解之，得即y＝－20x+1000（30≤x≤50）.（2）p＝(x－20)y＝(x－20)(－20x+1000)＝－20x2+1400x－20000.因?yàn)閍＝－20＜0，所以p有最大值.即當(dāng)x＝－＝35時(shí)，p最大值＝4500.即當(dāng)銷售單價(jià)為35元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)4500元.（3）31≤x≤34或36≤x≤39.說明本題實(shí)際上二次函數(shù)在我們實(shí)際生活中的應(yīng)用，求解時(shí)一般是指：①用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大（?。┲担虎诜治龊捅硎静煌尘跋聦?shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題中的最大（?。┲?圖2圖2例2、南博汽車城銷售某種型號(hào)的汽車，每輛進(jìn)貨價(jià)為25萬(wàn)元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為29萬(wàn)元時(shí)，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷售價(jià)每降低0.5萬(wàn)元時(shí)，平均每周能多售出4輛.如果設(shè)每輛汽車降價(jià)x萬(wàn)元，每輛汽車的銷售利潤(rùn)為y萬(wàn)元.（銷售利潤(rùn)銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；在保證商家不虧本的前提下，寫出x的取值范圍；（2）假設(shè)這種汽車平均每周的銷售利潤(rùn)為z萬(wàn)元，試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)每輛汽車的定價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)，平均每周的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解（1）因?yàn)閥＝29－25－x，所以y＝－x+40（0≤x≤4），（2）z＝(8+×4)y＝(8x+8)(－x+40)＝－8x2+24x+32，即z＝－8x2+24x+32.＝－8+50，所以當(dāng)x＝時(shí)，z有最大值為50.所以當(dāng)、當(dāng)定價(jià)為29－1.5＝27.5萬(wàn)元時(shí)，有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為50萬(wàn)元.說明本題是二次函數(shù)的應(yīng)用性問題，與現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合非常緊密，考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，難度不是很大.例3、利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）.當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y（元）.（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大.”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由.解（1）依題意，當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，此時(shí)的月銷售量45+×7.5＝60（噸）.（2）因?yàn)樵摻?jīng)銷店的月利潤(rùn)為每噸材料售價(jià)減去每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用，再乘以月銷售量，所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝(x－100)(45+×7.5)，化簡(jiǎn)，得y＝－x2+315x－24000.（3）y＝－x2+315x－24000＝－(x－210)2+9075，所以利達(dá)經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元.（4）我認(rèn)為，小靜說的不對(duì).理由：方法一：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，而對(duì)于月銷售額W＝x(45+×7.5)＝－(x－160)2+19200來說，當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額W最大.所以當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額W不是最大.即小靜說的不對(duì).方法二：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，此時(shí)，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷售額為18000元.因?yàn)?7325＜18000，所以當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額W不是最大.即小靜說的不對(duì).說明求解本題中的第（2）小題，可以由該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為每噸材料售價(jià)減去每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用，再乘以月銷售量即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，從而構(gòu)造出二次函數(shù)，這樣使后面的問題求解提供方便.例4、王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長(zhǎng)為60cm的正方形板子；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板子（如圖3），王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材.他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCDE圍成的區(qū)域（如圖4），由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn).（1）求FC的長(zhǎng)；（2）利用如圖5求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離x(cm)為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積時(shí)多少？圖3圖4（圖3圖4解（1）由題意，得△DEF∽△CGF，＝，即，所以FC＝40(cm).（2）如圖5，設(shè)矩形頂點(diǎn)B所對(duì)頂點(diǎn)為P，則①當(dāng)頂點(diǎn)P在AE上時(shí)，x＝60，y的最大值為60×30＝1800(cm2)；②當(dāng)頂點(diǎn)P在EF上時(shí)，過點(diǎn)P分別作PN⊥BG于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M.根據(jù)題意，得△GFC∽△GPN，所以，所以NG＝x，所以BN＝120－x，所以y＝x(120－x)＝－(x－40)2+2400，所以當(dāng)x＝40時(shí)，y的最大值為2400(cm2)；③當(dāng)頂點(diǎn)P在FC上時(shí)，y的最大值為60×40＝2400(cm2).綜合①②③，得x＝40cm時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為2400cm2.（3）根據(jù)題意，正方形的面積y(cm2)與邊長(zhǎng)x(cm)滿足的函數(shù)表達(dá)式為：y＝－x2+120x.當(dāng)y＝x2時(shí)，正方形的面積最大，所以x2＝－x2+120