安徽省黃山市歙縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+1$，則函數(shù)的對(duì)稱中心是（）A.$(0,1)$B.$(\frac{1}{2},1)$C.$(1,1)$D.$(\frac{3}{2},1)$2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_3=9$，$S_5=25$，則數(shù)列的公差是（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)$A$是$n$階方陣，且$\|A\|>0$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$A$必為可逆矩陣B.$A$必為實(shí)對(duì)稱矩陣C.$A$的特征值都不為零D.$A$的特征值都相等4.若$a^2+b^2=1$，$ab=-\frac{1}{2}$，則$\cos^2a+\cos^2b$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{5}{4}$5.若$x^2+2x+1=0$，則$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$的值為（）A.0B.2C.-2D.$\pm2$6.設(shè)$a$，$b$是方程$x^2-2x+m=0$的兩個(gè)根，則$m$的取值范圍是（）A.$m>0$B.$m<0$C.$m\geq0$D.$m\leq0$7.已知$f(x)=x^3-3x^2+2x$，若$f'(x_0)=0$，則$x_0$是（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$8.若$A$是$n$階方陣，且$A^2=0$，則$A$的特征值是（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.$\pm1$9.若$a$，$b$是方程$x^2-2x+m=0$的兩個(gè)根，則$a+b$的值為（）A.$2$B.$1$C.$m$D.$m+2$10.若$x^2-2x+1=0$，則$\sqrt{x^2-2x+1}$的值為（）A.$x-1$B.$x+1$C.$|x-1|$D.$|x+1|$四、填空題要求：將答案填入空格中。11.若$a$，$b$，$c$成等差數(shù)列，則$a^2+b^2+c^2=\sqrt{3}abc$時(shí)，$a$，$b$，$c$成等差數(shù)列的公差為__________。12.若$\sinx+\cosx=\sqrt{2}$，則$\sin2x+\cos2x$的值為__________。13.已知$x^2-4x+5=0$，則$x^4-8x^3+18x^2-16x+5$的值為__________。14.若$A$是$n$階方陣，且$A^2=A$，則$A$的特征值為__________。15.若$a$，$b$是方程$x^2-2x+m=0$的兩個(gè)根，且$ab=m$，則$m$的值為__________。五、解答題要求：寫出解題步驟和最終答案。16.（本題共10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求證：存在實(shí)數(shù)$x_0$，使得$f'(x_0)=0$。17.（本題共12分）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)為$1$，$4$，$7$，求：（1）該數(shù)列的公差；（2）該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和；（3）求證：$a_n>3$對(duì)所有正整數(shù)$n$都成立。18.（本題共10分）設(shè)$A$是$3$階實(shí)對(duì)稱矩陣，且$A^2=2A$，$A$的特征值為$1$，$2$，$2$，求矩陣$A$。六、應(yīng)用題要求：寫出解題步驟和最終答案。19.（本題共12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（3）求證：$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上無零點(diǎn)。20.（本題共10分）某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，生產(chǎn)$x$個(gè)產(chǎn)品所需的成本為$C(x)=100+10x$元，其中$x$為產(chǎn)品的數(shù)量。若銷售$x$個(gè)產(chǎn)品所得的利潤為$P(x)=40x-100$元，求：（1）該工廠生產(chǎn)$x$個(gè)產(chǎn)品的平均利潤；（2）該工廠生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品時(shí)，平均利潤最大？（3）求出最大平均利潤。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：D解析：函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+1$的對(duì)稱中心可以通過求導(dǎo)得到。求導(dǎo)得$f'(x)=6x^2-6x$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=1$。將$x=0$和$x=1$分別代入$f(x)$得到對(duì)應(yīng)的$y$值，即對(duì)稱中心的坐標(biāo)為$(\frac{3}{2},1)$。2.答案：B解析：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$a_n$是第$n$項(xiàng)。由$S_3=9$和$S_5=25$，可以列出方程組：$$\begin{cases}\frac{3}{2}(a_1+a_3)=9\\\frac{5}{2}(a_1+a_5)=25\end{cases}$$解得$a_1=1$，$a_3=3$，因此公差$d=a_3-a_1=2$。3.答案：C解析：若$A$是$n$階方陣，且$\|A\|>0$，則$A$的特征值都不為零。因?yàn)榉疥嚨男辛惺降扔谄涮卣髦档某朔e，且行列式不為零，則特征值不為零。4.答案：C解析：由$a^2+b^2=1$和$ab=-\frac{1}{2}$，可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1-ab=\frac{3}{2}$，所以$\cos^2a+\cos^2b=\frac{1+\cos2a+\cos2b}{2}=\frac{1+\cos2a+\cos2b}{2}=\frac{1+\frac{3}{2}}{2}=\frac{1}{4}$。5.答案：B解析：由$x^2+2x+1=0$可得$(x+1)^2=0$，所以$x=-1$。因此$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{0}+\sqrt{-2}$，由于$\sqrt{-2}$是虛數(shù)，故$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2$。6.答案：B解析：由韋達(dá)定理，$a+b=2$，$ab=m$。由于$a$，$b$是方程$x^2-2x+m=0$的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理可知$a+b=2$，$ab=m$，因此$m=ab=2$。7.答案：A解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-6x+2$。令$f'(x)=0$得$3x^2-6x+2=0$，解得$x=1$。8.答案：A解析：若$A$是$n$階方陣，且$A^2=0$，則$A$的特征值滿足$\lambda^2=0$，所以$\lambda=0$。9.答案：A解析：由韋達(dá)定理，$a+b=2$，$ab=m$。因此$a+b=2$，$ab=m$，所以$m=ab=2$。10.答案：C解析：由$x^2-2x+1=0$可得$(x-1)^2=0$，所以$x=1$。因此$\sqrt{x^2-2x+1}=|x-1|=|1-1|=0$。四、填空題11.答案：$\sqrt{3}$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a+c=2b$。將$a^2+b^2+c^2=\sqrt{3}abc$代入得$(a+c)^2-2ac=\sqrt{3}abc$，即$4b^2-2ac=\sqrt{3}abc$。由于$a+c=2b$，則$ac=\frac{4b^2}{2}=2b^2$，代入上式得$4b^2-4b^2=\sqrt{3}\cdot2b^2$，解得$b^2=0$，因此$b=0$，$a=c=\pm\sqrt{3}$，所以公差$d=a-b=\pm\sqrt{3}$。12.答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$解析：由$\sinx+\cosx=\sqrt{2}$可得$(\sinx+\cosx)^2=2$，即$\sin^2x+2\sinx\cosx+\cos^2x=2$，所以$1+2\sinx\cosx=2$，即$\sin2x=1$，因此$\cos^2x=1-\sin^2x=1-1=0$，所以$\cos^2a+\cos^2b=0+0=0$。13.答案：5解析：由$x^2-4x+5=0$可得$x^2-4x=-5$，兩邊同時(shí)平方得$(x^2-4x)^2=25$，即$x^4-8x^3+16x^2=25$，再減去$18x^2$得$x^4-8x^3-2x^2+5=0$，所以$x^4-8x^3+18x^2-16x+5=5$。14.答案：1，2，2解析：由$A^2=2A$可得$A(A-2I)=0$，其中$I$是單位矩陣。因此$A$的特征值滿足$\lambda^2-2\lambda=0$，解得$\lambda=0$或$\lambda=2$。由于$A$是實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值都是實(shí)數(shù)，所以特征值為$1$，$2$，$2$。15.答案：4解析：由韋達(dá)定理，$a+b=2$，$ab=m$。因此$a+b=2$，$ab=m$，所以$m=ab=4$。五、解答題16.答案：（1）由羅爾定理，若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則存在至少一個(gè)$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。（2）函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)，且$f(0)=f(2)=-6$，滿足羅爾定理的條件。（3）因此存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=0$。17.答案：（1）公差$d=a_3-a_1=7-1=6$。（2）前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(1+(1+(n-1)d))=\frac{n}{2}(2+(n-1)\cdot6)=3n^2-n$。（3）由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_n>3$得$1+(n-1)\cdot6>3$，解得$n>\frac{1}{2}$。因此$a_n>3$對(duì)所有正整數(shù)$n$都成立。18.答案：（1）由$A^2=2A$可得$A(A-2I)=0$，其中$I$是單位矩陣。因此$A$的特征值滿足$\lambda^2-2\lambda=0$，解得$\lambda=0$或$\lambda=2$。（2）由于$A$是實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值都是實(shí)數(shù)，所以特征值為$1$，$2$，$2$。（3）設(shè)$A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}$，則$A^2=\begin{bmatrix}a^2+2ab&ab+bc\\ab+bc&b^2+2bc\end{bmatrix}$。由$A^2=2A$可得$a^2+2ab=2a$，$ab+bc=2b$，$b^2+2bc=2c$。解得$a=1$，$b=0$，$c=2$，因此$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}$。六、應(yīng)用題19.答案：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。當(dāng)$x<\frac{2}{3}$時(shí)，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$\frac{2}{3}<x<1$時(shí)，$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x>1$時(shí)，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。因此$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為