人教A版高一寒假作業(yè)5：三角函數(shù)【基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1.(2024·江西省宜春市·期中考試)下列命題正確的是(

)A.小于90°的角一定是銳角

B.終邊相同的角一定相等

C.終邊落在直線y=3x上的角可以表示為k?360°+60°2.(2024·黑龍江省·期末考試)已知cosα=?13，α∈(π,3π2)A.23 B.?23 C.23.(2024·陜西省·月考試卷)sin4π3·cosA.?34 B.34 C.?4.(2024·浙江省杭州市·期末考試)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx),ω>0，將f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移π6個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π6]A.0,4 B.0,2 C.(0,32]二、多選題5.(2024·廣東省·期末考試)下列各式中，值為12的是(

)A.tan22.5°1?tan222.5° B.tan15°?6.(2024·浙江省·模擬題)函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移可以得到函數(shù)y=sinx+π4A.向左平行移動π4個單位長度 B.向右平行移動π4個單位長度

C.向左平行移動7π4個單位長度 D.三、填空題7.(2024·西藏自治區(qū)·月考試卷)若f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期為π4，則g(x)=tan8.(2024·北京市·期中考試)水車在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個半徑為6米的水車逆時針勻速轉(zhuǎn)動，水輪圓心O距離水面3米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動1圈，如果當(dāng)水輪上一點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn)P0)開始計時，經(jīng)過t秒后，水車旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)．

給出下列結(jié)論：

①在轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點(diǎn)P的高度在水面3米以上的持續(xù)時間為30秒；

②當(dāng)t=[0,15]時，點(diǎn)P距水面的最大距離為6米；

③當(dāng)t=10秒時，PP0=6；

其中所有正確結(jié)論的序號是四、解答題9.(2024·湖北省襄陽市·月考試卷)已知函數(shù)f(x)=sin(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量x的取值集合；(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．10.(2024·吉林省·期末考試)在股票市場上，投資者常根據(jù)股價(每股的價格)走勢圖來操作，股民老張在研究某只股票時，發(fā)現(xiàn)其在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的走勢圖有如下特點(diǎn)：每日股價y(元)與時間x(天)的關(guān)系在ABC段可近似地用函數(shù)y=asin(ωx+φ)+20(a>0,ω>0,0<φ<π)的圖像從最高點(diǎn)A到最低點(diǎn)C的一段來描述(如圖)，并且從C點(diǎn)到今天的D點(diǎn)在底部橫盤整理，今天也出現(xiàn)了明顯的底部結(jié)束信號．老張預(yù)測這只股票未來一段時間的走勢圖會如圖中虛線DEF段所示，且DEF段與ABC段關(guān)于直線l:x=34對稱，點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別是(12,20)、(1)請你幫老張確定a、ω、φ的值，寫出ABC段的函數(shù)表達(dá)式，并指出此時x的取值范圍；(2)請你幫老張確定虛線DEF段的函數(shù)表達(dá)式，并指出此時x的取值范圍；(3)如果老張預(yù)測準(zhǔn)確，且在今天買入該只股票，那么最短買入多少天后，股價至少是買入價的兩倍？【拓展提升】一、單選題1.(2024·湖北省·聯(lián)考題)我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深CD=4?22，鋸道AB=42，則圖中弧ACB與弦AB圍成的弓形的面積為(

)A.4π B.8 C.4π?8 D.8π?82.(2024·廣西壯族自治區(qū)北海市·期末考試)已知函數(shù)f(x)=2cosx(x∈(0,π))的圖象與函數(shù)y=tanx的圖象交于A，B兩點(diǎn)，則△OAB(OA.2π2 B.π2 C.二、多選題3.(2024·廣東省·單元測試)若函數(shù)y=sin2x+2acos?x+a2+1最大值是最小值的4A.3 B.?3 C.2+3 4.(2024·廣東省·單元測試)在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義1?cosθ為角θ的正矢，記作versin?θ；定義1?sinθ為角θA.函數(shù)f(x)=versin?x?coversx+1的對稱中心為(kπ+π4,0)k∈Z

B.若versin?x?1coversx?1=12，則covers2x?versin2x+1=?25

C.若g(x)=versin?x?coversx?1，則三、填空題：5.(2024·廣東省·單元測試)已知函數(shù)f(x)=|cos2x|+1.①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的一條對稱軸方程為x=π③若函數(shù)g(x)=f(x)+b(b∈R)在區(qū)間0,9π8上有5個零點(diǎn)，從小到大依次記為x1④存在實(shí)數(shù)a，使得對任意m∈R，都存在x1,x2∈其中所有正確結(jié)論的序號是

．四、解答題6.(2024·河南省駐馬店市·期末考試)已知函數(shù)f(x)=3sin?(ωx+φ)(0<ω<1,|φ|<π2)的圖象過?2π3,0，(1)求函數(shù)g(x)的解析式；(2)若函數(shù)F(x)=g(x)?32>0，求函數(shù)【基礎(chǔ)鞏固】1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了任意角的概念，終邊相同的角、象限角的概念，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)任意角的概念，終邊相同的角，象限角的概念逐句判斷即可．【解答】

解：對于A:銳角是大于0°且小于90°的角，小于90°的角不一定是銳角，如0°的角，負(fù)角，故A錯誤；

對于B:終邊相同的角可以表示為β=k?360°+α，所以終邊相同的角不一定相等，比如0°和360°，故B錯誤；

對于C:終邊落在直線y=3x的角可以表示為k?360°+60°或k?360°+240°，故C錯誤；

對于D:由角α是第二象限角，得2kπ+π2<α<2kπ+π,k∈Z，則kπ+π4<α2<kπ+π2.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查已知一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．

首先由是三角函數(shù)的平方關(guān)系求得sinα=±【解答】

解：cosα=?13，∵sin2α+cos2α=1，3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．

將sin4π3cos25π6tan5π4轉(zhuǎn)化為?sinπ3cos4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的圖象變換，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性解決參數(shù)問題，屬于中檔題

根據(jù)題意，先平移得到g(x)，再根據(jù)g(x)條件列出方程即可求出結(jié)果．【解答】解：將f(x)=sin(ωx),ω>0圖象上所有點(diǎn)向左平移π6個單位長度得到函數(shù)y=g(x)=sin?[ω(x+π6)]=sin?(ωx+π6ω)的圖象，

當(dāng)x∈[0,所以{ω>0π3故選：C．5.【答案】AC

【解析】【分析】本題主要考查二倍角公式，輔助角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

利用二倍角的正切公式可求A；利用切化弦以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角公式，以及輔助角公式，誘導(dǎo)公式可求解D；【解答】解：原式=12×原式=tan?15°?cos2?15°=原式=33原式=116cos故選AC．6.【答案】AD

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．

由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得結(jié)論．【解答】

解：y=sin(x+π4)=sin?(x+π4?2π)=sin?(x?7π4)，

y=sinx根據(jù)左加右減法則，7.【答案】π16【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)周期的計算，屬較易題．

結(jié)合三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可．【解答】

解：∵f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期為π4，

∴T=2πω=π4得ω=8，

則g(x)=tan(2ωx+π88.【答案】①③

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了邏輯推理、數(shù)形結(jié)合和運(yùn)算能力，屬于較難題．

由題意，以水輪所在平面為坐標(biāo)平面，以水輪軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于水面的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時點(diǎn)P距離水面的高度?關(guān)于時間t的函數(shù)為?=f(t)=Asin(ωt+φ)+B，根據(jù)最大值和最小值求出A和B的值，再利用周期和f(0)=0求出函數(shù)解析式，對結(jié)論進(jìn)行逐一分析，進(jìn)而即可求解．【解答】

解：以水輪所在平面為坐標(biāo)平面，以水輪軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于水面的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)P距離水面的高度?關(guān)于時間t的函數(shù)為?=f(t)=Asin(ωt+φ)+B，

因為一個半徑為6米的水車逆時針勻速轉(zhuǎn)動，水輪圓心O距離水面3米，

所以A+B=9?A+B=?3，

解得A=6，B=3，

因為水輪60秒轉(zhuǎn)動一周，

此時ω=2π60=π30，

所以f(t)=6sin(π30t+φ)+3，

因為f(0)=0，

解得sinφ=?12，

可得φ=?π6，

所以f(t)=6sin(π30t?π6)+3．

對于①，易得f(t)=6sin(π30t?π6)+3>3，

即0<π30t?π6<π，

所以5<t<35，

則在轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點(diǎn)P的高度在水面3米以上的持續(xù)時間為35?5=30秒，故①正確；

對于②，若t=[0,15]，

當(dāng)t=15時，f(15)=6sin(π30×15?π9.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=sin2x+3sinxcosx+12

=1?cos2x2+32sin2x+12

=sin(2x?π6)+1，

故函數(shù)f(x)的最小正周期為2π2=π;

(2)函數(shù)f(x)的最大值為1+1=2，

此時2x?π6=2kπ+π2，k∈Z，

得x=kπ+π【解析】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、最值以及單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f(x)的最小正周期．

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的最值求得函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量x的取值集合．

(3)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．10.【答案】解：(1)由圖以及B,D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)可知：a=20?12=8，T4=12，可得：則ω=2π由題意知C、D關(guān)于直線l:x=34對稱，則C的坐標(biāo)為(24,12)，

則π24×24+φ=3π又0<φ<π，所以k=0，φ=π所以ABC段的函數(shù)表達(dá)式為y=fx=8(2)由題意結(jié)合對稱性可知：DEF段的函數(shù)解析式為：y=8cosπ24(3)由8cosπ2468?x+20=24所以買入60?44=16天后，股票至少是買入價的兩倍．

【解析】本題考查三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，由部分圖像求三角函數(shù)解析式，屬于中檔題．

(1)由已知圖中B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得a與T，進(jìn)而可得ω的值，再由五點(diǎn)法作圖的第三個點(diǎn)求解φ，即可得函數(shù)的解析式，并求得x的范圍；(2)由對稱性求解DEF段的函數(shù)表達(dá)式，以及x的取值范圍；(3)由8cosπ2468?x+20=24【拓展提升】1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了扇形面積，勾股定理，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意先求出半徑r=OA=4，∠AOB=π2，再根據(jù)面積公式即可求出．

【解答】

解：設(shè)半徑為r，則OD=OC?CD=r?4+22，

∵AB=42，

∴AD=22，

∴OD2=OA2?AD2，

即(r?

4+22)

?2=r

??22.【答案】B

【解析】【分析】本題考查余弦函數(shù)的圖象，正切函數(shù)的圖象，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．

先求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(π2,0)【解答】

解：由題意有2cosx=tanx，有2cosx=sinxcosx，

有2(1?sin2x)=sinx，解得sinx=22，或sinx=?2(舍去)，

由x∈(0,π)可得x=π4或3π4，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(π3.【答案】ABD

【解析】【分析】本題重點(diǎn)考查函數(shù)的最值，屬于較難題．

令cosx=t(?1≤t≤1)，g(t)=?(t?a)2【解答】

解：令f(x)=y=sin2x+2acos?x+a2+1

f(x)=sin2x+2acosx+a2+1

=1?cos2x+2acosx+a2+1

=?(cosx?a)2+2a2+2

當(dāng)x∈R時，?1≤cosx≤1，

令cosx=t(?1≤t≤1)

則g(t)=?(t?a)2+2a2+2

?①當(dāng)a≤?1時，f(x)max=g(?1)=a2?2a+1，

f(x)min=g(1)=a2+2a+1

則有a2?2a+1=4(a2+2a+1)，解得a=?3或a=?13(舍去)

?②當(dāng)a≥1時，f(x)max=g(1)=a4.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的新定義問題，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．A選項，化簡出f(x)=B選項，化簡得tan?x=2C選項，由題可得g(x)=?(sin?x+cosD選項，?(x)=2sin2x+sin?x【解答】解：對于A選項，f(x)=1?cos?x?(1?令x?π4=kπ，解得x=π4+kπ,k∈Z，對于B選項，versin?x?1coversx?1=1?故covers2x?versin?2x+1=2cos2對于C選項，g(x)=(1?cos?x)?(1?sin令t=sin則g(t)=?t+t故gt開口向上，且對稱軸為t=1，所以當(dāng)t=?2時，取到最大值，此時g(x)=對于D選項，?(x)=1?cos?2x?(1?sin因為?(α)=1，所以2sin2α+sin因為0<α<π2，所以sin?α=12故選：BCD．5.【答案】②③

【解析】【分析】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通常考慮圖象的對稱性進(jìn)行解決．

畫出函數(shù)圖像，可判斷①②，對于③，轉(zhuǎn)化為y=?b與y=f(x)在x∈0,9π8上交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合得到5個根的對稱性，從而得到答案；對于④，x∈?π6,0時，f(x)=|cos2x|+1【解答】解