1.1正弦定理(二)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握正弦定理變形公式的應(yīng)用(重點(diǎn))；2.掌握三角形的面積公

式、并熟練應(yīng)用(難點(diǎn)).

I課前預(yù)習(xí)自二學(xué)習(xí)，積沱基砒

預(yù)習(xí)教材P47—48完成下列問(wèn)題:

知識(shí)點(diǎn)一正弦定理及其變形

設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,外接圓半徑為R,則有

⑴^7=砌=而=駁

(2)々一2Rsin八，。一2Rsin2,c_27?sinC；

=2R，

(3)sinAsinB=^R,sinC=2R；

(4)?Ib:c,=sinA：sin8：sinC.

【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】

(1)在△ABC中，。：方：c=3：5：6,則sinA：sin8：sinC等于.

(2)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為A：8：C=3：2：1,那么，對(duì)應(yīng)的三邊之比

a：b：c等于()

A.3：2：1B.小：2：1

C.A/3:啦：1D.2：#：1

答案⑴3：5：6(2)D

知識(shí)點(diǎn)二三角形面積公式

(1)S=ga?魚(魚為a邊上的高)；

(2)S=^abs\nC=JacsinB=gbcsinA；

(3)S=}(。+b+c)(廠為三角形內(nèi)切圓半徑).

【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】

1.由S=；〃加inC=^csinB=^bcsinA能得出正弦定理嗎？

J乙J

提示可以，由等式同除以上兒得平=罕=等，即得正弦定理.

2.公式(3)是用什么方法得到的？

提示分割法，把邊長(zhǎng)分別為m8，c?的三角形分割為底邊為小b,c,高均為

〃的三個(gè)小三角形即得.

課堂互動(dòng)題型剖析，互動(dòng)探究

題型一正弦定理的變形應(yīng)用

【例1】在△ABC中，。=3()°,C=45°,c=l,求人及△48C外接圓的半

徑R.

解已知B=30°,C=45°,c=l,

由正弦定理，得b力品c2R,

csinBIXsin30°

所以力=啦

sinCsin45°2，

2火=滯？=sin'。=g'得R=坐.

規(guī)律方法應(yīng)用正弦定理解決三角形問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)正弦定理正確變形，常見(jiàn)

變形為邊的比等于對(duì)角正弦比；任一邊與其對(duì)角正弦的比等于該三痢形外接圓

直徑.

【訓(xùn)練1】如圖所示，點(diǎn)4,B,C是圓。上的點(diǎn)，且AB=4,N4CB=45'，

則圓O的面積等于.

(C3

解析設(shè)圓。的半徑為R,

AB4r-

則2A=sinNACB=sin450='卷

所以R=2吸.所以圓0的面積S=nR?=8n.

答案8n

典例

題型二三角形的面積問(wèn)題

遷移

Ji4

【例2】在△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為小b,c,B=y,cosA=g,

h=y[3.

⑴求sinC的值.

(2)求△ABC的面積.

JI4

解(1)因?yàn)锳,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且8=不，COSA=5，

一2n3

所以C=-y—A,sin4=§.

訴W「“2”八正21.43+4小

所以smC=sin^-^-2cos'2sin—JQ--

(2)由(1)知sinA=1,

J

3+4」「Ji,r

sinC=-fQ-,又8=丁，b=、3.

所以在△ABC中，由正弦定理，得。=縹號(hào)="

所以AABC的面積S=J〃/?sinC=zXTXX3+4y336+9>/3

4JJ1\JJvz

【遷移1】例2中條件不變求c.

JI4

解因?yàn)锳,8,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且3=可，cosA=§,

-2n3

所以。=丁一A,sin4=g.

(2n}

所以sinC=sinhr-Ar京。e宗”=邸

由正弦定理可知，一匕=一h氣，

'sinCsinB

AinC3+4小

所以c=

sinB~5

4

【遷移2]把典例中條件“cosA=1”改為“c=l”，其他條件不變，求

△ABC的面積.

規(guī)律方法在一個(gè)等式中既有邊又有角，就要把邊角統(tǒng)一，化異為同，因此可

利用正弦定理將A8.C,分別化為27?sinA.2RsinA2RsinC的形式.

【訓(xùn)練3】在△ABC中，ci,b,c分別是角A,B,。的對(duì)邊，且,〃=（“，b）,

/B+C、

n=（cosA,cosB）,p=（2吸sin—］一,2sinA,若機(jī)〃〃，p2=9,試判斷三角形

的形狀.

解m//n,￡7cosB-Z?cosA=0.

由正弦定理，得sinAcosB-cosAsin8=().

二?sin(A—8)=0,/.A=8.

??(26cos/2sin“又p?=9,

.p=

+(2sinA)2=9,

A|

8cos>+4sin2A=9,化簡(jiǎn)得cosA=z.

乙乙

VAe((),n),，A=g,，B=C=左.

JJ

「.△ABC為等邊三角形.

課堂反饋?zhàn)灾鞣答?，檢測(cè)成效

課堂達(dá)標(biāo)

1.在△45C中，AB=84C=1,ZBAC=y,則△4BC的面積為()

D3

V43B4

AC.

V23D.|

解

析

由S^ABC=^AB?AC?sinNBAC=：X事X1

答案B

2.已知銳角AABC的面積為3#,8C=4,C4=3,則角。的大小為（）

A.75°B.60°

C.450D.30°

解析由S^ABC=^BC-CA-sinNACB=3S，得sinNAC8=竽，又△ABC為

銳角三角形，：.ZACB=60°.

答案B

3.已知A(l,0),8(0,2),C(3,4),貝ijS小席=.

解析VAB=(-1,2),AC=(2,4),ASAABC=^|-4-2X2|=4.

答案4

4.在△4BC中，〃=2,C=45°,SA.ABC=/~H,則力=.

解析由S^ABC=2^bsinC=y[^+1,。=2,sinC=?,解得b=y[6~^~y[2,.

答案加+啦

5.在△A8C中，tanB=，5,cosC=yAC=3加，求△ABC的面積.

解設(shè)AB.BC.CA的長(zhǎng)分別為CA.b.

S1

由tanB=小及0<B<JI,得B=60°,/.sinB=g,cos8=5.

乙乙

又0<C<n,得sinC=y]1—cos2C=^^,

,.r3#X羋

由正弦定理，得-智

2

又???A+B+C=180°,

??A?心-L萬(wàn)、-D?1近_1_應(yīng)

??sinA=sin(8+C)=sinBcosC+cosBsinC=2-3-6'3,

，所求面積S、A8C=