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二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第一章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.一元二次不等式我們把只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2的不等式,稱為一元二次不等式,其一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數(shù),a≠0.2.二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地,對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).3.三個(gè)二次之間的關(guān)系

(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法

【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.(

)(2)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1和x2.(

)(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(

)(4)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向下,則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(

)√√×√A.[0,3] B.(0,3)C.(-∞,0]∪[3,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)A3.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對(duì)一切x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,2] B.(-2,2]

C.(-2,2) D.(-∞,2)B當(dāng)a=2時(shí),原式化為-4<0,不等式恒成立.故-2<a≤2.4.不等式0<x2-x-2≤4的解集為

.

[-2,-1)∪(2,3]5.若關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,則a+b的值是

.-14第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1簡(jiǎn)單不等式的解法命題角度1解不含參數(shù)的一元二次不等式例1

不等式-2x2+x+3<0的解集為

.

拓展延伸解不等式-2x2+x+3≥0.命題角度2解含參數(shù)的一元二次不等式例2

解關(guān)于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.解

由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,故x1=a,x2=1.當(dāng)a>1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為{x|1<x<a},當(dāng)a=1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為?,當(dāng)a<1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為{x|a<x<1}.命題角度3解分式不等式例3

不等式

的解集為

.

[-2,3)解題心得1.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

2.解含參數(shù)的一元二次不等式要分類討論,分類討論的依據(jù):(1)若二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù),則應(yīng)先討論二次項(xiàng)系數(shù)是小于0,還是大于0,再將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式.(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與0的大小關(guān)系.(3)當(dāng)確定方程無(wú)根時(shí),可直接寫出解集,當(dāng)確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集.3.解分式不等式時(shí),切忌直接去分母,一般先通過(guò)移項(xiàng)、通分,將分式不等式化為

的形式,再等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式f(x)g(x)>0(或f(x)g(x)<0)的形式,即轉(zhuǎn)化為一次、二次或高次不等式.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},,則A∪B=(

)A.{x|1<x<2} B.{x|-1≤x<3}C.{x|1<x≤2} D.{x|-1<x<3}B由x2-4x+3<0,可得1<x<3,則A={x|1<x<3};由

,可得-1≤x<2,則B={x|-1≤x<2}.故A∪B={x|-1≤x<3}.{x|x>1}(3)解關(guān)于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.能力形成點(diǎn)2一元二次不等式恒成立問(wèn)題命題角度1在R上恒成立求參數(shù)的取值范圍例4

若關(guān)于x的一元二次不等式

對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則k的取值范圍為(

)A.(-3,0] B.[-3,0)C.[-3,0] D.(-3,0)D拓展延伸若關(guān)于x的不等式

對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則k的取值范圍是

.

[-3,0]命題角度2在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍例5

設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.若對(duì)于任意的x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.命題角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題例6

已知對(duì)任意的k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是

.

(-∞,1)∪(3,+∞)對(duì)任意的k∈[-1,1],x2+(k-4)·x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在區(qū)間[-1,1]上恒成立,解得x<1或x>3.故所求x的取值范圍為(-∞,1)∪(3,+∞).解題心得1.不等式在某區(qū)間上恒成立問(wèn)題的求解方法(1)不等式解集法:不等式在集合A中恒成立,等價(jià)于集合A是不等式的解集B的子集,通過(guò)求不等式的解集,并研究集合的關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.(2)函數(shù)最值法:已知二次函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min=m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max=n≤a.(3)分離參數(shù)法:先將參數(shù)與變量分離,轉(zhuǎn)化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式;再求f2(x)的最大(或最小)值;通過(guò)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min得參數(shù)λ的取值范圍.2.已知參數(shù)的取值范圍求函數(shù)自變量的取值范圍的一般思路是更換主元法.把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量,得到一種新的函數(shù),然后利用新函數(shù)求解.確定主元的原則:知道誰(shuí)的取值范圍,誰(shuí)就是主元,求誰(shuí)的取值范圍,誰(shuí)就是參數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)設(shè)a為常數(shù),?x∈R,ax2+ax+1>0,則a的取值范圍是(

)A.(0,4)

B.[0,4)C.(0,+∞)

D.(-∞,4)B(2)已知不等式xy≤ax2+2y2對(duì)任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

[-1,+∞)(3)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示,對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,能力形成點(diǎn)3一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例7

某地區(qū)有100戶農(nóng)民,且都從事水果種植,據(jù)了解,平均每戶的年收入為2萬(wàn)元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),當(dāng)?shù)卣疀Q定動(dòng)員部分農(nóng)民從事水果加工,據(jù)估計(jì),若能動(dòng)員x(x>0)戶農(nóng)民從事水果加工,則剩下的繼續(xù)從事水果種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高2x%,而從事水果加工的農(nóng)民平均每戶收入將為

萬(wàn)元.(1)若動(dòng)員x戶農(nóng)民從事水果加工后,要使從事水果種植的農(nóng)民的總年收入不低于動(dòng)員前從事水果種植的農(nóng)民的總年收入,求x的取值范圍;(2)在(1)的條件下,要使這100戶農(nóng)民中從事水果加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事水果種植的農(nóng)民的總收入,求a的最大值.解題心得解不等式應(yīng)用題的步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬(wàn)元/輛,出廠價(jià)為12萬(wàn)元/輛,年銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車增加投入成本的百分比為x(0<x<1),則出廠價(jià)相應(yīng)地提高0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加0.60x.已知年利潤(rùn)=(出廠價(jià)-投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與增加投入成本的百分比x的解析式;(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度