雅禮教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試時量：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.1.經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,m),B(-m,4)的直線l的傾斜角為135°,則m的值為()A.-2B.1C.3A.3B.5 點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則MN等于()4.已知m,n為不同的直線，α,β為不同的平面，下列命題為假命題的是()B.m//n,ncα→m//α5.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=1,sinA=2sinC,,則VABC的面積B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.50√2海里B.50√3海里C.100√3海里D.100√2海里表示“第二次朝上的數(shù)字為偶數(shù)”,則下列事件中與事件N相互獨(dú)立的是()A.第二次朝上的數(shù)字是奇數(shù)B.第二次朝上的數(shù)字為2C.兩次朝上的數(shù)字之和為9D.兩次朝上的數(shù)字之和為10二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是()B.若z=(1+2i)2,則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.復(fù)數(shù),|z|=√2A.若事件A與事件B是互斥事件，則P(AB)=0B.若事件A與事件B是對立事件，則P(A+B)=1C.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分11.如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1,P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC?上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是()B.當(dāng),截面S的形狀為等腰梯形D.當(dāng)時，直線PQ與平面ACC?A?夾角正弦值的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某商場為優(yōu)化服務(wù)，對顧客做滿意度問卷調(diào)查，滿意度采用計分制(滿分100).現(xiàn)隨機(jī)抽取了其中10個數(shù)據(jù)依次為80,85,86,89,91,92,93,95,95,96,則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為_13.在對某中學(xué)高一年級學(xué)生體重(單位：kg)的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行測量，已知抽取的男生有50人，其體重的平均數(shù)和方差分別為54,20,抽取的女生有40人，其體重的平均數(shù)和方差分別為45,11,則估計該校高一年級學(xué)生體重的方差為·(參考公式：已知總體分為兩層，各層的樣本量，平均數(shù)，方差分別為m,x,s2;n,y,s2,記總的樣本平均數(shù)和樣本方差為@,s2,其中14.某封閉的圓錐容器的軸截面為等邊三角形，高為6.一個半徑為1的小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為15.如圖，正三棱柱ABC-A?B?C?中，D是BC的中點(diǎn)，AB=2.B.若事件A與事件B是對立事件，則P(A+B)=1【解析】11.如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1,P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC?上的動點(diǎn)，【解析】如圖，又可得△C?RQ~△D?RE,則對于D,如圖，取DC中點(diǎn)S,連接PS,BD,PS即交AC于點(diǎn)M,連接QM,因AC∩CC?=C,AC,CC?C平面ACC?A,故PS⊥平面ACC?A,則∠PQM即直線PQ與平面ACC?A?的夾角，設(shè)為θ,不妨設(shè)CQ=x,則在Rt△PMQ中，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某商場為優(yōu)化服務(wù)，對顧客做滿意度問卷調(diào)查，滿意度采用計分制(滿分100).現(xiàn)隨機(jī)抽取了其中10個數(shù)據(jù)依次為80,85,86,89,91,92,93,95,95,96,則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為_【答案】86【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算規(guī)則即可求解.【詳解】10×25%=2.5,故這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為86,13.在對某中學(xué)高一年級學(xué)生體重(單位：kg)的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行測量，已知抽取的男生有50人，其體重的平均數(shù)和方差分別為54,20,抽取的女生有40人，其體重的平均數(shù)和方差分別為45,11,則估計該校高一年級學(xué)生體重的方差為_.(參考公式：已知總體分為兩層，各層的樣本量，平均數(shù)，方差分別為m,x,s2;n,y,s2,記總的樣本平均數(shù)和樣本方差為@,s2,其中【答案】36【解析】【分析】根據(jù)題意，求得總體的平均數(shù)w=50,結(jié)合分層抽樣的方差的計算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，抽取的男生有50人，其體重的平均數(shù)和方差分別為54,20,抽取的女生有40人，其體重的平均數(shù)和方差分別為45,11,故答案為：36.14.某封閉的圓錐容器的軸截面為等邊三角形，高為6.一個半徑為1的小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動，則小【解析】【分析】分別計算側(cè)面與底面上小球可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積，即可得解.【詳解】由軸截面為等邊三角形的高為6,易得圓錐的母線長與底面圓的直徑均為4√3.小球的半徑為1,在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域展開后是一個扇環(huán)，可知扇環(huán)的半徑為3√3,√3,扇環(huán)所在扇形的圓心角為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(1)求證：A?C//平面AB?D;(2)若三棱錐B?-ADC?的體積為,求AA?.【解析】(2)證明AD⊥平面BCC?B?,求出AD=√3,設(shè)AA?=m,則S△BCD=m,利用等體積法得到方程，求出m=2,得到AA?的值.【小問1詳解】又D是BC的中點(diǎn)，故A?C//DH,因?yàn)锳?C?平面AB?D,DHc平面AB?D,【小問2詳解】因?yàn)閂ABC為等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC,又AB=2,故AD=2sin60°=√3,因?yàn)锽?B⊥平面ABC,ADc平面ABC,所以B?B⊥AD,故AA?=2.解得m=2,16.某校對2022年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照(30,50),(50,70),(70,90),(90,110),(110,130),[130,150]分成6組，制成了如圖所示的頻率分頻率頻率組距a(1)估計該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的平均數(shù)；(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在(50,70)和(70,90)的兩組中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在(50,70)內(nèi)的概率.【答案】(1)93分(2)【解析】【分析】(1)先利用頻率之和為1,計算出a=0.01,進(jìn)而求出平均值即可；(2)利用分層抽樣取樣方法，算出需在[50,70]分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為A?,A?,需在(70,90)內(nèi)抽3人，分別記為B,B?,B?,寫出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)數(shù)，即可求出相應(yīng)概率.【小問1詳解】由0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+a×20+0.0025×20=1,得a=0.01.(30,50)頻率0.0050×20=0.1,(50,70)頻率0.0050×20=0.1,(70,90)頻率0.0075×20=0.15,(90,110)頻率0.0200×20=0.4,(110,130)頻率0.0100×20=0.2,[130,150]頻率0.0025×20=0.05,樣本平均值為：40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05=93可以估計樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績均值為93分，據(jù)此可以估計該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績估計93分.【小問2詳解】由題意可知，分?jǐn)?shù)段(50,70)的人數(shù)為100×0.1=10(人),分?jǐn)?shù)段[70,90]的人數(shù)為100×0.15=15(人).用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在分?jǐn)?shù)段(50,70)內(nèi)抽2人，分別記為A?,A?,需在分?jǐn)?shù)段[70,90]內(nèi)抽3人，分別記為B?,B?,B?.設(shè)“從樣本中任取2人，至少有1人在分?jǐn)?shù)段(50,70)內(nèi)”為事件A,則樣本空間Ω={AA?,A?B,A?B?,AB?,A?B?,A?B?,A?B?,BB?,BB?,B?B?}共包含10個樣本點(diǎn)而A的對立事件A={BB?,B?B?,B?B?}包含3個樣本點(diǎn)，即抽取的這2名學(xué)生至少有1人在(50,70)內(nèi)的概率為17.某校舉辦環(huán)保知識競賽，初賽中每位參賽者有三次答題機(jī)會，每次回答一道題，若答對，則通過初賽，否則直到三次機(jī)會用完.已知甲、乙、丙都參加了這次環(huán)保知識競賽，且他們每次答對題目的概率都是,假設(shè)甲、乙、丙每次答題是相互獨(dú)立的，且甲、乙、丙的答題結(jié)果也是相互獨(dú)立的.(1)求甲第二次答題通過初賽的概率；(2)求乙通過初賽的概率；(3)求甲、乙、丙三人中恰有兩人通過初賽的概率.【答案】(1)【解析】【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計算可得；(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件及對立事件的概率公式計算可得；(3)根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】記甲第二次答題通過初賽為事件A,【小問2詳解】記乙通過初賽為事件B,則【小問3詳解】依題意甲、乙、丙每人通過初賽的概率均為記甲、乙、丙三人中恰有兩人通過初賽為事件C,18.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且bsinB-csinC+(c-a)sinA=0.(1)求角B;(2)如圖，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D,且a=3,c=4,(ii)若AB邊上的中線CE與BD相交于點(diǎn)F,求∠DFE的余弦值.【答案】(1)【解析】【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求出B即可得解.(2)(i)根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積的分割關(guān)系列出等式，求解BD的長度.(ii)易知∠DFE為向量BD,CE的夾角，利用中線向量運(yùn)算得結(jié)合角平分線定理利用向量線性運(yùn)算得然后利用平面向量的夾角公式求解余弦值即可.【小問1詳解】在VABC中，由bsinB-csinC+(c-a)sinA=0及正弦定理，得b2-c2+(c-a)a=0,【小問2詳解】,解得在△ABD中，因?yàn)?得到BE為折痕將BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)C?的位置，且AC?=√6,如圖2.D(1)求證：平面BC?E⊥平面ABED;(2)求直線BC?與平面AC?D所成角的正弦值.(3)在棱DC?上是否存在點(diǎn)P,使得二面角P-EB-C?的平面角為45°?若存在，求出線段C?P的長度，若不存在說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2);(3)存在，【解析】【分析】(1)在圖1中，連結(jié)AE,連結(jié)AC交BE于點(diǎn)F,證明C?F⊥AF,C?F⊥BE即可；(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DE 面AC?D的法向量和,然后可算出答案； (3)設(shè)DP=λDC?,λ∈(0,1),