異面直線角度計(jì)算專題訓(xùn)練題一、引言異面直線所成角是立體幾何的核心考點(diǎn)之一，它連接了空間想象能力與代數(shù)計(jì)算能力，是高考中考查“空間幾何”的高頻題型（常以選擇題、填空題或解答題的第一問形式出現(xiàn)）。解決異面直線角度問題的關(guān)鍵在于將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，常用方法包括平移法、向量法和補(bǔ)形法。本文將通過專題訓(xùn)練，幫助讀者鞏固這些方法的應(yīng)用，提升解題效率。二、基礎(chǔ)知識回顧在開始訓(xùn)練前，需明確以下核心概念與方法：1.異面直線的定義不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，其特征是既不平行也不相交。2.異面直線所成角的定義過空間任一點(diǎn)作兩條直線分別平行于兩條異面直線，這兩條相交直線所成的銳角或直角即為異面直線所成的角。其范圍是(0°,90°]（注意：若方向向量夾角為鈍角，需取補(bǔ)角）。3.常用計(jì)算方法方法適用場景步驟**平移法**幾何體結(jié)構(gòu)簡單，易找平行線①平移一條或兩條直線，使其相交；②計(jì)算相交直線的夾角；③取銳角/直角。**向量法**坐標(biāo)易建立，計(jì)算量不大①建立空間直角坐標(biāo)系；②求兩條直線的方向向量；③用向量夾角公式計(jì)算。**補(bǔ)形法**幾何體不完整，補(bǔ)后更易處理①將幾何體補(bǔ)成熟悉形狀（如正方體、長方體）；②利用補(bǔ)后幾何體找平行線。三、專題訓(xùn)練題（一）平移法類（基礎(chǔ)型）例1如圖，在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求異面直線\(AB\)與\(A_1C_1\)所成的角。解答步驟1：判斷異面性：\(AB\)在底面\(ABCD\)，\(A_1C_1\)在頂面\(A_1B_1C_1D_1\)，不平行也不相交，故為異面直線。步驟2：平移直線：由于\(A_1C_1\parallelAC\)（正方體頂面與底面的對角線平行），因此\(AB\)與\(A_1C_1\)的夾角等于\(AB\)與\(AC\)的夾角。步驟3：計(jì)算夾角：在\(\triangleABC\)中，\(AB=BC\)，\(\angleABC=90^\circ\)，故\(\angleBAC=45^\circ\)。結(jié)論：異面直線\(AB\)與\(A_1C_1\)所成角為\(45^\circ\)。例2長方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(BC=1\)，\(AA_1=3\)，求異面直線\(A_1B\)與\(AD_1\)所成的角。解答步驟1：平移直線：連接\(D_1C\)，由長方體性質(zhì)知\(A_1B\parallelD_1C\)（對面的面對角線平行），因此\(A_1B\)與\(AD_1\)的夾角等于\(D_1C\)與\(AD_1\)的夾角。步驟2：計(jì)算邊長：\(AD_1=\sqrt{AD^2+AA_1^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)；\(D_1C=\sqrt{DC^2+DD_1^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)；\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)。步驟3：余弦定理：在\(\triangleAD_1C\)中，\(\cos\theta=\frac{AD_1^2+D_1C^2-AC^2}{2\cdotAD_1\cdotD_1C}=\frac{10+13-5}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{13}}=\frac{18}{2\sqrt{130}}=\frac{9\sqrt{130}}{130}\)。結(jié)論：異面直線\(A_1B\)與\(AD_1\)所成角為\(\arccos\left(\frac{9\sqrt{130}}{130}\right)\)。（二）向量法類（通用型）例3三棱錐\(S-ABC\)中，\(SA=SB=SC=2\)，\(AB=BC=CA=2\)，求異面直線\(SA\)與\(BC\)所成的角。解答步驟1：建立坐標(biāo)系：將底面\(\triangleABC\)置于\(xOy\)平面，取\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(1,\sqrt{3},0)\)；設(shè)\(S(x,y,h)\)，由\(SA=SB=SC=2\)得：\[\begin{cases}x^2+y^2+h^2=4,\\(x-2)^2+y^2+h^2=4,\\(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2+h^2=4.\end{cases}\]解得\(x=1\)，\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(h=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)，故\(S(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})\)。步驟2：求方向向量：\(\overrightarrow{SA}=A-S=(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{6}}{3})\)；\(\overrightarrow{BC}=C-B=(-1,\sqrt{3},0)\)。步驟3：計(jì)算向量夾角：\[\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{SA}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=\frac{|(-1)(-1)+(-\frac{\sqrt{3}}{3})(\sqrt{3})+(-\frac{2\sqrt{6}}{3})(0)|}{2\cdot2}=\frac{|1-1+0|}{4}=0.\]結(jié)論：異面直線\(SA\)與\(BC\)所成角為\(90^\circ\)（垂直）。例4正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)邊長為1，求異面直線\(A_1B\)與\(AD_1\)所成的角。解答步驟1：建立坐標(biāo)系：取\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(D(0,1,0)\)，\(A_1(0,0,1)\)，則\(D_1(0,1,1)\)。步驟2：求方向向量：\(\overrightarrow{A_1B}=B-A_1=(1,0,-1)\)；\(\overrightarrow{AD_1}=D_1-A=(0,1,1)\)。步驟3：計(jì)算向量夾角：\[\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AD_1}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{AD_1}|}=\frac{|1\cdot0+0\cdot1+(-1)\cdot1|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{2}.\]結(jié)論：異面直線\(A_1B\)與\(AD_1\)所成角為\(60^\circ\)。（三）補(bǔ)形法類（技巧型）例5四面體\(A-BCD\)中，\(AB\perpAC\)，\(AB\perpAD\)，\(AC\perpAD\)，且\(AB=1\)，\(AC=2\)，\(AD=3\)，求異面直線\(BC\)與\(BD\)所成的角。解答步驟1：補(bǔ)形：將四面體補(bǔ)成長方體（以\(AB,AC,AD\)為長寬高），則\(BC\)與\(BD\)分別為長方體的面對角線。步驟2：找平行線：在長方體中，\(BC\parallelA_1D_1\)（\(A_1\)為\(AD\)延長線的端點(diǎn)），因此\(BC\)與\(BD\)的夾角等于\(A_1D_1\)與\(BD\)的夾角。步驟3：計(jì)算邊長：\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)；\(A_1D_1=BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)；\(BD_1=\sqrt{AB^2+AC^2+AD^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\)（長方體對角線）。步驟4：余弦定理：在\(\triangleBD_1D\)中，\(\cos\theta=\frac{BD^2+A_1D_1^2-BD_1^2}{2\cdotBD\cdotA_1D_1}=\frac{10+5-14}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}}=\frac{1}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{20}\)。結(jié)論：異面直線\(BC\)與\(BD\)所成角為\(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{20}\right)\)。（四）綜合類（提升型）例6直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=1\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(AA_1=2\)，求異面直線\(A_1B\)與\(AC_1\)所成的角。解答方法1：向量法①建立坐標(biāo)系：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(A_1(0,0,2)\)，\(C_1(0,1,2)\)。②方向向量：\(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-2)\)，\(\overrightarrow{AC_1}=(0,1,2)\)。③計(jì)算夾角：\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC_1}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{|0+0-4|}{\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{1+4}}=\frac{4}{5}\)。方法2：平移法①連接\(A_1C\)，取\(A_1C\)中點(diǎn)\(M\)，連接\(BM\)、\(C_1M\)。②由中位線定理，\(C_1M\parallelAC\)且\(C_1M=\frac{1}{2}AC\)，\(BM\parallelA_1B\)且\(BM=\frac{1}{2}A_1B\)？不，更直接的是：\(AC_1\parallelA_1C_1\)（直三棱柱側(cè)棱平行且相等），因此\(A_1B\)與\(AC_1\)的夾角等于\(A_1B\)與\(A_1C_1\)的夾角，在\(\triangleA_1BC_1\)中計(jì)算（過程略）。結(jié)論：異面直線\(A_1B\)與\(AC_1\)所成角為\(\arccos\left(\frac{4}{5}\right)\)。四、解題技巧與注意事項(xiàng)1.異面直線判斷：若兩條直線不平行且不相交，則為異面直線（可通過“過一條直線作平面，看另一條直線是否在平面內(nèi)”判斷）。2.方法選擇優(yōu)先級：若幾何體為正方體、長方體等規(guī)則圖形，優(yōu)先用平移法（直觀且計(jì)算量?。蝗魩缀误w為三棱錐、三棱柱等，且坐標(biāo)易建立，優(yōu)先用向量法（通用且無需空間想象）；若幾何體不完整（如四面體），優(yōu)先用補(bǔ)形法（將問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體）。3.夾角范圍修正：向量法得到的方向向量夾角可能為鈍角，需取銳角或直角（即取余弦值的絕對值）。4.計(jì)算準(zhǔn)確性：平移法中需確保平移后的直線共面且相交；向量法中需正確建立坐標(biāo)系（通常取垂直于底面的側(cè)棱為\(z\)軸）。五