拋物線相關(guān)典型習(xí)題及解題方法一、拋物線的基本概念與標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線是平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與定直線（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡，其離心率\(e=1\)。理解定義是解決拋物線問(wèn)題的核心，而標(biāo)準(zhǔn)方程是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。（一）定義設(shè)定點(diǎn)\(F\)（焦點(diǎn)）與定直線\(l\)（準(zhǔn)線）的距離為\(p\)（\(p>0\)，稱為拋物線的參數(shù)），則拋物線上任意一點(diǎn)\(P(x,y)\)滿足：\[|PF|=d(P,l)\]其中\(zhòng)(d(P,l)\)是點(diǎn)\(P\)到直線\(l\)的距離。（二）標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的位置關(guān)系，拋物線有四種標(biāo)準(zhǔn)形式（見表1）：開口方向標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程對(duì)稱軸向右（x軸正方向）\(y^2=2px\)\(\left(\frac{p}{2},0\right)\)\(x=-\frac{p}{2}\)x軸向左（x軸負(fù)方向）\(y^2=-2px\)\(\left(-\frac{p}{2},0\right)\)\(x=\frac{p}{2}\)x軸向上（y軸正方向）\(x^2=2py\)\(\left(0,\frac{p}{2}\right)\)\(y=-\frac{p}{2}\)y軸向下（y軸負(fù)方向）\(x^2=-2py\)\(\left(0,-\frac{p}{2}\right)\)\(y=\frac{p}{2}\)y軸注：參數(shù)\(p\)表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，恒為正數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)方程中，一次項(xiàng)的變量對(duì)應(yīng)開口方向，系數(shù)符號(hào)決定開口方向（正向右/上，負(fù)向左/下）。二、典型習(xí)題類型及解題方法（一）定義的應(yīng)用：軌跡與最值問(wèn)題核心思想：利用定義將“到焦點(diǎn)的距離”轉(zhuǎn)化為“到準(zhǔn)線的距離”，簡(jiǎn)化計(jì)算。1.求軌跡方程例1：已知點(diǎn)\(F(3,0)\)，直線\(l:x=-3\)，求到點(diǎn)\(F\)與直線\(l\)距離相等的點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)\(P(x,y)\)，由定義得：\[\sqrt{(x-3)^2+y^2}=|x+3|\]平方化簡(jiǎn)得：\(y^2=12x\)（開口向右的拋物線）。方法總結(jié)：直接應(yīng)用定義，避免復(fù)雜的坐標(biāo)運(yùn)算；注意軌跡的純粹性與完備性。2.最值問(wèn)題例2：已知拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，點(diǎn)\(A(5,3)\)，求拋物線上一點(diǎn)\(P\)，使得\(|PA|+|PF|\)最小，并求最小值。分析：由定義，\(|PF|=d(P,l)\)（\(l\)為準(zhǔn)線，\(x=-1\)），故\(|PA|+|PF|=|PA|+d(P,l)\)。解：過(guò)\(A\)作準(zhǔn)線\(l\)的垂線，交拋物線于\(P\)，此時(shí)三點(diǎn)共線，最小值為\(A\)到準(zhǔn)線的距離：\[d(A,l)=5-(-1)=6\]垂足橫坐標(biāo)為\(x=-1\)，代入拋物線方程得\(y^2=-4\)（舍去）？不，垂足坐標(biāo)應(yīng)為\((x,3)\)，代入\(y^2=4x\)得\(x=\frac{9}{4}\)，故\(P\left(\frac{9}{4},3\right)\)，最小值為\(5-(-1)=6\)？等一下，\(A(5,3)\)到準(zhǔn)線\(x=-1\)的距離是\(5-(-1)=6\)，對(duì)，此時(shí)\(P\)是垂線與拋物線的交點(diǎn)，正確。方法總結(jié)：將“焦點(diǎn)距離”轉(zhuǎn)化為“準(zhǔn)線距離”，利用“垂線段最短”求最值；若點(diǎn)在拋物線內(nèi)，最小值為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；若點(diǎn)在拋物線外，最小值為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離（直接連接）。（二）標(biāo)準(zhǔn)方程的求解核心：確定開口方向，設(shè)對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程，代入條件求參數(shù)\(p\)。1.已知焦點(diǎn)或準(zhǔn)線例3：已知拋物線焦點(diǎn)為\(F(0,2)\)，求標(biāo)準(zhǔn)方程。解：焦點(diǎn)在\(y\)軸正方向，設(shè)方程為\(x^2=2py\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(0,\frac{p}{2}\right)=(0,2)\)，故\(p=4\)，方程為\(x^2=8y\)。2.已知拋物線上的點(diǎn)例4：已知拋物線過(guò)點(diǎn)\((2,-4)\)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：需考慮四種開口方向，逐一驗(yàn)證。解：若開口向右（\(y^2=2px\)）：代入得\((-4)^2=2p\cdot2\Rightarrowp=4\)，方程為\(y^2=8x\)；若開口向下（\(x^2=-2py\)）：代入得\(2^2=-2p\cdot(-4)\Rightarrowp=\frac{1}{2}\)，方程為\(x^2=-y\)；開口向左或向上時(shí)，代入點(diǎn)不滿足（如開口向左：\(y^2=-2px\)，得\(16=-4p\Rightarrowp=-4\)，舍去）。故標(biāo)準(zhǔn)方程為\(y^2=8x\)或\(x^2=-y\)。方法總結(jié)：待定系數(shù)法，先定開口方向（根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)或焦點(diǎn)位置），再求參數(shù)；注意多解情況（如例4）。（三）幾何性質(zhì)的應(yīng)用核心：熟練掌握拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題。1.求焦點(diǎn)與準(zhǔn)線例5：求拋物線\(3x^2+4y=0\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程。解：整理方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：\(x^2=-\frac{4}{3}y\)，故開口向下，\(2p=\frac{4}{3}\Rightarrowp=\frac{2}{3}\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(0,-\frac{p}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{3}\right)\)，準(zhǔn)線方程為\(y=\frac{p}{2}=\frac{1}{3}\)。方法總結(jié)：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定開口方向與\(p\)，再求焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；注意符號(hào)（如開口向下，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸）。2.對(duì)稱性問(wèn)題例6：已知拋物線\(y^2=2px\)上兩點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)關(guān)于直線\(y=x+1\)對(duì)稱，求\(p\)的取值范圍。分析：對(duì)稱點(diǎn)滿足兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直（斜率乘積為-1），且中點(diǎn)在對(duì)稱軸上。解：設(shè)\(AB\)中點(diǎn)為\(M(x_0,y_0)\)，則：\(k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-1\)（與\(y=x+1\)垂直）；\(y_0=x_0+1\)（中點(diǎn)在對(duì)稱軸上）。由拋物線方程，\(y_1^2=2px_1\)，\(y_2^2=2px_2\)，相減得：\[(y_2-y_1)(y_2+y_1)=2p(x_2-x_1)\]即\(k_{AB}\cdot2y_0=2p\Rightarrow-1\cdot2y_0=2p\Rightarrowy_0=-p\)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)得\(x_0=y_0-1=-p-1\)。中點(diǎn)\(M\)必須在拋物線內(nèi)部（因?yàn)閈(A、B\)在拋物線上，對(duì)稱中點(diǎn)在內(nèi)部），對(duì)于\(y^2=2px\)（開口向右，\(p>0\)），內(nèi)部點(diǎn)滿足\(y^2<2px\)，故：\[y_0^2<2px_0\Rightarrow(-p)^2<2p(-p-1)\]化簡(jiǎn)得：\(p^2+2p^2+2p<0\Rightarrow3p^2+2p<0\Rightarrowp(3p+2)<0\)，結(jié)合\(p>0\)，得\(-\frac{2}{3}<p<0\)？不對(duì)，開口向右時(shí)\(p>0\)，但此處結(jié)果矛盾，說(shuō)明哪里錯(cuò)了？哦，中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的條件：對(duì)于\(y^2=2px\)（\(p>0\)），內(nèi)部點(diǎn)滿足\(y^2<2px\)，代入\(x_0=-p-1\)（\(<0\)），\(2px_0<0\)，而\(y_0^2=p^2>0\)，故\(y_0^2>2px_0\)，說(shuō)明中點(diǎn)在拋物線外部？可能我的對(duì)稱條件應(yīng)用有誤，再試：設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，對(duì)稱則\(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-1\)，且\(\frac{x_1+x_2}{2}+1=\frac{y_1+y_2}{2}\)（中點(diǎn)在對(duì)稱軸上）。聯(lián)立拋物線方程，\(y_1^2=2px_1\)，\(y_2^2=2px_2\)，相減得\((y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2)\)，即\(-(y_1+y_2)=2p\)（因?yàn)閈(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-1\)），故\(y_1+y_2=-2p\)，中點(diǎn)縱坐標(biāo)\(y_0=-p\)，橫坐標(biāo)\(x_0=y_0-1=-p-1\)。因?yàn)閈(A、B\)在拋物線上，所以方程\(y^2=2p(x)\)與直線\(AB\)（斜率為-1，過(guò)中點(diǎn)\(M(x_0,y_0)\)）有兩個(gè)不同實(shí)根，直線\(AB\)方程為\(y-(-p)=-1(x-(-p-1))\)，即\(y=-x-1\)。聯(lián)立拋物線方程得：\[(-x-1)^2=2px\Rightarrowx^2+2x+1=2px\Rightarrowx^2+(2-2p)x+1=0\]判別式\(\Delta=(2-2p)^2-4\times1\times1=4p^2-8p>0\Rightarrowp^2-2p>0\Rightarrowp<0\)或\(p>2\)。因?yàn)閽佄锞€\(y^2=2px\)存在，故\(p\neq0\)，結(jié)合開口方向，若\(p>2\)，開口向右；若\(p<0\)，開口向左（此時(shí)\(y^2=2px\)中\(zhòng)(p<0\)，標(biāo)準(zhǔn)方程為\(y^2=-2|p|x\)）。方法總結(jié)：對(duì)稱問(wèn)題需滿足兩個(gè)條件（垂直、中點(diǎn)在對(duì)稱軸上），結(jié)合聯(lián)立方程的判別式求參數(shù)范圍；注意拋物線內(nèi)部點(diǎn)的判斷（如\(y^2=2px\)，\(p>0\)時(shí)，內(nèi)部點(diǎn)滿足\(y^2<2px\)）。（四）焦點(diǎn)弦問(wèn)題核心：焦點(diǎn)弦是過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線的交線，是拋物線的重要性質(zhì)，需掌握長(zhǎng)度公式、中點(diǎn)坐標(biāo)、性質(zhì)（如直徑圓與準(zhǔn)線相切）。1.焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度公式設(shè)拋物線\(y^2=2px\)（\(p>0\)），焦點(diǎn)為\(F\)，焦點(diǎn)弦\(AB\)的傾斜角為\(\theta\)，則：長(zhǎng)度公式1：\(|AB|=x_1+x_2+p\)（由定義，\(|AF|=x_1+\frac{p}{2}\)，\(|BF|=x_2+\frac{p}{2}\)，故和為\(x_1+x_2+p\)）；長(zhǎng)度公式2：\(|AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta}\)（由直線參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程推導(dǎo)）。例7：已知拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，過(guò)\(F\)作傾斜角為\(60^\circ\)的直線，交拋物線于\(A、B\)兩點(diǎn)，求\(|AB|\)。解：方法1（用公式1）：焦點(diǎn)\(F(2,0)\)，直線方程為\(y=\tan60^\circ(x-2)=\sqrt{3}(x-2)\)，聯(lián)立拋物線方程：\[[\sqrt{3}(x-2)]^2=8x\Rightarrow3(x^2-4x+4)=8x\Rightarrow3x^2-20x+12=0\]由韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=\frac{20}{3}\)，故\(|AB|=\frac{20}{3}+4=\frac{32}{3}\)（因?yàn)閈(p=4\)，\(y^2=8x=2\times4x\)）。方法2（用公式2）：\(p=4\)，\(\theta=60^\circ\)，故\(|AB|=\frac{2\times4}{\sin^260^\circ}=\frac{8}{\frac{3}{4}}=\frac{32}{3}\)，結(jié)果一致。方法總結(jié)：優(yōu)先選擇公式2（若已知傾斜角），計(jì)算更快捷；公式1需聯(lián)立方程求韋達(dá)定理，適用于未知傾斜角的情況。2.焦點(diǎn)弦中點(diǎn)坐標(biāo)例8：求例7中焦點(diǎn)弦\(AB\)的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：由韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=\frac{20}{3}\)，故中點(diǎn)橫坐標(biāo)\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{10}{3}\)，縱坐標(biāo)\(y_0=\sqrt{3}(x_0-2)=\sqrt{3}(\frac{10}{3}-2)=\sqrt{3}\times\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，故中點(diǎn)為\(\left(\frac{10}{3},\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\)。方法總結(jié)：中點(diǎn)坐標(biāo)由韋達(dá)定理直接求得，無(wú)需單獨(dú)求兩點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于\(y^2=2px\)，焦點(diǎn)弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為\(\frac{x_1+x_2}{2}\)，縱坐標(biāo)由直線方程求得。3.焦點(diǎn)弦性質(zhì)例9：證明：以拋物線\(y^2=2px\)的焦點(diǎn)弦\(AB\)為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。證明：設(shè)\(AB\)中點(diǎn)為\(M(x_0,y_0)\)，則圓的半徑為\(\frac{1}{2}|AB|\)。由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度公式1，\(|AB|=x_1+x_2+p\)，故半徑為\(\frac{x_1+x_2+p}{2}\)。中點(diǎn)\(M\)到準(zhǔn)線\(x=-\frac{p}{2}\)的距離為\(x_0+\frac{p}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{p}{2}=\frac{x_1+x_2+p}{2}\)，等于半徑，故圓與準(zhǔn)線相切。方法總結(jié)：利用定義與中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合幾何性質(zhì)（半徑等于圓心到直線的距離）證明；此性質(zhì)可快速判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系。（五）切線問(wèn)題核心：切線是拋物線的重要切線，需掌握切線方程的求法（點(diǎn)斜式、判別式法）、切線性質(zhì)（如切點(diǎn)弦方程）。1.過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線方程設(shè)拋物線\(y^2=2px\)上一點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)，則切線方程為：\[y_0y=p(x+x_0)\]（記憶方法：將\(y^2\)換為\(y_0y\)，\(x\)換為\(\frac{x+x_0}{2}\)，即\(y_0y=2p\cdot\frac{x+x_0}{2}=p(x+x_0)\)）。例10：求拋物線\(y^2=6x\)在點(diǎn)\(P(2,-2\sqrt{3})\)處的切線方程。解：由公式，\(p=3\)，\(x_0=2\)，\(y_0=-2\sqrt{3}\)，故切線方程為：\[-2\sqrt{3}y=3(x+2)\]整理得：\(3x+2\sqrt{3}y+6=0\)。方法總結(jié)：直接應(yīng)用切線公式，避免求導(dǎo)或判別式法；注意公式的正確性（如\(x^2=2py\)的切線方程為\(x_0x=p(y+y_0)\)）。2.過(guò)拋物線外一點(diǎn)的切線方程例11：求過(guò)點(diǎn)\(A(0,2)\)且與拋物線\(y^2=4x\)相切的直線方程。分析：設(shè)直線方程為\(y=kx+2\)（斜率存在），聯(lián)立拋物線方程，判別式等于零。解：聯(lián)立\(y=kx+2\)與\(y^2=4x\)得：\[(kx+2)^2=4x\Rightarrowk^2x^2+(4k-4)x+4=0\]判別式\(\Delta=(4k-4)^2-4\timesk^2\times4=16k^2-32k+16-16k^2=-32k+16=0\)，解得\(k=\frac{1}{2}\)，故直線方程為\(y=\frac{1}{2}x+2\)。驗(yàn)證：當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線為\(x=0\)，與拋物線\(y^2=4x\)交于\((0,0)\)，但\(x=0\)與拋物線相切嗎？代入得\(y^2=0\)，有一個(gè)解，故\(x=0\)也是切線方程！哦，剛才漏掉了斜率不存在的情況，需補(bǔ)充：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為\(x=0\)，代入拋物線得\(y^2=0\)，即切點(diǎn)為\((0,0)\)，故\(x=0\)也是切線方程。方法總結(jié)：過(guò)拋物線外一點(diǎn)的切線有兩條，需考慮斜率存在與不存在兩種情況；用判別式法時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)為零（即斜率不存在），需單獨(dú)驗(yàn)證。（六）綜合應(yīng)用：直線與拋物線的位置關(guān)系核心：聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理、判別式、弦長(zhǎng)公式解決問(wèn)題（如弦長(zhǎng)、中點(diǎn)軌跡、面積）。例12：已知直線\(y=kx+1\)與拋物線\(y^2=4x\)交于\(A、B\)兩點(diǎn)，求：（1）\(k\)的取值范圍；（2）弦\(AB\)的中點(diǎn)軌跡方程；（3）\(\triangleAOB\)的面積（\(O\)為原點(diǎn)）。解：（1）聯(lián)立方程得：\[(kx+1)^2=4x\Rightarrowk^2x^2+(2k-4)x+1=0\]當(dāng)\(k=0\)時(shí)，方程為\(-4x+1=0\)，有一個(gè)解（直線與拋物線交于一點(diǎn)，此時(shí)直線為\(y=1\)，與拋物線交于\((\frac{1}{4},1)\)，但不是切線，因?yàn)榕袆e式當(dāng)\(k=0\)時(shí)不是二次方程）；當(dāng)\(k\neq0\)時(shí)，判別式\(\Delta=(2k-4)^2-4k^2\times1=4k^2-16k+16-4k^2=-16k+16>0\Rightarrowk<1\)。故\(k\)的取值范圍為\(k<1\)且\(k\neq0\)？不，當(dāng)\(k=0\)時(shí)，直線\(y=1\)與拋物線交于一點(diǎn)，是相交（不是相切），故\(k=0\)時(shí)也滿足相交，所以取值范圍是\(k<1\)。（2）設(shè)\(AB\)中點(diǎn)為\(M(x,y)\)，由韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=-\frac{2k-4}{k^2}=\frac{4-2k}{k^2}\)，故\(x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2-k}{k^2}\)，\(y=kx+1=k\cdot\frac{2-k}{k^2}+1=\frac{2-k}{k}+1=\frac{2}{k}\)。消去\(k\)，由\(y=\frac{2}{k}\Rightarrowk=\frac{2}{y}\)，代入\(x=\frac{2-k}{k^2}\)得：\[x=\frac{2-\frac{2}{y}}{(\frac{2}{y})^2}=\frac{\frac{2(y-1)}{y}}{\frac{4}{y^2}}=\frac{2(y-1)}{y}\cdot\frac{y^2}{4}=\frac{y(y-1)}{2}\]整理得：\(y^2-y-2x=0\)（中點(diǎn)軌跡為拋物線）。（3）\(\triangleAOB\)的面積可由弦長(zhǎng)與原點(diǎn)到直線的距離計(jì)算：\[S=\frac{1}{2}\times|AB|\timesd(O,l)\]其中\(zhòng)(d(O,l)=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{|k^2|}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{-16k+16}}{k^2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{1-k}}{k^2}\)（當(dāng)\(k<1\)且\(k\neq0\)）。故\(S=\frac{1}{2}\times\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{1-k}}{k^2}\times\frac{1}{\sq