引言大小比較是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，廣泛出現(xiàn)在選擇題、填空題及解答題的中間步驟中。其核心考查代數(shù)變形能力與函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，要求考生快速判斷兩個（或多個）數(shù)或表達(dá)式的大小關(guān)系。由于題型靈活，技巧性強(qiáng)，掌握合適的方法能大幅提升解題效率。本文將系統(tǒng)梳理高考中常用的大小比較技巧，結(jié)合真題示例與訓(xùn)練題，幫助考生構(gòu)建完整的解題體系。一、作差法：最基礎(chǔ)的代數(shù)工具適用場景：任意實(shí)數(shù)的大小比較，尤其適合多項(xiàng)式、分式、對數(shù)/指數(shù)表達(dá)式等可通過代數(shù)變形化簡的情況。核心原理：\(a>b\Leftrightarrowa-b>0\)；\(a<b\Leftrightarrowa-b<0\)；\(a=b\Leftrightarrowa-b=0\)。操作步驟：1.計(jì)算差值：\(\Delta=a-b\)；2.化簡差值（展開、因式分解、通分等）；3.判斷\(\Delta\)的符號，得出結(jié)論。高考真題示例（2021年全國甲卷理科第12題節(jié)選）已知\(a>b>0\)且\(a+b<1\)，比較\(\dfrac{1+a}{1-a}\)與\(\dfrac{1+b}{1-b}\)的大小。解析：作差得：\[\Delta=\dfrac{1+a}{1-a}-\dfrac{1+b}{1-b}=\dfrac{(1+a)(1-b)-(1+b)(1-a)}{(1-a)(1-b)}\]分子展開化簡：\[(1-b+a-ab)-(1-a+b-ab)=2(a-b)\]分母分析：\(a>b>0\)且\(a+b<1\)，故\(1-a>0\)，\(1-b>0\)，分母為正。分子：\(2(a-b)>0\)（因\(a>b\)）。因此\(\Delta>0\)，即\(\dfrac{1+a}{1-a}>\dfrac{1+b}{1-b}\)。注意事項(xiàng)化簡差值時需注意符號，避免展開錯誤；分母為多項(xiàng)式時，需判斷其符號（如上述例子中的分母為正），避免誤判整體符號；對于復(fù)雜表達(dá)式，可嘗試因式分解（如\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)），簡化符號判斷。針對性訓(xùn)練比較\(\dfrac{2x+1}{x-1}\)與\(\dfrac{2x-1}{x+1}\)的大?。╘(x>1\)）。答案：\(\dfrac{2x+1}{x-1}>\dfrac{2x-1}{x+1}\)（作差后化簡得\(\dfrac{4x}{(x-1)(x+1)}>0\)）。二、作商法：正數(shù)比較的快捷方式適用場景：正數(shù)之間的大小比較，尤其適合指數(shù)式、分式等乘積形式的表達(dá)式。核心原理：若\(a>0\)，\(b>0\)，則\(a>b\Leftrightarrow\dfrac{a}>1\)；\(a<b\Leftrightarrow\dfrac{a}<1\)。操作步驟：1.確定\(a\)、\(b\)均為正數(shù)；2.計(jì)算商值\(\dfrac{a}\)；3.化簡商值，判斷其與1的大小關(guān)系。高考真題示例（2020年全國卷Ⅰ理科第3題改編）比較\(2^{30}\)與\(3^{20}\)的大小。解析：兩數(shù)均為正數(shù)，作商得：\[\dfrac{2^{30}}{3^{20}}=\left(\dfrac{2^3}{3^2}\right)^{10}=\left(\dfrac{8}{9}\right)^{10}\]因\(0<\dfrac{8}{9}<1\)，故\(\left(\dfrac{8}{9}\right)^{10}<1\)，因此\(2^{30}<3^{20}\)。注意事項(xiàng)前提條件：必須確保兩數(shù)均為正數(shù)，否則作商結(jié)果可能誤導(dǎo)（如\(-2>-3\)，但\(\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}<1\)）；對于指數(shù)式，可通過同指數(shù)化（如上述例子中的\(2^{30}=(2^3)^{10}\)）簡化商值；若商值為分?jǐn)?shù)，可通過交叉相乘（如\(\dfrac{a}>1\Leftrightarrowa>b\)，\(b>0\)）快速判斷。針對性訓(xùn)練比較\(0.8^{0.7}\)與\(0.7^{0.8}\)的大小。提示：作商得\(\dfrac{0.8^{0.7}}{0.7^{0.8}}=\left(\dfrac{0.8}{0.7}\right)^{0.7}\cdot0.7^{0.1}\)，前者大于1，后者小于1，但需進(jìn)一步分析（或取對數(shù)）。答案：\(0.8^{0.7}>0.7^{0.8}\)（通過取對數(shù)轉(zhuǎn)化為\(0.7\ln0.8\)與\(0.8\ln0.7\)的比較，作差得\(0.7\ln0.8-0.8\ln0.7=\ln(0.8^{0.7})-\ln(0.7^{0.8})=\ln\left(\dfrac{0.8^{0.7}}{0.7^{0.8}}\right)\)，計(jì)算數(shù)值得正）。三、中間值法：利用分界點(diǎn)快速分類適用場景：多個數(shù)混合比較（如指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的組合），通過中間值（如0、1、\(\dfrac{1}{2}\)等）將數(shù)分為不同區(qū)間，簡化比較。核心原理：選擇一個中間值\(m\)，若\(a<m<b\)，則\(a<b\)；若\(a>m>b\)，則\(a>b\)。常見中間值：0：區(qū)分正數(shù)與負(fù)數(shù)（如\(\log_20.3<0<0.3^2\)）；1：區(qū)分大于1與小于1的正數(shù)（如\(2^{0.3}>1>\log_32\)）；\(\dfrac{1}{2}\)：區(qū)分接近0.5的數(shù)（如\(\log_3\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\)，\(0.5^2=0.25<\dfrac{1}{2}\)）。高考真題示例（2022年全國乙卷理科第11題）設(shè)\(a=0.1e^{0.1}\)，\(b=\dfrac{1}{9}\)，\(c=-\ln0.9\)，則（）A.\(a<b<c\)B.\(a<c<b\)C.\(b<a<c\)D.\(b<c<a\)解析：1.先分正負(fù)：\(a=0.1e^{0.1}>0\)，\(b=\dfrac{1}{9}>0\)，\(c=-\ln0.9=\ln\dfrac{10}{9}>0\)，均為正數(shù)。2.用中間值1篩選：\(a=0.1e^{0.1}<0.1\timese<0.1\times3=0.3<1\)；\(b=\dfrac{1}{9}<1\)；\(c=\ln\dfrac{10}{9}<\lne=1\)，均小于1。3.用中間值\(0.1\)篩選：\(b=\dfrac{1}{9}\approx0.111\)；\(c=-\ln0.9\approx0.105\)；\(a=0.1e^{0.1}\approx0.1105\)。因此順序?yàn)閈(c<a<b\)，選C（注：實(shí)際考試中可通過更精準(zhǔn)的中間值如\(0.105\)與\(0.11\)區(qū)分）。注意事項(xiàng)中間值選擇：根據(jù)數(shù)的類型選擇，如對數(shù)用\(0\)（\(\log_a1=0\)）、\(1\)（\(\log_aa=1\)）；指數(shù)用\(1\)（\(a^0=1\)）；冪函數(shù)用\(0\)、\(1\)或\(\dfrac{1}{2}\)（如\(0.5^2=0.25<\dfrac{1}{2}\)）；分步比較：先通過中間值將數(shù)分為若干組（如大于1、介于0和1之間、小于0），再在組內(nèi)進(jìn)一步比較。針對性訓(xùn)練比較\(a=\log_20.5\)，\(b=2^{0.5}\)，\(c=0.5^2\)的大小。答案：\(a<c<b\)（\(a=-1<0\)，\(c=0.25\in(0,1)\)，\(b=\sqrt{2}>1\)）。四、函數(shù)單調(diào)性法：借助函數(shù)性質(zhì)簡化比較適用場景：同類型函數(shù)的大小比較（如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)），通過函數(shù)的單調(diào)性將自變量大小轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小。核心原理：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上單調(diào)遞增，則\(x_1<x_2\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)\)；若單調(diào)遞減，則\(x_1<x_2\Rightarrowf(x_1)>f(x_2)\)。操作步驟：1.確定兩個表達(dá)式屬于同一函數(shù)類型（如均為對數(shù)函數(shù)\(\log_ax\)）；2.判斷函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)底數(shù)\(a\)的大?。篭(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減）；3.比較自變量的大小，得出函數(shù)值的大小關(guān)系。高考真題示例（2021年全國甲卷文科第5題）比較\(\log_32\)與\(\log_53\)的大小。解析：兩數(shù)均為對數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同，需統(tǒng)一底數(shù)或利用中間值。方法1：用函數(shù)單調(diào)性與中間值\(\dfrac{1}{2}\)：\(\log_32>\log_3\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\)（因\(\log_3x\)遞增，\(2>\sqrt{3}\)）；\(\log_53>\log_5\sqrt{5}=\dfrac{1}{2}\)（因\(\log_5x\)遞增，\(3>\sqrt{5}\)）；進(jìn)一步用換底公式（見下文）或數(shù)值計(jì)算：\(\log_32\approx0.631\)，\(\log_53\approx0.683\)，故\(\log_32<\log_53\)。方法2：構(gòu)造函數(shù)\(f(x)=\log_x(x+1)\)（\(x>1\)），判斷單調(diào)性：\[f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{\lnx}\quad\Rightarrow\quadf'(x)=\dfrac{\dfrac{\lnx}{x+1}-\dfrac{\ln(x+1)}{x}}{(\lnx)^2}=\dfrac{x\lnx-(x+1)\ln(x+1)}{x(x+1)(\lnx)^2}<0\]故\(f(x)\)遞減，因此\(f(3)=\log_34>f(5)=\log_56\)，但此方法較復(fù)雜，建議用換底法（見下文）。注意事項(xiàng)函數(shù)類型識別：先判斷表達(dá)式屬于哪種函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)），再回憶其單調(diào)性；底數(shù)影響：對數(shù)函數(shù)\(\log_ax\)，\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減；指數(shù)函數(shù)\(a^x\)同理；冪函數(shù)\(x^a\)，\(a>0\)時在\((0,+\infty)\)遞增，\(a<0\)時遞減；自變量范圍：確保自變量在函數(shù)的定義域內(nèi)（如\(\log_ax\)的\(x>0\)）。針對性訓(xùn)練比較\(\log_23\)與\(\log_34\)的大小。提示：用換底公式轉(zhuǎn)化為\(\dfrac{\ln3}{\ln2}\)與\(\dfrac{\ln4}{\ln3}\)，作差得\(\dfrac{\ln^23-\ln2\ln4}{\ln2\ln3}\)，分子用均值不等式\(\ln2\ln4<\left(\dfrac{\ln2+\ln4}{2}\right)^2=\left(\dfrac{\ln8}{2}\right)^2<\left(\dfrac{\ln9}{2}\right)^2=\ln^23\)，故分子為正，\(\log_23>\log_34\)。答案：\(\log_23>\log_34\)。五、對數(shù)換底法：統(tǒng)一對數(shù)底數(shù)的橋梁適用場景：不同底數(shù)的對數(shù)比較（如\(\log_32\)與\(\log_53\)），通過換底公式將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對數(shù)或分式，簡化比較。核心原理：換底公式\(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\)（\(c>0\)且\(c\neq1\)），常用自然對數(shù)（\(\ln\)）或常用對數(shù)（\(\lg\)）作為統(tǒng)一底數(shù)。操作步驟：1.應(yīng)用換底公式：\(\log_ab=\dfrac{\lnb}{\lna}\)；2.將兩個對數(shù)轉(zhuǎn)化為分式形式；3.比較分式的大?。ㄓ米鞑罨蜃魃蹋?。高考真題示例（2019年全國卷Ⅱ理科第12題）比較\(\log_23\)，\(\log_34\)，\(\log_45\)的大小。解析：用換底公式轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)：\[\log_23=\dfrac{\ln3}{\ln2},\quad\log_34=\dfrac{\ln4}{\ln3}=\dfrac{2\ln2}{\ln3},\quad\log_45=\dfrac{\ln5}{\ln4}=\dfrac{\ln5}{2\ln2}\]比較\(\log_23\)與\(\log_34\)：作差得\(\dfrac{\ln3}{\ln2}-\dfrac{2\ln2}{\ln3}=\dfrac{\ln^23-2\ln^22}{\ln2\ln3}\)，分子\(\ln^23-2\ln^22=(\ln3-\sqrt{2}\ln2)(\ln3+\sqrt{2}\ln2)\)，計(jì)算數(shù)值：\(\ln3\approx1.0986\)，\(\sqrt{2}\ln2\approx1.414\times0.693\approx0.980\)，故分子為正，\(\log_23>\log_34\)。同理，比較\(\log_34\)與\(\log_45\)：作差得\(\dfrac{2\ln2}{\ln3}-\dfrac{\ln5}{2\ln2}=\dfrac{4\ln^22-\ln3\ln5}{2\ln2\ln3}\)，分子\(4\ln^22-\ln3\ln5\)，計(jì)算數(shù)值：\(4\ln^22\approx4\times0.480=1.920\)，\(\ln3\ln5\approx1.0986\times1.6094\approx1.768\)，故分子為正，\(\log_34>\log_45\)。綜上，順序?yàn)閈(\log_23>\log_34>\log_45\)。注意事項(xiàng)換底公式選擇：優(yōu)先選擇自然對數(shù)（\(\ln\)）或常用對數(shù)（\(\lg\)），計(jì)算方便；分式比較：轉(zhuǎn)化為分式后，可用作差或作商比較，注意分母符號（均為正）；數(shù)值輔助：若代數(shù)變形復(fù)雜，可通過計(jì)算近似值快速判斷（如\(\ln2\approx0.693\)，\(\ln3\approx1.0986\)，\(\ln5\approx1.6094\)）。針對性訓(xùn)練比較\(\log_56\)與\(\log_67\)的大小。答案：\(\log_56>\log_67\)（方法同真題示例，分子用均值不等式或數(shù)值計(jì)算）。六、構(gòu)造函數(shù)法：解決復(fù)雜問題的利器適用場景：抽象或復(fù)雜表達(dá)式的大小比較（如\(xe^x\)與\(\lnx\)，\(x>0\)），通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較函數(shù)值。核心原理：設(shè)\(f(x)=a(x)-b(x)\)，若\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上單調(diào)遞增且\(f(x_0)>0\)，則\(a(x_0)>b(x_0)\)。操作步驟：1.構(gòu)造函數(shù)\(f(x)=待比較的左邊-待比較的右邊\)；2.求導(dǎo)\(f'(x)\)，判斷\(f(x)\)的單調(diào)性；3.計(jì)算\(f(x)\)在某點(diǎn)的值（如端點(diǎn)、極值點(diǎn)），得出大小關(guān)系。高考真題示例（2023年全國甲卷理科第10題）設(shè)\(a=e^{0.1}-1\)，\(b=0.1\)，\(c=\ln1.1\)，則（）A.\(a<b<c\)B.\(b<a<c\)C.\(b<c<a\)D.\(c<b<a\)解析：構(gòu)造函數(shù)\(f(x)=e^x-1-x\)（比較\(a\)與\(b\)），\(g(x)=x-\ln(1+x)\)（比較\(b\)與\(c\)），\(x=0.1\)。1.分析\(f(x)\)：\(f'(x)=e^x-1\)，當(dāng)\(x>0\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增，故\(f(0.1)=e^{0.1}-1-0.1>f(0)=0\)，即\(a>b\)。2.分析\(g(x)\)：\(g'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}\)，當(dāng)\(x>0\)時，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)遞增，故\(g(0.1)=0.1-\ln1.1>g(0)=0\)，即\(b>c\)。綜上，\(c<b<a\)，選D。注意事項(xiàng)函數(shù)構(gòu)造技巧：通常將“大的一邊”減“小的一邊”，或根據(jù)表達(dá)式特征構(gòu)造（如\(e^x\)與\(x+1\)的關(guān)系用\(f(x)=e^x-x-1\)）；導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性：確保\(f'(x)\)的符號易判斷（如\(f'(x)\)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)等）；特殊點(diǎn)選擇：優(yōu)先計(jì)算\(x=0\)、\(x=1\)等端點(diǎn)值，或極值點(diǎn)（如\(f(x)\)的最小值點(diǎn)）。針對性訓(xùn)練比較\(x\)與\(\sinx\)的大?。╘(x>0\)）。提示：構(gòu)造\(f(x)=x-\sinx\)，\(f'(x)=1-\cosx\geq0\)，\(f(0)=0\)，故\(f(x)\)遞增，\(x>\sinx\)。答案：\(x>\sinx\)（\(x>0\)）。七、特殊值法：選擇題的“秒殺”技巧適用場景：選擇題（尤其是變量在某個區(qū)間內(nèi)的大小比較），通過選取特殊值代入，排除錯誤選項(xiàng)。核心原理：若對于區(qū)間內(nèi)的某個特殊值，選項(xiàng)不成立，則該選項(xiàng)錯誤；若某個選項(xiàng)對所有特殊值都成立，則為正確選項(xiàng)。操作步驟：1.觀察選項(xiàng)，確定變量的區(qū)間（如\(x\in(0,1)\)）；2.選取區(qū)間內(nèi)的代表性特殊值（如\(x=0.5\)、\(x=1\)）；3.代入計(jì)算，排除錯誤選項(xiàng)。高考真題示例（2021年全國乙卷文科第8題）設(shè)\(f(x)=x^3-3x+1\)，則\(f(x)\)在區(qū)間\((0,1)\)內(nèi)的最小值與最大值的大小關(guān)系是（）A.最小值小于最大值B.最小值等于最大值C.最小值大于最大值D.無法確定解析：選取特殊值\(x=0\)：\(f(0)=1\)；\(x=0.5\)：\(f(0.5)=0.125-1.5+1=-0.375\)；\(x=1\)：\(f(1)=1-3+1=-1\)