2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖二、重點、難點重點：不等式的基本性質(zhì)，等式與不等式的共性與差異.難點：類比等式的基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法，研究不等式的基本性質(zhì)；等式與不等式的共性與差異.三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)了用含有未知數(shù)的等式（方程）表示問題中的相等關(guān)系，為了解方程研究了等式的一些基本性質(zhì)，本節(jié)在初中等式學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，類比等式的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法，展開不等式的研究，首先類比用等式表示相等關(guān)系，用不等式表示問題中的不等關(guān)系；然后在對等式的基本性質(zhì)進行梳理，歸納其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，研究不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明簡單命題，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握不等式的性質(zhì)，提高對等式和不等式的共性與差異的理解，加深對“代數(shù)性質(zhì)”的認識，提高提出問題和解決問題的能力.1.相等關(guān)系與不等關(guān)系教科書從現(xiàn)實世界和日常生活中存在的相等關(guān)系、不等關(guān)系講起，類比用等式表示相等關(guān)系，用問題1的4個例題說明了如何用不等式或不等式組表示實際問題或數(shù)學(xué)問題中蘊含的不等關(guān)系.與用等式表示相等關(guān)系類似，用不等式表示不等關(guān)系的關(guān)鍵也是確定問題中涉及的量及其滿足的不等關(guān)系，然后用未知數(shù)表示量，把不等關(guān)系“翻譯”成不等式.與用等式表示相等關(guān)系不同的是，有時用自然語言表達的不等關(guān)系不夠明確，例如“不少于”“不低于”“至多”“至少”等，需要先把它們翻譯成大于或小于的關(guān)系，再用不等式表示.關(guān)于問題2，要解決這個問題，需要用不等式表示其中的不等關(guān)系，還需要求不等式的解集.而如何解這個不等式呢，教科書提出“與解方程要用等式的性質(zhì)一樣，解不等式要用不等式的性質(zhì)”，這就引出了對不等式性質(zhì)的研究.接下來，教科書沒有立即開始研究不等式的性質(zhì)，而是先討論了確定兩個實數(shù)大小關(guān)系的方法.在初中，學(xué)生學(xué)過了實數(shù)的大小關(guān)系是由這兩個實數(shù)在數(shù)軸上的點的位置關(guān)系規(guī)定的，這可以看成確定實數(shù)之間大小關(guān)系的幾何規(guī)則.這個規(guī)則盡管直觀，但在比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系時并不實用，因此這里介紹了一種代數(shù)方法——兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實.這個基本事實把兩個實數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為它們的差與0的大小關(guān)系，實際上就是兩個實數(shù)差的符號，從而使實數(shù)的運算能夠參與到實數(shù)的大小比較中，為不等式的論證提供了運算工具，也為研究不等式的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).在本部分內(nèi)容的最后，作為對相等關(guān)系和不等關(guān)系的總結(jié)，也為了引出基本不等式，教科書設(shè)計了一個探究欄目，讓學(xué)生在第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)中發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系和不等關(guān)系.這個會標(biāo)實際上就是“趙爽弦圖”——由4個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形，由于大正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，即（設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為，（）），而當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，中空部分縮為一個點，這時有相等關(guān)系.這樣，就引出了基本不等式的一種變形形式.在上述過程中，學(xué)生的困難在于想不到從面積的角度發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)加強引導(dǎo).接下來，教科書利用完全平方公式和兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實證明了上述不等式，這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，又再一次說明了兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實在解決不等式問題中的應(yīng)用價值.2，等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教科書類比等式的基本性質(zhì)，研究了不等式的基本性質(zhì)及其證明和應(yīng)用.為了幫助學(xué)生從等式的性質(zhì)及其研究方法中獲得啟發(fā)，去研究不等式的性質(zhì)，教科書設(shè)計了兩個問題（教科書第40頁的思考欄目和探究欄目）.通過這兩個問題，讓學(xué)生在梳理并觀察等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上認識到，這些性質(zhì)包括在數(shù)學(xué)推理和運算中經(jīng)常用到的“對稱性”和“傳遞性”，還包括解方程所需要的等式對四則運算的不變性，而這兩個方面反映了“式的大小關(guān)系”的本質(zhì)屬性，這些基本屬性為探究不等式的基本性質(zhì)指明了方向.學(xué)生在猜想不等式的基本性質(zhì)的過程中會發(fā)現(xiàn)，不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)存在差異：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“對稱性”，而是具有“相反性”，即，；就不等式與四則運算的關(guān)系而言，當(dāng)乘一個負數(shù)時，不等號要調(diào)換方向，即，.不等式的這種特殊性是由實數(shù)的基本性質(zhì)決定的，在對不等式進行論證時，除了要用到實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，還需要用到關(guān)于實數(shù)的其他一些基本事實，例如：（1）正數(shù)大于0，也大于一切負數(shù)；負數(shù)小于0，也小于一切正數(shù).（2）正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù).（3）兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，兩個負數(shù)的和仍是負數(shù).（4）同號兩數(shù)相乘，其積為正數(shù)；異號兩數(shù)相乘，其積為負數(shù).利用這些基本事實，可以對猜想出的不等式的基本性質(zhì)進行證明.在表述不等式的基本性質(zhì)時，教科書也做了一些改變.不等式的性質(zhì)3是類比等式的性質(zhì)3得到的，性質(zhì)4是類比等式的性質(zhì)4，5得到的，在表述它們時，教科書把加法和減法合并為“加法”，把乘法和除法合并為“乘法”，這也表明高中數(shù)學(xué)對運算的認識更趨于一般性.此外，考慮到對于同一個數(shù)學(xué)對象的多元聯(lián)系表示，有利于加深學(xué)生對它的理解，教科書從不同角度表述了不等式的性質(zhì)，例如對于性質(zhì)3和性質(zhì)4使用了自然語言敘述，對于性質(zhì)3還用數(shù)軸上的實數(shù)點展現(xiàn)了不等式包含的動態(tài)過程及結(jié)果.教學(xué)中可以讓學(xué)生用自然語言或圖形語言表述其他不等式的性質(zhì).在得到并證明了不等式的基本性質(zhì)之后，教科書用這些基本性質(zhì)，推導(dǎo)出了其他一些常用的不等式的性質(zhì)（性質(zhì)5~7），這些性質(zhì)可以作為結(jié)論在今后的推理中使用.另外，證明這些性質(zhì)的過程可以看作不等式的性質(zhì)在代數(shù)證明中的初步應(yīng)用.證明的關(guān)鍵是利用不等式的基本性質(zhì)，對給定的不等式進行結(jié)構(gòu)上的變形，例如“不等式兩邊同加一個數(shù)”“不等式兩邊同乘一個數(shù)”等，逐步把給定的不等式變形為要證明的不等式.正確地運用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形對學(xué)生來說有一定的難度，教學(xué)中可以通過讓學(xué)生多練習(xí)、糾正其典型錯誤等方式逐步幫助學(xué)生掌握正確的方法.在本部分內(nèi)容的最后，教科書安排了一道例題（例2），向?qū)W生示范了應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明命題的一般思路，這個命題的證明比不等式的性質(zhì)5~7的證明要復(fù)雜一些，因為已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯，證明中需要對已知不等式做什么變形不太明確，對于這樣的問題，教科書在“分析”中給出了證明的一般思路：從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件，而這個充分條件是容易由