2026中考數(shù)學一元二次方程三年真題匯總考點01一元二次方程的解法——配方法1．（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程時，將它轉化為的形式，則的值為（

）A． B．2024 C． D．12．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）用配方法解方程時，配方后正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北荊州·中考真題）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當時，用配方法解方程．4．（2023·新疆·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．考點02判斷一元二次方程根的情況1．（2025·廣東·中考真題）不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是．2．（2025·安徽·中考真題）下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．3．（2024·山東濰坊·中考真題）已知關于的一元二次方程，其中滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（

）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定4．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．5．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值．6．（2024·四川自貢·中考真題）關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根7．（2023·四川廣安·中考真題）已知a，b，c為常數(shù)，點在第四象限，則關于x的一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定考點03由根的情況求參數(shù)1．（2025·四川廣安·中考真題）已知方程的兩根分別為和，則代數(shù)式的值為．2．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）若是一元二次方程的一個根，則的值為．3．（2025·四川瀘州·中考真題）若一元二次方程的兩根為，則的值為．4．（2025·甘肅蘭州·中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．05．（2025·北京·中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C．1 D．46．（2025·上海·中考真題）已知關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是．7．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且8．（2025·四川成都·中考真題）從，1，2這三個數(shù)中任取兩個數(shù)分別作為a，b的值，則關于x的一元二次方程有實數(shù)根的概率為．9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且10．（2024·廣東廣州·中考真題）關于的方程有兩個不等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)化簡：．考點04根與系數(shù)的關系1．（2025·四川眉山·中考真題）已知方程的兩根分別為，，則的值為．2．（2025·四川南充·中考真題）設，是關于的方程的兩根．(1)當時，求及m的值．(2)求證：．3．（2025·黑龍江綏化·中考真題）已知，是關于的一元二次方程的兩個根，則．4．（2024·青海西寧·中考真題）已知方程的兩根分別為a和b，則的值為．5．（2024·山東日照·中考真題）已知，實數(shù)是關于x的方程的兩個根，若，則k的值為（

）A．1 B． C． D．6．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程的一個根為，則方程的另一個根為．7．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是(

)A． B．C． D．8．（2023·浙江紹興·中考真題）已知關于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，且關于x的方程有實數(shù)根．當k為正整數(shù)時，求不等式的解．9．（2023·湖北襄陽·中考真題）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若方程的兩個根為，，且，求的值．考點05一元二次方程的實際應用1．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（

）A． B． C． D．2．（2025·黑龍江·中考真題）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（

）A． B．C． D．3．（2025·重慶·中考真題）某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（

）A． B． C． D．4．（2025·福建·中考真題）為加強勞動教育，增加學生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示．設矩形的一邊長為x米，根據(jù)題意可列方程（

）A． B． C． D．5．（2025·山東威海·中考真題）如圖，某校有一塊長、寬的矩形種植園．為了方便耕作管理，在種植園的四周和內(nèi)部修建安度相同的小路（圖中陰影部分）．小路把種植園分成面積均為的9個矩形地塊，請你求出小路的寬度．6．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，小明同學將正方形硬紙板沿實線剪開，得到一個立方體的表面展開圖．若正方形硬紙板的邊長為，則折成立方體的棱長為．7．（2024·青海西寧·中考真題）如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個長，寬的矩形場地上，修建一個小型停車場，陰影部分為停車位所在區(qū)域，兩側是寬的道路，中間是寬的道路．如果陰影部分的總面積是，那么x滿足的方程是（

）A． B．C． D．8．（2025·四川達州·中考真題）為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．(1)設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是_______件；(2)為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；(3)文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？9．（2023·山東臨沂·中考真題）綜合與實踐問題情境小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：售價（元/盆）日銷售量（盆）A2050B3030C1854D2246E2638數(shù)據(jù)整理(1)請將以上調查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價（元/盆）日銷售量（盆）模型建立(2)分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價間的關系；拓廣應用(3)根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，①要想每天獲得400元的利潤，應如何定價？②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？10．（2025·天津·中考真題）四邊形中，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊、邊向終點運動；動點從點同時出發(fā)，以的速度沿邊向終點運動．規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為．當時，點M，N的位置如圖所示．有下列結論：①當時，；②當時，的最大面積為；③有兩個不同的值滿足的面積為．其中，正確結論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3考點06一元二次方程與二次函數(shù)的綜合1．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，m，n是關于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則恒成立．②在半徑為r的中，弦互相垂直于點P，當時，則．③為平面直角坐標系中的等腰直角三角形且，點A的坐標為，點B的坐標為，點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，則．④已知矩形的一組鄰邊長是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對角線長是．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結合圖象給出下列結論：

①；②；③當時，隨的增大而減?。虎荜P于的一元二次方程的另一個根是；⑤的取值范圍為．其中正確結論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大小（填寫、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范圍；(3)當時，最大值與最小值的差為，求b的值．答案解析考點01一元二次方程的解法——配方法1．（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程時，將它轉化為的形式，則的值為（

）A． B．2024 C． D．1【答案】D【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關鍵．用配方法把移項，配方，化為，即可．【詳解】解：∵，移項得，，配方得，，即，∴，，∴．故選：D．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）用配方法解方程時，配方后正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項移到右邊，然后兩邊同時加上，即可求解．【詳解】解：移項得，兩邊同時加上，即∴，故選：C．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關鍵．3．（2023·湖北荊州·中考真題）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當時，用配方法解方程．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，可得，注意一元二次方程的系數(shù)問題，即可解答，（2）將代入，利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：依題意得：，解得且；（2）解：當時，原方程變?yōu)椋?，則有：，，，方程的根為，．【點睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關鍵．4．（2023·新疆·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即計算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關鍵．考點02判斷一元二次方程根的情況1．（2025·廣東·中考真題）不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是．【答案】有兩個不相等的實數(shù)根【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的關鍵．先計算一元二次方程的根的判別式，得出，即可得到結論【詳解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根．2．（2025·安徽·中考真題）下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解題思路為利用一元二次方程根的判別式，分別計算四個選項方程的值，根據(jù)與的大小關系判斷根的情況．本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式及根據(jù)判斷根的情況是解題的關鍵．【詳解】解：選項A：，，，，無實數(shù)根，不符合題意；選項B：，，，，有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；選項C：，，，，無實數(shù)根，不符合題意；選項D：，，，，有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；故選：D．3．（2024·山東濰坊·中考真題）已知關于的一元二次方程，其中滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（

）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】C【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根，據(jù)此先求出，再求出的符號即可得到結論．【詳解】解：∵，∴，∴，，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．4．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當時，方程的兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；B．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；C．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；D．，該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；故選：D．5．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)或．【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．（1）根據(jù)根的判別式證明恒成立即可；（2）由題意可得，，，進行變形后代入即可求解．【詳解】（1）證明：，∵無論取何值，，恒成立，∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：∵是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，解得：或．6．（2024·四川自貢·中考真題）關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程中，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．【詳解】解：△，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．7．（2023·四川廣安·中考真題）已知a，b，c為常數(shù)，點在第四象限，則關于x的一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定【答案】B【分析】根據(jù)點在第四象限得，可得，則方程的判別式，即可得．【詳解】解：∵點在第四象限，∴，∴，∴方程的判別式，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．【點睛】本題考查了點坐標的特征，根的判別式，解題的關鍵是掌握這些知識點．考點03由根的情況求參數(shù)1．（2025·四川廣安·中考真題）已知方程的兩根分別為和，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)方程的兩根分別為和，可得：，，把整理可得：，再利用整體代入法求值即可．【詳解】解：方程的兩根分別為和，，，，．故答案為：．2．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）若是一元二次方程的一個根，則的值為．【答案】【分析】此題考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵．【詳解】解：將代入原方程得：，解得：，故答案為：．3．（2025·四川瀘州·中考真題）若一元二次方程的兩根為，則的值為．【答案】10【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握如果一元二次方程的兩根為，，則．先根據(jù)題意得到，，則將變形為，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，∴，，∴，∴，故答案為：10．4．（2025·甘肅蘭州·中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，當判別式大于0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．將方程化為標準形式后，計算判別式并解不等式即可確定a的取值范圍．熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．【詳解】解：對于方程，其判別式為，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，解得．故選：D．5．（2025·北京·中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故選C．6．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）已知關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程沒有實數(shù)根，得到，進行求解即可．熟練掌握根的判別式與根的個數(shù)之間的關系，是解題的關鍵．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．7．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式求解．首先確保二次項系數(shù)不為零，再計算判別式并使其非負．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴二次項系數(shù)，即．令，即，解得．∴且故選：C．8．（2025·四川成都·中考真題）從，1，2這三個數(shù)中任取兩個數(shù)分別作為a，b的值，則關于x的一元二次方程有實數(shù)根的概率為．【答案】/【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，樹狀圖法或列表法求解概率，根據(jù)判別式和一元二次方程的定義可得，則且，再列出表格得到所有等可能性的結果數(shù)，接著找到且的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴，∴且，列表如下：1212由表格可知，一共有6種等可能性的結果數(shù)，其中滿足且的結果數(shù)有，，，共3種，∴關于x的一元二次方程有實數(shù)根的概率為，故答案為：．9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)題意得到，再由有兩個不相等的實數(shù)根得到，且，即可得到答案.【詳解】解：∵，∴，即，∵關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，解得且，故選：D．10．（2024·廣東廣州·中考真題）關于的方程有兩個不等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)化簡：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運算，掌握相應的基礎知識是解本題的關鍵；（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；（2）根據(jù)（1）的結論化簡絕對值，再計算分式的乘除混合運算即可．【詳解】（1）解：∵關于的方程有兩個不等的實數(shù)根．∴，解得：；（2）解：∵，∴；考點04根與系數(shù)的關系1．（2025·四川眉山·中考真題）已知方程的兩根分別為，，則的值為．【答案】【分析】本題考查根與系數(shù)之間的關系，熟練掌握根與系數(shù)之間的關系，是解題的關鍵．根據(jù)根與系數(shù)之間的關系，得到，將代數(shù)式用多項式乘以多項式的法則展開后，利用整體代入法進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．2．（2025·四川南充·中考真題）設，是關于的方程的兩根．(1)當時，求及m的值．(2)求證：．【答案】(1)，；(2)詳見解析．【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，一元二次方程根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，方程的解，正確理解一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根；熟記：一元二次方程的兩個根為，，則，是解題的關鍵．（）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可；（）利用根的判別式，根與系數(shù)的關系求解即可．【詳解】（1）解：把代入方程得，∴，∴，即，解方程得，，，故，；（2）證明：方程可化為，∵，∴原方程有兩個不相同實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系得，，∵，∵，∴．3．（2025·黑龍江綏化·中考真題）已知，是關于的一元二次方程的兩個根，則．【答案】【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系以及代數(shù)式求值，先求出根與系數(shù)的關系，將代數(shù)式變形后代入計算即可．【詳解】解：，是關于的一元二次方程的兩個根，，，故答案為：．4．（2024·青海西寧·中考真題）已知方程的兩根分別為a和b，則的值為．【答案】16【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若，為方程的兩個根，則，與系數(shù)的關系式：，．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到，化簡所求代數(shù)式，代入即可得到結果．【詳解】解：∵方程的兩根分別為a和b，∴，∴．故答案為：16．5．（2024·山東日照·中考真題）已知，實數(shù)是關于x的方程的兩個根，若，則k的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則，據(jù)此得到，再由得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：是關于x的一元二次方程的兩個根，．，，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，故選：B．6．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程的一個根為，則方程的另一個根為．【答案】4【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系．設方程的另一個根為m，根據(jù)兩根之和等于，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設方程的另一個根為m，∵方程有一個根為，∴，解得：．故答案為：4．7．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意得出原方程中，，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是和；∴，又∵小冬寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．∴A.中，，，故該選項不符合題意；B.中，，，故該選項符合題意；C.中，，，故該選項不符合題意；D.中，，，故該選項不符合題意；故選：B．8．（2023·浙江紹興·中考真題）已知關于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，且關于x的方程有實數(shù)根．當k為正整數(shù)時，求不等式的解．【答案】或【分析】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，分式有意義、解一元二次方程等知識點，在解方程時一定要注意所求k的值與方程判別式的關系．要注意該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程．由于關于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，利用根與系數(shù)的關系可以得到關于a的方程求出a，又由于關于x的方程有實數(shù)根，分兩種情況討論，該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k為正整數(shù)，利用判別式可以求出k，最后代入所求代數(shù)式計算即可求解．【詳解】解：設方程的兩個根為，則，由條件知，即且，故．則方程為．當，即時，關于x的方程為有實數(shù)根，不等式即為，則，或．當時，，．又是正整數(shù)，且，，但使不等式的分母無意義．綜上，不等式的解為：或．9．（2023·湖北襄陽·中考真題）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若方程的兩個根為，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得出，把字母和數(shù)代入求出的取值范圍；（2）根據(jù)兩根之積為：，把字母和數(shù)代入求出的值．【詳解】（1）解：，∵有兩個不相等的實數(shù)，∴，解得：；（2）∵方程的兩個根為，，∴，∴，解得：，（舍去）．即：．【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關系、根的判別式，解題的關鍵是掌握，是方程的兩根時，，．考點05一元二次方程的實際應用1．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設每一輪傳染中平均每人傳染了人，則第一輪傳染了個人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：．【詳解】由題意得：，故選：C．【點睛】本題考查的是根據(jù)實際問題列一元二次方程．找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．2．（2025·黑龍江·中考真題）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平均增長率問題，屬于一元二次方程的應用．已知一月份銷量為8000輛，三月份增至12000輛，需建立平均每月增長率x的方程．根據(jù)連續(xù)增長模型，每月銷量為前一個月的倍，故三月份銷量為，據(jù)此列方程即可．【詳解】設每月增長率為x，則二月份銷量為，三月份銷量為二月份的倍，即．根據(jù)題意，三月份銷量為輛，可得方程為：．故選B．3．（2025·重慶·中考真題）某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為x,利用該景區(qū)2024年接待游客人次數(shù)該景區(qū)2022年接待游客人次數(shù)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】解：設年平均增長率為x，可得方程，解得或（舍去負值），所以該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為，故選：B4．（2025·福建·中考真題）為加強勞動教育，增加學生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示．設矩形的一邊長為x米，根據(jù)題意可列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，先用x表示出矩形的另一條邊長，利用矩形的面積公式，列出方程即可．【詳解】解：設矩形的一邊長為x米，則另一邊長為米，由題意，得：；故選：C．5．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，某校有一塊長、寬的矩形種植園．為了方便耕作管理，在種植園的四周和內(nèi)部修建安度相同的小路（圖中陰影部分）．小路把種植園分成面積均為的9個矩形地塊，請你求出小路的寬度．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設小路的寬度為，根據(jù)題意可知種植園的面積等于一個長為，寬為的矩形面積，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】解：設小路的寬度為，由題意得，，整理得，解得或（舍去），答：小路的寬度為．6．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，小明同學將正方形硬紙板沿實線剪開，得到一個立方體的表面展開圖．若正方形硬紙板的邊長為，則折成立方體的棱長為．【答案】/【分析】本題考查了正方體的展開圖、正方形的性質、勾股定理以及一元二次方程的求解等知識；如圖，設，則，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，設，則，則在直角三角形中，由勾股定理可得：，即，解得：或（舍去），∴正方體的棱長為cm，故答案為：．7．（2024·青海西寧·中考真題）如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個長，寬的矩形場地上，修建一個小型停車場，陰影部分為停車位所在區(qū)域，兩側是寬的道路，中間是寬的道路．如果陰影部分的總面積是，那么x滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．根據(jù)矩形場地的長、寬及道路的寬度，可得出停車位（即陰影部分）可合成長為，寬為的矩形，結合陰影部分的總面積是，即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵矩形場地的長為長，寬，且所修建停車位的兩側是寬xm的道路，中間是寬的道路，∴停車位（即陰影部分）可合成長為，寬為的矩形．根據(jù)題意，得，化簡，得．故選：A．8．（2025·四川達州·中考真題）為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．(1)設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是_______件；(2)為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；(3)文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)3元(3)售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元【分析】本題考查了一元二次方程的應用和二次函數(shù)的應用，正確理解題意、列出方程與函數(shù)關系式是解題的關鍵；（1）根據(jù)原來每天售出的60件，再加上多售出的件數(shù)即可得到答案；（2）設該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤×銷售數(shù)量=銷售利潤即可列出方程，解方程即可得解；（3）設該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤×銷售數(shù)量=銷售利潤即可列出二次函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可．【詳解】（1）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是件；故答案為：；（2）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)題意可得：，整理可得：，解得：，由于要讓利于游客，舍去，∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元.（3）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，則，∵，∴當時，取最大值為640元，此時銷售價為38元，答：售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元．9．（2023·山東臨沂·中考真題）綜合與實踐問題情境小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：售價（元/盆）日銷售量（盆）A2050B3030C1854D2246E2638數(shù)據(jù)整理(1)請將以上調查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價（元/盆）日銷售量（盆）模型建立(2)分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價間的關系；拓廣應用(3)根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，①要想每天獲得400元的利潤，應如何定價？②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？【答案】(1)見解析(2)售價每漲價2元，日銷售量少賣4盆(3)①定價為每盆元或每盆元時，每天獲得400元的利潤；②售價定為元時，每天能夠獲得最大利潤【分析】（1）按照從小到大的順序進行排列即可；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，進行求解即可；（3）①設定價應為元，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進行求解即可；②設每天的利潤為，列出二次函數(shù)表示式，利用二次函數(shù)的性質，進行求解即可．【詳解】（1）解：按照售價從低到高排列列出表格如下：售價（元/盆）1820222630日銷售量（盆）5450463830（2）由表格可知，售價每漲價2元，日銷售量少賣4盆；（3）①設：定價應為元，由題意，得：，整理得：，解得：，∴定價為每盆元或每盆元時，每天獲得400元的利潤；②設每天的利潤為，由題意，得：，∴，∵，∴當時，有最大值為元．答：售價定為元時，每天能夠獲得最大利潤．【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的實際應用．從表格中有效的獲取信息，正確的列出方程和二次函數(shù)，是解題的關鍵．10．（2025·天津·中考真題）四邊形中，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊、邊向終點運動；動點從點同時出發(fā)，以的速度沿邊向終點運動．規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為．當時，點M，N的位置如圖所示．有下列結論：①當時，；②當時，的最大面積為；③有兩個不同的值滿足的面積為．其中，正確結論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要查了二次函數(shù)的性質，一元二次方程的應用．當時，點M在上，求出，可判斷①；當時，點M在上，利用三角形面積公式求出的面積，利用二次函數(shù)的性質，可判斷②；分兩種情況：當點M在上時，點M在上，結合的面積為，列出方程，可判斷③．【詳解】解：根據(jù)題意得：點M在上的運動時間為，點M在上的運動時間為，點N在上的運動時間為，①當時，點M在上，此時，，∴，∴，故①正確；②當時，點M在上，此時，，∴，∴，∵，∴當時，隨t的增大而增大，∴當時，取得最大值，最大值為，即當時，的最大面積為，故②錯誤；③當點M在上時，∵的面積為，∴，解得：（舍去），∴當時，的面積為；當點M在上時，∵，，∴，即，此時，解得：，∴當時，的面積為；∴有兩個不同的值滿足的面積為，故③正確．故選：C考點06一元二次方程與二次函數(shù)的綜合1．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，m，n是關于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則恒成立．②在半徑為r的中，弦互相垂直于點P，當時，則．③為平面直角坐標系中的等腰直角三角形且，點A的坐標為，點B的坐標為，點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，則．④已知矩形的一組鄰邊長是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對角線長是．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關系及二次函數(shù)的圖象和性質即可判斷①；過點O作，垂足分別為M，N，連接，先證明四邊形是矩形，再利用勾股定理，垂徑定理求解即可判斷②；先證明，進而得出點C的坐標，即可求解，進而判斷③；先由一元二次方程根與系數(shù)的關