考點(diǎn)04基本不等式（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用．【知識點(diǎn)】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．(3)其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同號)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值.(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值.注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”．【核心題型】題型一利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．命題點(diǎn)1配湊法【例題1】（2024·遼寧·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】故選：D（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是.【變式2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函的最小值為m．(1)求m的值；(2)若a，b為正數(shù)，且，求的最大值.【變式3】（2024·黑龍江·二模）已知實(shí)數(shù)，且，則取得最大值時，的值為（

）A． B． C． D．或命題點(diǎn)2常數(shù)代換法【例題2】（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3【變式1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知，則下列選項(xiàng)中，能使取得最小值25的為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．命題點(diǎn)3消元法【例題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【變式2】(2023·煙臺模擬)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．【變式3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，求的最小值．題型二基本不等式的常見變形應(yīng)用基本不等式的常見變形(1)ab≤≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．【例題4】（2023·全國·三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【變式2】（2023·陜西寶雞·二模）設(shè)a，，則“”是“”的（

）充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說法正確的是（

）A． B．是遞減數(shù)列C． D．題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用利用基本不等式求解實(shí)際問題時，要根據(jù)實(shí)際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．【例題5】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，某人沿圍墻修建一個直角梯形花壇，設(shè)直角邊米，米，若米，問當(dāng)米時，直角梯形花壇的面積最大．

【變式1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（

）A．B．C．D．的大小無法確定【變式2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠(yuǎn)處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45【變式3】（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【課后強(qiáng)化】基礎(chǔ)保分練單選題1.（2024·河南南陽·一模）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2023·河南開封·三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）甲、乙兩名司機(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算4．（2024·陜西西安·一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．60 B．61 C．75 D．765．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）若，則函數(shù)有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值6．（2024·四川涼山·二模）已知正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則(

)A． B．C． D．8．（2024·貴州貴陽·一模）已知，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題9.（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，則的最小值為.10．（2024·江西九江·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是，.四、解答題11．（2024·四川廣安·二模）已知，，均為正數(shù)，且.(1)是否存在，，，使得，說明理由；(2)證明：.12．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)設(shè)的最小數(shù)為，正數(shù)滿足，求的最小值.綜合提升練一、單選題1．（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧鞍山·二模）已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（

）A． B． C．1 D．23．（23-24高三上·浙江金華·期末）若，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西西安·一模）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，圖象在、兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)．若，則的面積的最小值為（

）．A． B． C． D．6．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測）在實(shí)驗(yàn)課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品.實(shí)驗(yàn)一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實(shí)驗(yàn)二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實(shí)驗(yàn)中小明和小芳共秤得的藥品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克7．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）足球是一項(xiàng)深受人們喜愛的體育運(yùn)動.如圖，現(xiàn)有一個11人制的標(biāo)準(zhǔn)足球場，其底線寬，球門寬，且球門位于底線的中間，在某次比賽過程中，攻方球員帶球在邊界線上的點(diǎn)處起腳射門，當(dāng)最大時，點(diǎn)離底線的距離約為（

）A． B． C． D．8．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．二、多選題9．（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知，，且，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．10．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且總體的平均值為10．則的最小值為．13．（2024·遼寧大連·一模）對于任意的正數(shù)m，n，不等式成立，則λ的最大值為14．（2024·四川瀘州·二模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為．四、解答題15．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)函數(shù)的最小值為，若正實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.16．（2023·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)．(1)求的解集；(2)設(shè)的最小值為，若正數(shù)，，滿足，求的最大值．17．（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．18．（2024·廣東·一模）海參中含有豐富的蛋白質(zhì)、氨基酸、維生素、礦物質(zhì)等營養(yǎng)元素，隨著生活水平的提高，海參逐漸被人們喜愛．某品牌的海參按大小等級劃分為5、4、3、2、1五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：，，，，．從該品牌海參中隨機(jī)抽取10000顆作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)質(zhì)量指標(biāo)值越高，海參越大、質(zhì)量越好，若質(zhì)量指標(biāo)值低于400的為二級，質(zhì)量指標(biāo)值不低于400的為一級．現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣的方法按比例從不低于400和低于400的樣本中隨機(jī)抽取10顆，再從抽取的10顆海參中隨機(jī)抽取4顆，記其中一級的顆數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)甲、乙兩人計(jì)劃在某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上參加該品牌海參的訂單“秒殺”搶購活動，每人只能搶購一個訂單，每個訂單均由箱海參構(gòu)成．假設(shè)甲、乙兩人搶購成功的概率均為，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量為Y，搶到海參總箱數(shù)為Z．①求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望；②當(dāng)Z的數(shù)學(xué)期望取最大值時，求正整數(shù)n的值．19．（2023·四川達(dá)州·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、，.(1)求；(2)若，求面積的最小值.拓展沖刺練一、單選題1．（2024·遼寧·一模）已知．則“且”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．27 B．24 C．32 D．28二、多選題5．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．不等式無解 D．的最大值為6．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·模擬預(yù)測）實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．B．的最大值為C．D．的最大值為三、填空題8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為．