考點07函數(shù)的單調(diào)性與最值（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用．【知識點】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當(dāng)x1<x2時，都有，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增當(dāng)x1<x2時，都有，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上或，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有；(2)?x0∈D，使得(1)?x∈D，都有；(2)?x0∈D，使得結(jié)論M為f(x)的最大值M為f(x)的最小值常用結(jié)論1．?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．【核心題型】題型一確定函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法．命題點1函數(shù)單調(diào)性的判斷【例題1】（2023·浙江·二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·北京西城·一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·陜西西安·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【變式3】（2024·北京門頭溝·一模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．命題點2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性【例題2】（2023·上海奉賢·一模）函數(shù)在定義域上是（

）A．嚴(yán)格增的奇函數(shù) B．嚴(yán)格增的偶函數(shù)C．嚴(yán)格減的奇函數(shù) D．嚴(yán)格減的偶函數(shù)【變式1】（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意兩個實數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·浙江臺州·二模）已知函數(shù)同時滿足性質(zhì):①;②當(dāng)時,,則函數(shù)可能為(

)A． B．C． D．【變式3】（2023·山東·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)比較函數(shù)值的大小時，先轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)求解函數(shù)不等式時，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值．命題點1比較函數(shù)值的大小【例題3】（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高三上·北京順義·期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式3】（2024·四川攀枝花·二模）已知函數(shù)對都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對，當(dāng)時，都有，給出如下結(jié)論：①是偶函數(shù)；②;③是最小正周期為4的周期函數(shù)；④．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4命題點2求函數(shù)的最值【例題4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上的最小值為，最大值為，且在等差數(shù)列中，，則（

）A．17 B．18 C．20 D．24【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點在直線上，若，則下列選項正確的是（

）A．有最大值，最小值4 B．有最大值，沒有最小值C．沒有最大值，但有最小值4 D．沒有最大值也沒有最小值【變式2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值是.【變式3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)若為正實數(shù)，且，求的最小值.命題點3解函數(shù)不等式【例題5】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知是定義在上的奇函數(shù)，也是定義在上的奇函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·青海·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為．命題點4求參數(shù)的取值范圍【例題6】（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【變式1】（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【課后強化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則使得成立的正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)x，y都有，當(dāng)時，，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為126．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意恒有，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．在上單調(diào)遞增C．的解集為D．若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為三、填空題7．（2024·山東淄博·一模）設(shè)方程，的根分別為p，q，函數(shù)，令則a，b，c的大小關(guān)系為.8．（2024·安徽淮北·一模）記不超過的最大整數(shù)為.若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實數(shù)的值可以是（寫出滿足條件的一個的值即可）.四、解答題9．（2023·山東·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上是增函數(shù)，且，求的取值范圍．10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若時，恒成立，求的最小值．11．（2023·河南南陽·模擬預(yù)測）定義在正實數(shù)集上的函數(shù)滿足下列條件：①存在常數(shù)，使得；②對任意實數(shù)，當(dāng)時，恒有．(1)求證：對于任意正實數(shù)、，；(2)證明：在上是單調(diào)減函數(shù)；(3)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．12．（2023·甘肅定西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若a＝0，求函數(shù)的最值；(2)若a＝1，函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，求整數(shù)m的值．綜合提升練一、單選題1．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)滿足，且，在單調(diào)遞減，則（

）A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減3．（2024·甘肅·一模）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南常德·三模）已知奇函數(shù)是定義域為R的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在R上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞增5．（2024·陜西·模擬預(yù)測）函數(shù)滿足，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2023·四川綿陽·三模）設(shè)函數(shù)為與中較大的數(shù)，若存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱D．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．11．（2024·甘肅隴南·一模）已知，關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則；的解集為．13．（2024·湖南·二模）已知，若，則實數(shù)的取值范圍是，14．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)在區(qū)間有2個零點和4個極值點，則a的取值范圍是.四、解答題15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)的最大值；(2)解不等式．16．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個極值點，且.(1)求的取值范圍；(2)若，證明：17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個極值點，且．(1)求的取值范圍；(2)求關(guān)于的不等式的解集．18．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：；(3)若且，求證：．19．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)的定義域為區(qū)間值域為區(qū)間，若則稱是的縮域函數(shù).(1)若是區(qū)間的縮域函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)為正數(shù)，且若是區(qū)間的縮域函數(shù)，證明：（i）當(dāng)時，在單調(diào)遞減;（ii）拓展沖刺練一、單選題1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·遼寧丹東·二模）設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，函數(shù)，則（

）A．為增函數(shù) B．為奇函數(shù)C．值域為 D．函數(shù)沒有正零點3．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意恒有，且當(dāng)時，．若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點對稱C．不等式無解 D．的最大值為6．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在定義域上是增函數(shù)B．的值域為C．D．若，，，則三、填空題7．（2024·河北·模擬預(yù)測）若，則的大小關(guān)系為（用“<”號連接）．8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知對，，，當(dāng)時，都有，則實數(shù)的取值范圍是