考點(diǎn)30平面向量的概念及線性運(yùn)算（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．【知識點(diǎn)】1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小稱為向量的．(2)零向量：長度為的向量，記作．(3)單位向量：長度等于長度的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量．(5)相等向量：長度相等且方向的向量．(6)相反向量：長度相等且方向的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝________減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使.常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【核心題型】題型一平面向量的基本概念平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(diǎn)(1)非零向量的平行具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．【例題1】（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量.【變式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量，滿足，，，則.題型二平面向量的線性運(yùn)算平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義【例題2】（2024·福建福州·三模）已知線段是圓的一條長為2的弦，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）在中，，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·四川樂山·一模）已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的最小值為.【變式3】（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為．命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算【例題3】（2023·河北·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，已知，且，則向量與的夾角的余弦值為（

）A． B．0 C． D．【變式1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知為等邊的中心，若，則．（用表示）【變式2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知不共線的三個單位向量滿足與的夾角為，則實(shí)數(shù).【變式3】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為.(1)求角；(2)若，求的最小值.命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例題4】（2024·江蘇·二模）已知非零向量，，若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量，滿足，則正數(shù)（

）A．1 B． C． D．2【變式2】（2024·上?！と＃┰O(shè)平面向量，，若，不能組成平面上的一個基底，則．【變式3】（2023·四川南充·一模）在中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知向量，，且．(1)求角A的大??；(2)若，，求的面積．題型三共線定理及其應(yīng)用利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.【例題5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面上點(diǎn)，，滿足，且，點(diǎn)滿足，動點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．1或【變式1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【變式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是.【變式3】（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足，求的最小值．【課后強(qiáng)化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則“”是“存在，使得”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·貴州黔東南·三模）在△ABC中，已知，M為線段AB的中點(diǎn)，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．4．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（

）A． B． C．4 D．二、多選題5．（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部6．（2024·浙江寧波·二模）若平面向量滿足且，則（

）A．的最小值為2B．的最大值為5C．的最小值為2D．的最大值為三、填空題7．（2023·重慶·一模）在中，，點(diǎn)Q滿足，則的最大值為.8．（2023·云南大理·模擬預(yù)測）若，，，則在上投影向量的模為．9．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）若平面四邊形滿足，，則該四邊形一定是.四、解答題10．（2024·山西朔州·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．11．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．【綜合提升練】一、單選題1．（2023·四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（

）A．0 B． C． D．42．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則“”是“與共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量，不共線，，，且，則（

）A． B．0 C．1 D．4．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．8 D．95．（2023·四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（

）A．0 B． C．2 D．6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，，滿足，則（）A． B． C． D．7．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．8．（2024·上海楊浦·二模）平面上的向量、滿足：，，.定義該平面上的向量集合.給出如下兩個結(jié)論：①對任意，存在該平面的向量，滿足②對任意，存在該平面向量，滿足則下面判斷正確的為（

）①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①正確，②正確 D．①錯誤，②錯誤二、多選題9．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）下列命題為真命題的是（

）A．一組數(shù)據(jù)22，20，17，15，13，11，9，8，8，7的第90百分位數(shù)是21B．若等差數(shù)列滿足、、、，則C．非零平面向量、、滿足，，則D．在中，“”與“”互為充要條件10．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是兩個非零向量，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦AC、BD均過點(diǎn)P，則下列說法正確的是（

）A．為定值 B．的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為定值 D．的最大值為12三、填空題12．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為；的最小值為.13．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，則．14．（2024·青海西寧·二模）若向量不共線，且，則的值為．四、解答題15．（2024·吉林延邊·一模）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求B；(2)若點(diǎn)D在AC上，且，求．16．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）的角對應(yīng)邊是a，b，c，三角形的重心是O.已知.(1)求a的長.(2)求的面積.17．（2023·湖南·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為的面積為.(1)求的大小.(2)點(diǎn)滿足.若，求.18．（2023·四川成都·三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．(1)求角的大??；(2)若，，求c的值．19．（2024·山東青島·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)W為：和的公共點(diǎn)，，與直線相切，記動點(diǎn)M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)若，直線與C交于點(diǎn)A，B，直線與C交于點(diǎn)，，點(diǎn)A，在第一象限，記直線與的交點(diǎn)為G，直線與的交點(diǎn)為H，線段AB的中點(diǎn)為E．①證明：G，E，H三點(diǎn)共線；②若，過點(diǎn)H作的平行線，分別交線段，于點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．2．（2024·北京西城·二模）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·二模）點(diǎn)是所在平面內(nèi)兩個不同的點(diǎn)，滿足，則直線經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1二、多選題5．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．（2024·安徽淮北·一模）如圖，邊長為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，，，.（

）

A． B．存在點(diǎn)，使C．若，則點(diǎn)的軌跡長度為2 D．的最小值為三、填空題7．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在內(nèi)(含邊