高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI數(shù)列中的綜合問(wèn)題高考解答題專項(xiàng)三2026考情分析數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,在近幾年的高考試卷中,數(shù)列解答題的命題趨勢(shì)是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活,以考查數(shù)列的基本知識(shí)、基本方法為主,滲透綜合應(yīng)用能力的考查,對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有較深入的考查.考點(diǎn)一數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良試題例1.(2024河南鄭州一模)設(shè)n∈N*,有三個(gè)條件:①an是2與Sn的等差中項(xiàng);②a1=2,Sn+1=a1(Sn+1);③Sn=2n+1-2.在這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下列問(wèn)題的橫線上,再作答.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且

.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若{anbn}是以2為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解

(1)選條件①時(shí),由于an是2與Sn的等差中項(xiàng),所以2an=2+Sn,①當(dāng)n=1時(shí),解得a1=2;當(dāng)n≥2時(shí),2an-1=2+Sn-1,②①-②得,2an-2an-1=an,整理得an=2an-1,所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an=2×2n-1=2n(首項(xiàng)符合通項(xiàng)),所以an=2n;選條件②時(shí),由于a1=2,Sn+1=a1(Sn+1),所以Sn+1=2Sn+2,①當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2Sn-1+2,②①-②得,an+1=2an,所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故an=2×2n-1=2n(首項(xiàng)符合通項(xiàng)),所以an=2n;選條件③時(shí),因?yàn)镾n=2n+1-2,所以當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=22-2=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,因?yàn)閚=1時(shí)也滿足an=2n,所以an=2n.(2)因?yàn)閧anbn}是以2為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,方法點(diǎn)撥解決結(jié)構(gòu)不良試題的基本策略

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在①Sn+1=2Sn+1,②a2=2,③Sn=an+1-1這三個(gè)條件中選擇兩個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,給出解答.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足

,

,又知等差數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列,且滿足b1=2,b1,b2,b5成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解

方案一:選擇條件①②.(1)由題意,當(dāng)n=1時(shí),S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化簡(jiǎn)得a2=a1+1.又a2=2,∴a1=1.當(dāng)n≥2時(shí),由Sn+1=2Sn+1,可得Sn=2Sn-1+1,兩式相減,可得an+1=2an.∵a2=2a1也滿足上式,∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=1·2n-1=2n-1.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d>0),則b2=2+d,b5=2+4d.∵b1,b2,b5成等比數(shù)列,∴

=b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化簡(jiǎn)整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,則Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,兩式相減得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1方案二:選擇條件①③.(1)由題意,當(dāng)n=1時(shí),S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化簡(jiǎn)得a2=a1+1,將n=1代入Sn=an+1-1,可得a1=a2-1,此時(shí)選擇條件①③并不能計(jì)算出a1或a2的值,無(wú)法計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,故方案二不成立.方案三:選擇條件②③.(1)由題意,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a2-1=2-1=1.當(dāng)n≥2時(shí),由Sn=an+1-1,可得Sn-1=an-1,兩式相減得an+1=2an.∵a2=2a1也滿足上式,∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=1·2n-1=2n-1.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d>0),則b2=2+d,b5=2+4d∵b1,b2,b5成等比數(shù)列,∴

=b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化簡(jiǎn)整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,則Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,兩式相減得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1考點(diǎn)二通項(xiàng)與求和問(wèn)題例2.(2024河北保定二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且

名師點(diǎn)析解決數(shù)列中奇偶項(xiàng)問(wèn)題的方法(1)求奇偶分列的數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),首先要確定奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng),其次要重點(diǎn)確定好通項(xiàng)公式中的項(xiàng)數(shù)n與an所在奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)中的項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系.一般地,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an在奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列中為第

項(xiàng);當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an在偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列中為第

項(xiàng).(2)求奇偶分列的數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和,然后相加,也可以采用整體思想,把a(bǔ)2k-1+a2k看作一項(xiàng),求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k;還可以尋求奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為求奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))和的問(wèn)題.考點(diǎn)三數(shù)列中的綜合問(wèn)題考向1.數(shù)列與不等式的綜合

所以Tn=2·2+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,①所以2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,②①-②得,-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以Tn=n·2n+1,所以λTn≤(n2+9)·2n,即λn·2n+1≤(n2+9)·2n,名師點(diǎn)析數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題的求解策略(1)判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系時(shí),可以利用數(shù)列的單調(diào)性或借助數(shù)列對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)解決數(shù)列中不等式恒成立問(wèn)題時(shí),仍可采用分離參數(shù)求最值的方法,但要注意變量n的取值為正整數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2024山東青島模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,an+1=Sn+2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;考向2.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合例4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=1,證明

(1)先證明ln(x+1)<x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)<ln(0+1)-0=0,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ln(x+1)<x.名師點(diǎn)析數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題,多以不等式的證明、求最值等問(wèn)題的形式呈現(xiàn),解決方法:(1)通過(guò)放縮,結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法進(jìn)行證明;(2)構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,再通過(guò)變量替換進(jìn)行證明.所以Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,又2Tn=1·22+2·23+3