中學(xué)數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)專題講義一、專題概述二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，貫穿初中“函數(shù)與圖像”、高中“函數(shù)”及“圓錐曲線”等模塊，是連接代數(shù)與幾何的橋梁。其重點(diǎn)在于解析式的求法、圖像性質(zhì)的應(yīng)用；難點(diǎn)在于與一次函數(shù)、幾何圖形的綜合問(wèn)題及實(shí)際應(yīng)用中的建模。本講義從基礎(chǔ)回顧入手，逐步突破重點(diǎn)題型與難點(diǎn)問(wèn)題，注重方法提煉與實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的解題思維。二、基礎(chǔ)回顧：二次函數(shù)的核心概念與性質(zhì)（一）二次函數(shù)的三種表達(dá)式二次函數(shù)的一般形式為\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)，\(a,b,c\)為常數(shù)），根據(jù)不同場(chǎng)景可轉(zhuǎn)化為以下兩種形式：1.頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((h,k)\)，對(duì)稱軸為直線\(x=h\)；由一般式通過(guò)配方法推導(dǎo)：\(y=a\left(x+\frac{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)。2.交點(diǎn)式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)）\(x_1,x_2\)為二次函數(shù)與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即方程\(ax^2+bx+c=0\)的根）；需滿足判別式\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)。注：三種形式可互相轉(zhuǎn)化，選擇原則為“簡(jiǎn)化計(jì)算”——如已知頂點(diǎn)用頂點(diǎn)式，已知交點(diǎn)用交點(diǎn)式，已知任意三點(diǎn)用一般式。（二）二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)的圖像是拋物線，其性質(zhì)由二次項(xiàng)系數(shù)\(a\)及頂點(diǎn)決定：性質(zhì)描述開(kāi)口方向\(a>0\)時(shí)開(kāi)口向上；\(a<0\)時(shí)開(kāi)口向下對(duì)稱軸直線\(x=-\frac{2a}\)（頂點(diǎn)式中為\(x=h\)）頂點(diǎn)坐標(biāo)\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)（頂點(diǎn)式中為\((h,k)\)）增減性\(a>0\)時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)（\(x<h\)）遞減，右側(cè)（\(x>h\)）遞增；\(a<0\)時(shí)相反最值\(a>0\)時(shí)，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)，\(y_{\text{min}}=k\)；\(a<0\)時(shí)，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)，\(y_{\text{max}}=k\)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)-與\(y\)軸交于\((0,c)\)；

-與\(x\)軸交于\((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)（需\(\Delta\geq0\)）三、重點(diǎn)題型突破（一）二次函數(shù)解析式的求法例1：已知二次函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)\((0,1)\)、\((1,3)\)、\((2,5)\)，求其解析式。思路：已知任意三點(diǎn)，用一般式設(shè)\(y=ax^2+bx+c\)，代入得方程組：\[\begin{cases}c=1\\a+b+c=3\\4a+2b+c=5\end{cases}\]解得\(a=0\)？不對(duì)，說(shuō)明數(shù)據(jù)有誤？不，重新計(jì)算：代入\(c=1\)，第二個(gè)方程得\(a+b=2\)，第三個(gè)方程得\(4a+2b=4\)，化簡(jiǎn)為\(2a+b=2\)，聯(lián)立得\(a=0\)，\(b=2\)，這是一次函數(shù)，說(shuō)明題目數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)不合理，應(yīng)調(diào)整為過(guò)\((0,1)\)、\((1,2)\)、\((2,5)\)，此時(shí)解得\(a=1\)，\(b=0\)，\(c=1\)，解析式為\(y=x^2+1\)。例2：已知二次函數(shù)頂點(diǎn)為\((2,3)\)，且過(guò)點(diǎn)\((1,5)\)，求其解析式。思路：已知頂點(diǎn)，用頂點(diǎn)式設(shè)\(y=a(x-2)^2+3\)，代入\((1,5)\)得：\[5=a(1-2)^2+3\impliesa=2\]故解析式為\(y=2(x-2)^2+3=2x^2-8x+11\)。例3：已知二次函數(shù)與\(x\)軸交于\((-1,0)\)、\((3,0)\)，且過(guò)點(diǎn)\((0,-3)\)，求其解析式。思路：已知交點(diǎn)，用交點(diǎn)式設(shè)\(y=a(x+1)(x-3)\)，代入\((0,-3)\)得：\[-3=a(0+1)(0-3)\impliesa=1\]故解析式為\(y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3\)。（二）二次函數(shù)的最值問(wèn)題例4：某商店銷售某種商品，每件成本20元，售價(jià)為\(x\)元時(shí)，每天銷量為\(100-2x\)件（\(20<x<50\)，銷量為正）。求每天利潤(rùn)\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求最大利潤(rùn)。思路：利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷量，建立函數(shù)模型：\[y=(x-20)(100-2x)=-2x^2+140x-2000\]該函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)。頂點(diǎn)橫坐標(biāo)\(x=-\frac{2a}=-\frac{140}{2\times(-2)}=35\)，在定義域\(20<x<50\)內(nèi)。代入得：\[y_{\text{max}}=-2\times35^2+140\times35-2000=450\]結(jié)論：售價(jià)為35元時(shí)，最大利潤(rùn)為450元。注：若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在定義域內(nèi)，最值需在區(qū)間端點(diǎn)取到（如定義域?yàn)閈(30\leqx\leq40\)，則計(jì)算\(x=30\)和\(x=40\)時(shí)的利潤(rùn)，取較大值）。（三）二次函數(shù)的圖像變換二次函數(shù)的圖像變換包括平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，其中平移是重點(diǎn)，規(guī)律為：平移：頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)向左平移\(m\)個(gè)單位：\(y=a(x-h+m)^2+k\)（左加）；向右平移\(m\)個(gè)單位：\(y=a(x-h-m)^2+k\)（右減）；向上平移\(n\)個(gè)單位：\(y=a(x-h)^2+k+n\)（上加）；向下平移\(n\)個(gè)單位：\(y=a(x-h)^2+k-n\)（下減）。例5：將二次函數(shù)\(y=2x^2-4x+1\)的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求新解析式。思路：先將一般式化為頂點(diǎn)式：\[y=2(x^2-2x)+1=2(x-1)^2-1\]頂點(diǎn)為\((1,-1)\)，向左平移1個(gè)單位得\((0,-1)\)，向上平移2個(gè)單位得\((0,1)\)，故新解析式為：\[y=2(x-0)^2+1=2x^2+1\]四、難點(diǎn)突破：二次函數(shù)綜合問(wèn)題（一）二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題例6：已知二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)與一次函數(shù)\(y=x+m\)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求\(m\)的取值范圍。思路：交點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組\(\begin{cases}y=x^2-2x-3\\y=x+m\end{cases}\)，消去\(y\)得：\[x^2-3x-(3+m)=0\]有兩個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于判別式\(\Delta>0\)：\[\Delta=(-3)^2+4(3+m)=9+12+4m=21+4m>0\impliesm>-\frac{21}{4}\]（二）二次函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合例7：已知二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)，與\(x\)軸交于\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)，與\(y\)軸交于\(C(0,-3)\)。是否存在點(diǎn)\(P\)在拋物線上，使得\(\trianglePAB\)為等腰三角形？若存在，求\(P\)點(diǎn)坐標(biāo)。思路：設(shè)\(P(x,x^2-2x-3)\)，分三種情況討論：1.PA=PB：\(P\)在\(AB\)的垂直平分線上，\(AB\)中點(diǎn)為\((1,0)\)，垂直平分線為\(x=1\)，代入拋物線得\(y=1-2-3=-4\)，故\(P(1,-4)\)；2.PA=AB：\(AB=4\)，故\(\sqrt{(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2}=4\)，平方得：\[(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2=16\]令\(t=x^2-2x-3\)，則\(t=(x-1)^2-4\)，代入得：\[(x+1)^2+t^2=16\]展開(kāi)計(jì)算得\(x=1\pm\sqrt{5}\)，對(duì)應(yīng)\(y=1\)，故\(P(1+\sqrt{5},1)\)、\(P(1-\sqrt{5},1)\)；3.PB=AB：同理可得\(P(1\pm\sqrt{5},1)\)（與情況2重復(fù)）。結(jié)論：存在點(diǎn)\(P(1,-4)\)、\((1+\sqrt{5},1)\)、\((1-\sqrt{5},1)\)。五、方法總結(jié)：解決二次函數(shù)問(wèn)題的“三大法寶”1.數(shù)形結(jié)合：畫出拋物線草圖，標(biāo)注頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、交點(diǎn)等關(guān)鍵信息，直觀分析增減性、最值及交點(diǎn)問(wèn)題；2.模型轉(zhuǎn)化：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題需將“利潤(rùn)”“面積”等目標(biāo)量轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，注意自變量的取值范圍；3.分類討論：幾何綜合問(wèn)題（如等腰三角形、平行四邊形存在性）需按圖形特征分類，避免遺漏。六、實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)題1.已知二次函數(shù)過(guò)\((1,0)\)、\((0,2)\)、\((-1,6)\)，求解析式（答案：\(y=2x^2-4x+2\)）。2.將\(y=-x^2+2x+3\)化為頂點(diǎn)式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)（答案：\(y=-(x-1)^2+4\)，頂點(diǎn)\((1,4)\)）。（二）中檔題3.某矩形場(chǎng)地一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)20米的柵欄圍成，求場(chǎng)地面積的最大值（答案：50平方米，此時(shí)長(zhǎng)10米，寬5米）。（三）難題4.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)圖像過(guò)\((1,0)\)、\((0,3)\)，且對(duì)稱軸為\(x=2\)，求解析式（答案：\(y=x^2-4x+3\)）。5.二次函數(shù)\(y=x^2+bx+c\)與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)，與\(y\)軸交于\(C(0,-3)\)，且\(\triangleABC\)面積為6，求\(b\)的值（答案：\(b