幻燈片1：標(biāo)題頁標(biāo)題：22.3.3二次函數(shù)與拋物線形的實際問題——用函數(shù)描繪生活中的曲線副標(biāo)題：建立坐標(biāo)系模型，解決拋物線形實際問題配套元素：背景圖：展示拱橋、噴泉、投籃軌跡等拋物線形實際場景的圖片，體現(xiàn)二次函數(shù)與實際的聯(lián)系。署名：學(xué)科、年級、教師姓名幻燈片2：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)：能夠根據(jù)拋物線形實際問題的特征，合理建立平面直角坐標(biāo)系。會根據(jù)已知條件確定拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。能運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決拋物線形實際問題中的高度、距離等相關(guān)計算問題。過程與方法目標(biāo)：通過分析拋物線形實際問題，經(jīng)歷“實際場景—建立坐標(biāo)系—確定函數(shù)解析式—解決問題”的過程，提升數(shù)學(xué)建模能力和空間想象能力。在探究解決問題的過程中，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，培養(yǎng)分析和解決實際問題的能力。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：感受二次函數(shù)在描述現(xiàn)實世界中拋物線形物體或軌跡的重要作用，激發(fā)對數(shù)學(xué)應(yīng)用的興趣，認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。體驗將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并成功解決的成就感，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心?；脽羝?：復(fù)習(xí)回顧——銜接舊知二次函數(shù)解析式形式回顧：一般式：\(y=ax?2+bx+c\)（\(aa?

0\)）。頂點式：\(y=a(x-h)?2+k\)（\(aa?

0\)），其中\(zhòng)((h,k)\)為拋物線頂點坐標(biāo)。交點式：\(y=a(x-xa??)(x-xa??)\)（\(aa?

0\)），其中\(zhòng)(xa??\)、\(xa??\)為拋物線與\(x\)軸交點的橫坐標(biāo)。建立坐標(biāo)系的基本方法回顧：在解決幾何問題時，通常選擇圖形的對稱中心、頂點或與坐標(biāo)軸的交點作為坐標(biāo)原點或坐標(biāo)軸上的點，以簡化計算。提問引入：生活中許多物體的形狀或運動軌跡呈拋物線形，如拱橋、噴泉的水流、投籃的軌跡等。如何用二次函數(shù)來描述這些拋物線形的實際問題？又如何利用二次函數(shù)解決其中的實際問題呢？本節(jié)課我們就來探究這些內(nèi)容。幻燈片4：探究一——拱橋問題例題：如圖所示，一座拋物線形拱橋的跨度為\(40m\)，拱頂離水面的距離為\(10m\)。建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拱橋?qū)?yīng)的二次函數(shù)解析式。當(dāng)水面上漲\(2m\)后，水面的寬度是多少？分析過程：建立坐標(biāo)系：以拋物線的頂點（拱頂）為坐標(biāo)原點\((0,0)\)，水平方向為\(x\)軸，豎直方向為\(y\)軸建立平面直角坐標(biāo)系。此時拋物線與水面的兩個交點坐標(biāo)分別為\((-20,-10)\)和\((20,-10)\)（因為跨度為\(40m\)，拱頂離水面\(10m\)）。確定函數(shù)解析式：設(shè)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為頂點式\(y=ax?2\)（因為頂點在原點）。將點\((20,-10)\)代入解析式得：\(-10=a??20?2\)，解得\(a=-\frac{10}{400}=-\frac{1}{40}\)。所以二次函數(shù)解析式為\(y=-\frac{1}{40}x?2\)。解決水面上漲問題：水面上漲\(2m\)后，水面的\(y\)坐標(biāo)為\(-10+2=-8\)。令\(y=-8\)，則\(-8=-\frac{1}{40}x?2\)，解得\(x?2=320\)，\(x=\pm8\sqrt{5}\approx\pm17.89\)。所以水面的寬度為\(2??8\sqrt{5}=16\sqrt{5}\approx35.78m\)。結(jié)論：拱橋?qū)?yīng)的二次函數(shù)解析式為\(y=-\frac{1}{40}x?2\)，水面上漲\(2m\)后，水面寬度約為\(35.78m\)。展示建立坐標(biāo)系后的拱橋示意圖和函數(shù)圖象，幫助理解?；脽羝?：探究二——噴泉問題例題：某公園有一個噴泉，水流從噴頭噴出后呈拋物線形，噴頭的位置為原點，水流的最高點距離噴頭的水平距離為\(3m\)，豎直高度為\(4m\)。求水流對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。水流落地點到噴頭的水平距離是多少？分析過程：建立坐標(biāo)系：以噴頭位置為坐標(biāo)原點\((0,0)\)，水平方向為\(x\)軸，豎直方向為\(y\)軸建立平面直角坐標(biāo)系。已知水流的最高點（頂點）坐標(biāo)為\((3,4)\)。確定函數(shù)解析式：設(shè)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為頂點式\(y=a(x-3)?2+4\)。因為拋物線過原點\((0,0)\)，將其代入解析式得：\(0=a(0-3)?2+4\)，即\(9a+4=0\)，解得\(a=-\frac{4}{9}\)。所以二次函數(shù)解析式為\(y=-\frac{4}{9}(x-3)?2+4\)。求水流落地點距離：水流落地點時\(y=0\)，令\(y=0\)，則\(0=-\frac{4}{9}(x-3)?2+4\)，整理得\((x-3)?2=9\)，解得\(x-3=\pm3\)，即\(xa??=0\)（噴頭位置），\(xa??=6\)。所以水流落地點到噴頭的水平距離是\(6m\)。結(jié)論：水流對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為\(y=-\frac{4}{9}(x-3)?2+4\)，水流落地點到噴頭的水平距離是\(6m\)。展示噴泉水流軌跡的坐標(biāo)系示意圖和函數(shù)圖象，直觀呈現(xiàn)?；脽羝?：探究三——投籃軌跡問題例題：一名籃球運動員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，籃球出手時的高度為\(2m\)，出手后籃球的運動軌跡是拋物線，當(dāng)籃球水平移動\(4m\)時，達(dá)到最大高度\(3.5m\)。建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求籃球運動軌跡對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。已知籃球框的高度為\(3.05m\)，籃球框到運動員的水平距離為\(7m\)，此次投籃能否命中？分析過程：建立坐標(biāo)系：以籃球出手時的位置為坐標(biāo)原點\((0,2)\)，水平方向為\(x\)軸，豎直方向為\(y\)軸建立平面直角坐標(biāo)系。則籃球運動軌跡的頂點坐標(biāo)為\((4,3.5)\)。確定函數(shù)解析式：設(shè)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為頂點式\(y=a(x-4)?2+3.5\)。因為拋物線過原點\((0,2)\)，將其代入解析式得：\(2=a(0-4)?2+3.5\)，即\(16a+3.5=2\)，解得\(a=-\frac{1.5}{16}=-\frac{3}{32}\)。所以二次函數(shù)解析式為\(y=-\frac{3}{32}(x-4)?2+3.5\)。判斷投籃是否命中：當(dāng)\(x=7m\)時，代入解析式得\(y=-\frac{3}{32}(7-4)?2+3.5=-\frac{3}{32}??9+3.5=-\frac{27}{32}+3.5\approx-0.84375+3.5=2.65625m\)。因為\(2.65625m<3.05m\)，所以此次投籃不能命中。結(jié)論：籃球運動軌跡對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為\(y=-\frac{3}{32}(x-4)?2+3.5\)，此次投籃不能命中。展示投籃軌跡的坐標(biāo)系示意圖，輔助分析。幻燈片7：例題解析——拋物線形隧道問題例題：某拋物線形隧道的橫截面如圖所示，隧道的最大高度為\(6m\)，底部寬度為\(12m\)。一輛裝滿貨物的卡車高\(4m\)，寬\(3m\)，這輛卡車能否通過該隧道？解題步驟：建立坐標(biāo)系：以隧道底部的中點為坐標(biāo)原點\((0,0)\)，水平方向為\(x\)軸，豎直方向為\(y\)軸建立平面直角坐標(biāo)系。則拋物線與底部的兩個交點坐標(biāo)為\((-6,0)\)和\((6,0)\)，頂點坐標(biāo)為\((0,6)\)。確定函數(shù)解析式：設(shè)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為頂點式\(y=ax?2+6\)。將點\((6,0)\)代入解析式得：\(0=a??6?2+6\)，即\(36a+6=0\)，解得\(a=-\frac{6}{36}=-\frac{1}{6}\)。所以二次函數(shù)解析式為\(y=-\frac{1}{6}x?2+6\)。判斷卡車能否通過：卡車寬\(3m\)，則卡車兩側(cè)對應(yīng)的\(x\)坐標(biāo)為\(1.5\)和\(-1.5\)。當(dāng)\(x=1.5\)時，代入解析式得\(y=-\frac{1}{6}??(1.5)?2+6=-\frac{1}{6}??2.25+6=-0.375+6=5.625m\)。因為\(5.625m>4m\)，所以這輛卡車能通過該隧道。結(jié)論：這輛卡車能通過該隧道。強(qiáng)調(diào)在判斷時，需計算卡車寬度范圍內(nèi)的隧道高度是否大于卡車高度?；脽羝?：課堂練習(xí)（分層完成）基礎(chǔ)題：一座拋物線形拱橋，其對稱軸為\(y\)軸，拱橋的最高點到水面的距離為\(8m\)，水面寬度為\(16m\)，以最高點為原點建立坐標(biāo)系，則拱橋?qū)?yīng)的二次函數(shù)解析式為______。一個拋物線形的門洞，門洞的最大高度為\(5m\)，底部寬度為\(8m\)，以底部中點為原點建立坐標(biāo)系，求門洞對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。提升題：某噴泉的水流從噴頭噴出后，其軌跡是拋物線，已知噴頭在地面上，噴出的水流最大高度為\(9m\)，離噴頭的水平距離為\(3m\)處達(dá)到最大高度。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求水流軌跡對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。水流落地點到噴頭的水平距離是多少？一個拋物線形的廣告牌，底部寬\(10m\)，最高點距離底部\(6m\)，若在距離底部中心\(2m\)處安裝一個射燈，求射燈處廣告牌的高度。要求：學(xué)生獨立完成后，小組內(nèi)交流解題思路和答案，選取代表展示解題過程，教師進(jìn)行點評和講解?；脽羝?：易錯點提醒常見錯誤：建立坐標(biāo)系時選擇不當(dāng)，導(dǎo)致函數(shù)解析式求解復(fù)雜或錯誤，如未將頂點或?qū)ΨQ中心放在坐標(biāo)軸上。確定拋物線頂點坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)時出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致函數(shù)解析式求解錯誤。在解決實際問題時，代入計算時坐標(biāo)對應(yīng)錯誤，如將水平距離代入時符號出錯。忽略實際問題中的單位，或單位不統(tǒng)一導(dǎo)致計算錯誤。避坑技巧：建立坐標(biāo)系時，優(yōu)先選擇拋物線的頂點、對稱軸或與坐標(biāo)軸的交點作為特殊點，如將頂點放在原點或\(y\)軸上，以簡化解析式形式。仔細(xì)分析題目中的幾何特征，準(zhǔn)確確定拋物線的頂點坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)等關(guān)鍵信息，必要時畫圖輔助。代入計算時，務(wù)必確認(rèn)所代入的坐標(biāo)值與實際問題中的位置對應(yīng)正確，注意符號的正負(fù)。解題過程中保持單位統(tǒng)一，計算完成后檢查單位是否符合實際問題要求?；脽羝?0：課堂小結(jié)核心收獲：解決拋物線形實際問題的基本步驟：分析實際問題中的拋物線特征，合理建立平面直角坐標(biāo)系（通常以頂點、對稱中心或交點為特殊點）。根據(jù)已知條件確定拋物線的關(guān)鍵坐標(biāo)，如頂點坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)等。選擇合適的二次函數(shù)解析式形式（如頂點式、一般式），代入已知點坐標(biāo)求出解析式。運用求出的二次函數(shù)解析式解決實際問題，如計算高度、距離、判斷能否通過等。關(guān)鍵思想：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過建立函數(shù)模型解決。方法提煉：在解決拋物線形實際問題時，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，要根據(jù)圖形的對稱性和特殊點來確定坐標(biāo)系的位置，以便簡化計算；同時要準(zhǔn)確提取題目中的幾何信息，轉(zhuǎn)化為函數(shù)中的坐標(biāo)信息?；脽羝?1：作業(yè)布置必做題：教材PXX頁習(xí)題22.3第8、10題，要求寫出建立坐標(biāo)系的過程和函數(shù)解析式的求解過程。選做題：一座拋物線形的彩虹橋，跨度為\(60m\)，拱頂距離橋面\(15m\)，一輛高\(4m\)、寬\(5m\)的貨車要通過該橋，貨車距離橋中心的水平距離為\(10m\)，這輛貨車能否通過？實踐題：觀察生活中的拋物線形物體（如拱橋、噴泉、燈罩等），測量相關(guān)數(shù)據(jù)，建立坐標(biāo)系并求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式，嘗試解決一個相關(guān)的實際問題。幻燈片12：結(jié)束頁寄語：生活中的拋物線無處不在，二次函數(shù)是描繪它們的精準(zhǔn)工具。愿你能熟練運用二次函數(shù)知識，解讀生活中的曲線奧秘，解決更多實際問題！致謝：感謝聆聽，下次課再見！2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊授課教師：

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22.3.3二次函數(shù)與拋物線形的實際問題第22章

二次函數(shù)aiTujmiaNg情境導(dǎo)入這些橋都有什么特點？探究新知知識點利用二次函數(shù)解決拋物線形的實際問題探究3圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m.水面下降1m，水面寬度增加多少?分析：(1)建立合適的直角坐標(biāo)系；(2)將實際建筑數(shù)學(xué)化，數(shù)字化；(3)明確具體的數(shù)量關(guān)系，如函數(shù)解

析式；(4)分析所求問題，代入解析式求解。解：以拱頂為坐標(biāo)原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線解析式為y=ax2.將點(-2，-2)代入解析式，可得-2=a·(-2)2.水面下降一米，即此時y=-3.(2,-2)(-2,-2)xyO

如果以下降1m后的水面為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

與前面方法的結(jié)果相同嗎？解：依題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線解析式為y=ax2+3.將點(-2，1)代入解析式，可得1=a·(-2)2+3.(2,1)(-2,1)xyO(0,3)水面下降一米，即此時y=0.雖然建立的直角坐標(biāo)系不一樣，但是兩種方法的結(jié)果是相同的.(2,1)(-2,1)xyO(0,3)你還有其他的方法嗎？

還可以以水面未下降時的水面為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系來計算.(2,0)(-2,0)xyO(0,2)利用二次函數(shù)解決拋物線形問題的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫出拋物線上的關(guān)鍵點的坐標(biāo)；(3)運用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；(4)求解數(shù)學(xué)問題；(5)求解拋物線形實際問題.隨堂演練1.某大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物(如圖所示)，大門的地面寬度為