第頁通關(guān)練24指數(shù)和對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù).而，可知函數(shù)為定義域上的減函數(shù)，因此，函數(shù)為奇函數(shù)，且是上的減函數(shù).故選：D.2．已知函數(shù)，則使成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】，是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由于增函數(shù)，是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，是關(guān)于y軸對稱的，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，作圖如下：欲使得，只需，兩邊取平方，得，解得；故選：C.3．已知是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【解析】由題意知：，又在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由可得，解得.故選：C.4．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，若，，，則（

）A． B．C． D．【解析】由偶函數(shù)知，又，，，顯然，又在單調(diào)遞增，則.故選：C.5．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)且滿足，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)得，所以，，，，所以，即，故選：C．6．已知奇函數(shù)對任意，都滿足，且當(dāng)時(shí)，若，則（

）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，即所以，即故是以周期為4的周期函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，解得.故選：C.7．定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．若，則C． D．【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，而的圖象是由的圖象向右平移一個(gè)單位得到的，所以的圖象關(guān)于軸對稱，所以是偶函數(shù)，所以A正確，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，，所以，所以，得，所以B正確，，，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，，所以，即，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，，所以，即，所以，所以，即，所以C正確，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：D8．若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，又，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，且，由可得.當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.9．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，又對任意，都有，則關(guān)于對稱，且，，即函數(shù)的周期為，又由函數(shù)且在上恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，得函數(shù)與的圖像在上有個(gè)不同的交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得；當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得．綜上可得.故選：C．二、多選題10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的最小值為 B．在上單調(diào)遞減C．的解集為 D．存在實(shí)數(shù)滿足【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，所以，函數(shù)圖象如下所示：可得時(shí)，在時(shí)取得最小值，由偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可得在上取得最小值，故A正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由或，解得或，綜上可得的解集為，故C正確；由，，即存在實(shí)數(shù)滿足，故D正確；故選：ACD．11．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且，若當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱 D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【解析】設(shè)，則，又∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，∴，故A正確；∵，∴，∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，∴，故B不正確；∵，∴，∴的圖象不關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱，故C錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)與的圖象如下：觀察圖象知與有3個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：AD.12．已知函數(shù)（，），則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱B．函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為【解析】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，故是偶函數(shù)，因此圖象關(guān)于軸對稱，故A正確，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為，當(dāng)時(shí)，由于是偶函數(shù)，故最大值為，故D正確，故選：AD13．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上為減函數(shù)D．方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解【解析】對于選項(xiàng)A：為偶函數(shù)，故，令得：，又為奇函數(shù)，故，令得：，其中，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對稱，又為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，所以周期為，故，所以，從而為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：在上單調(diào)遞增，又關(guān)于對稱，所以在上單調(diào)遞增，且周期為8，故在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：根據(jù)題目條件畫出與的函數(shù)圖象，如圖所示：其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，故方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD14．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C．為奇函數(shù) D．方程僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，有，又，即，因此有，即，于是有，從而得函?shù)的周期，對于A，，A不正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，有，則，當(dāng)時(shí)，，，有，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，B正確；對于C，，函數(shù)為奇函數(shù)，C正確；對于D，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)、的部分圖象，如圖：方程的實(shí)根，即是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，因此方程僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，D正確.故選：BCD三、填空題15．對于函數(shù)，有以下四個(gè)命題：（1）對于任意實(shí)數(shù)，為偶函數(shù)；（2）有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件是；（3）的最小值為；（4）存在實(shí)數(shù)，使得方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.其中正確的命題的序號有__________________.【解析】（1）函數(shù)，定義域由為偶函數(shù)，該命題正確；（2）時(shí)，.設(shè)，則，，即故即，在上單調(diào)遞增，由（1）知為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故時(shí)，函數(shù)取得最小值，故存在時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，該命題錯(cuò)誤；（3）由（2）知，最小值時(shí)，函數(shù)取得最小值，該命題正確；（4）由（2）知，存在實(shí)數(shù)，使得有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，也是正確的.故答案為：（1）（3）（4）.16．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上的最大值為M，最小值為m，則______．【解析】設(shè)，定義域?yàn)?則，所以，即，所以為奇函數(shù)，所以在的最大值和最小值之和為0，令，則因?yàn)?，所以函?shù)的最大值為，最小值為，則，．∴．故答案為：2.17．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若，則的取值范圍為________．【解析】定義在R上函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意均為R上增函數(shù)，則為R上增函數(shù)，又，則不等式等價(jià)于，解之得故答案為：18．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是__________.【解析】由且，所以為偶函數(shù)，若時(shí)，，而，所以，故在上遞增，則上遞減，要使成立，即，可得.故答案為：19．已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是______．【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，則．故答案為：.20．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間上所有的解的和為___________.【解析】當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減到0，而是R上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從0增到，因，有，則函數(shù)的周期是2，且有，即圖象關(guān)于直線對稱，令，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，值域?yàn)椋覉D象關(guān)于直線對稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，如圖，觀察圖象得，函數(shù)和在上的圖象有8個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對稱，所以方程在區(qū)間上所有解的和為.故答案為：四、解答題21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)若，求的值；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，所以，即，則，符合題意，又，即，即，即，即，解得(2)解：因?yàn)?，所以在定義域上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在恒成立，等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，、，所以，所以，即；22．設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)若對任意實(shí)數(shù)x，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以對任意實(shí)數(shù)x，，即．所以，即，所以．（2）由（1）得，設(shè)，為上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)f(x)在上單調(diào)遞增．由，得，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以對任意實(shí)數(shù)x，恒成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（8，＋∞）23．已知函數(shù)，．(1)試判斷在其定義域上是否具有奇偶性，若有，請加以證明；(2)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)偶函數(shù)，證明如下：證明：函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)．(2)解：因?yàn)楹瘮?shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，即方程有唯一的實(shí)數(shù)解，即有唯一的實(shí)數(shù)解，化簡得，令，下面研究關(guān)于t的方程何時(shí)僅有一個(gè)正根.①當(dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（舍）當(dāng)，即時(shí)，，方程有異號的兩個(gè)實(shí)根，符合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為或.24．設(shè)函數(shù)（且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，且在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，故.（2）解：因?yàn)?，所以，解得或（舍?故，令，因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由，故，所以，，函數(shù)圖象的對稱軸為，①當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，解得，合乎題意.綜上所述，.25．已知函數(shù)（a為常數(shù)，且，）．請?jiān)谙旅嫒齻€(gè)函數(shù)：①；②；③中，選擇一個(gè)函數(shù)作為，使得具有奇偶性．(1)請寫出表達(dá)式，并求a的值；(2)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，若對任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）若選①：，則，定義域?yàn)?，若函?shù)為奇函數(shù)，則，故函數(shù)不能是奇函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，化簡可得，則不為常數(shù)，即函數(shù)不可能為偶函數(shù)，不合乎題意；若選②，，則.若函數(shù)為奇函數(shù)，則，不合乎題意；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，整理可得，則不為常數(shù)，不合乎題意.選③，，則，，當(dāng)為奇函數(shù)，則，即，可得；當(dāng)為偶函數(shù)，則，則，可得；（2）由（1）知，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，，因?yàn)椋?，由于函?shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，若對于任意的，都有成立，所以，設(shè)，，任取、，且，即，則，，則，，可得，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即.所以的取值范圍是；26．已知函數(shù)，(1)若是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，解得.(2)，當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增，，；，，故時(shí)一定有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.綜上，或.27．已知，(1)若函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的值；(2)（i）在（1）的條件下，判斷函數(shù)在上是否有零點(diǎn)，并說明理由：（ii）若函數(shù)在R上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所?而，所以，解得：.（2）（i）由（1）可得：.因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù).又，所以在上有唯一的零點(diǎn)0.（ii）.函數(shù)在R上有零點(diǎn)，即方程有根.因?yàn)樵赗上為減函數(shù)，，所以.由此可得：若函數(shù)在R上有零點(diǎn)，則的取值范圍為.28．已知實(shí)數(shù)大于0，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值并判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且，所以，解得，又，所以,；設(shè)，則，因?yàn)椋?，，所以，所以在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，所以，平方得，又因?yàn)閷θ我獠坏仁胶愠闪?，所以，解?29．設(shè)函數(shù)（且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)若，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)（且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則，所以，又時(shí)，，對任意的，