3．2.1古典概型[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解基本事件的特點.2.理解古典概型的定義.3.會應(yīng)用古典概型的概率公式解決實際問題．知識點一基本事件1．基本事件的定義一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，它們是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件．一次試驗中只能出現(xiàn)一個基本事件．如在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，出現(xiàn)“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”，共6個結(jié)果，這就是這一隨機試驗的6個基本事件．2．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．如在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，隨機事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”可以由基本事件“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)3點”“出現(xiàn)5點”共同組成．思考“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”是基本事件嗎？答不是．“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，兩枚正面向上，所以不是基本事件．知識點二古典概型1．古典概型的定義(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．2．古典概型的特點(1)有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件．(2)等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的．3．古典概型的概率公式對于任何事件A，P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).思考若一次試驗的結(jié)果所包含的基本事件的個數(shù)是有限個，則該試驗是古典概型嗎？答不是，還必須滿足每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．題型一基本事件的定義及特點例1一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一次摸出2個球．(1)共有多少個基本事件？(2)2個都是白球包含幾個基本事件？解方法一(1)采用列舉法．分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(其中(1,2)表示摸到1號、2號)．(2)“2個都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三個基本事件．方法二(1)采用列表法．設(shè)5個球的編號為a，b，c，d，e，其中a，b，c為白球，d，e為黑球．列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取2個球，因此每次所得的2個球不相同，而事件(b，a)與(a，b)是相同的事件，故共有10個基本事件．(2)“2個都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三個基本事件．反思與感悟1.求基本事件的基本方法是列舉法．基本事件具有以下特點：(1)不可能再分為更小的隨機事件；(2)兩個基本事件不可能同時發(fā)生．2．當(dāng)基本事件個數(shù)較多時還可應(yīng)用列表法或樹形圖法求解．跟蹤訓(xùn)練1做拋擲2顆骰子的試驗，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)．寫出：(1)試驗的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”；(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”；(4)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和等于7”．解(1)這個試驗的基本事件共有36個，列舉如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含以下10個基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下6個基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)“出現(xiàn)點數(shù)之和等于7”包含以下6個基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．題型二利用古典概型公式求概率例2從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三個數(shù)字中不含1和5}；(2)事件B＝{三個數(shù)字中含1或5}．解這個試驗的基本事件為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件總數(shù)n＝10.(1)因為事件A＝{(2,3,4)}，所以事件A包含的事件數(shù)m＝1.所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,10).(2)因為事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的基本事件數(shù)m＝9.所以P(B)＝eq\f(m,n)＝eq\f(9,10).反思與感悟1.古典概型概率求法步驟：(1)確定等可能基本事件總數(shù)n；(2)確定所求事件包含基本事件數(shù)m；(3)P(A)＝eq\f(m,n).2．使用古典概型概率公式應(yīng)注意：(1)首先確定是否為古典概型；(2)A事件是什么，包含的基本事件有哪些．跟蹤訓(xùn)練2將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．答案eq\f(5,6)解析基本事件共有36個．如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中滿足點數(shù)之和小于10的有30個．故所求概率為P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).題型三較復(fù)雜的古典概型的概率計算例3有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨便就坐時，(1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率；(3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．解將A，B，C，D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來：如上圖所示，本題中的等可能基本事件共有24個．(1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件A只包含1個基本事件，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設(shè)事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”，則事件B包含9個基本事件，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).(3)設(shè)事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上”，則事件C包含8個基本事件，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).反思與感悟1.當(dāng)事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的基本事件又不是太多時，我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來，這是進行列舉的常用方法．樹狀圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的基本事件，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況．2．在求概率時，若事件可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體基本事件用平面直角坐標(biāo)系中的點表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出基本事件的個數(shù)．故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來方便．跟蹤訓(xùn)練3用三種不同的顏色給如圖所示的3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色．(1)求3個矩形顏色都相同的概率；(2)求3個矩形顏色都不相同的概率；(3)求3個矩形顏色不都相同的概率．解設(shè)3個矩形從左到右依次為矩形1、矩形2、矩形3.用三種不同的顏色給題目中所示的3個矩形隨機涂色，可能的結(jié)果如圖所示．由圖知基本事件共有27個．(1)記“3個矩形顏色都相同”為事件A，由圖，知事件A的基本事件有3個，故P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).(2)記“3個矩形顏色都不相同”為事件B，由圖，知事件B的基本事件有6個，故P(B)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).(3)記“3個矩形顏色不都相同”為事件C.方法一由圖，知事件C的基本事件有24個，故P(C)＝eq\f(24,27)＝eq\f(8,9).方法二事件C與事件A互為對立事件，故P(C)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).古典概型的應(yīng)用例4(12分)甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率．審題指導(dǎo)(1)要求2名教師性別相同的概率，應(yīng)先寫出所有可能的結(jié)果，可以采用列舉法求解．(2)要求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率，應(yīng)先求出2名教師來自同一所學(xué)校的基本事件．規(guī)范解答(1)甲校2名男教師分別用A，B表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師用D表示，2名女教師分別用E，F(xiàn)表示．………1分從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：A，D，A，E，A，F(xiàn)，B，D，B，E，B，F(xiàn)，C，D，C，E，C，F(xiàn)→失分警示：若沒有寫出基本事件，此題不得分.共9種．…………………3分從中選出2名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，………………5分所以選出的2名教師性別相同的概率為P＝eq\f(4,9).……6分(2)從甲校和乙校報名的6名教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：A，B，A，C，A，D，A，E，A，F(xiàn)，B，C，B，D，B，E，B，F(xiàn)，C，D，C，E，C，F(xiàn)，D，E，D，F(xiàn)，E，F(xiàn)→失分警示：基本事件寫錯一個不得分.共15種．…………………8分從中選出2名教師來自同一所學(xué)校的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種，……10分所以選出的2名教師來自同一,所學(xué)校的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).→失分警示：結(jié)果不正確扣2分.…12分1．拋擲一枚骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的基本事件個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案C解析因為拋擲一枚骰子出現(xiàn)數(shù)字的基本事件有6個，它們分別是1,2,3,4,5,6，故出現(xiàn)偶數(shù)的基本事件是3個．2．在國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機排定的，則B先于A，C通過的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析用(A，B，C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6種，其中B先于A，C通過的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2種，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．從分別寫有A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，則這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)答案B解析可看作分成兩次抽取，第一次任取一張有5種方法，第二次從剩下的4張中再任取一張有4種方法，因為(B，C)與(C，B)是一樣的，故試驗的所有基本事件總數(shù)為10，兩字母恰好是按字母順序相鄰的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4種，故兩字母恰好是按字母順序相鄰的概率為P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六個，甲站在中間的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2個，所以甲站在中間的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).5．從2,3,8,9任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率＝________.答案eq\f(1,6)解析從2,3,8,9任取2個分別為記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，