第四章

整式的加減

章末復(fù)習(xí)整式的加減是代數(shù)式運(yùn)算的核心內(nèi)容，它承接了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念，通過(guò)合并同類項(xiàng)和去括號(hào)法則實(shí)現(xiàn)整式的化簡(jiǎn)與求值，是后續(xù)學(xué)習(xí)整式乘除、因式分解乃至方程、函數(shù)的重要基礎(chǔ)。本章的復(fù)習(xí)將圍繞整式的基本概念、同類項(xiàng)的識(shí)別、去括號(hào)法則、整式加減的運(yùn)算步驟及實(shí)際應(yīng)用展開(kāi)，旨在構(gòu)建完整的知識(shí)體系，提升運(yùn)算準(zhǔn)確性和問(wèn)題解決能力。一、知識(shí)框架梳理整式的基本概念單項(xiàng)式：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式（單獨(dú)的數(shù)或字母也是單項(xiàng)式），包含系數(shù)（數(shù)字因數(shù)）和次數(shù)（所有字母指數(shù)的和）。例如：\(-3x^2y\)的系數(shù)是\(-3\)，次數(shù)是\(3\)（\(x^2\)的指數(shù)\(2\)+\(y\)的指數(shù)\(1\)）。多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和，組成多項(xiàng)式的單項(xiàng)式稱為項(xiàng)（含符號(hào)），不含字母的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，次數(shù)為最高次項(xiàng)的次數(shù)。例如：\(2x^3-5x+1\)是三次三項(xiàng)式，項(xiàng)為\(2x^3\)、\(-5x\)、\(1\)，常數(shù)項(xiàng)是\(1\)。整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式（分母不含字母），與分式（分母含字母）形成對(duì)比。同類項(xiàng)與合并同類項(xiàng)同類項(xiàng)：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)）。例如：\(3a^2b\)與\(-5a^2b\)是同類項(xiàng)，\(7\)與\(-2\)是同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。例如：\(2x^2+5x^2=7x^2\)，\(3xy-2xy=xy\)。去括號(hào)法則括號(hào)前是“\(+\)”號(hào)：去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)不變，即\(a+(b+c)=a+b+c\)。括號(hào)前是“\(-\)”號(hào)：去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)改變，即\(a-(b+c)=a-b-c\)。括號(hào)前有數(shù)字因數(shù)：先將數(shù)字與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)相乘，再去括號(hào)，即\(a(b-c)=ab-ac\)，\(-a(b-c)=-ab+ac\)。整式的加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)：去括號(hào)和合并同類項(xiàng)的綜合運(yùn)用。步驟：寫(xiě)出整式加減算式（多項(xiàng)式需加括號(hào)）→去括號(hào)（按法則處理符號(hào)）→合并同類項(xiàng)（化簡(jiǎn)至無(wú)同類項(xiàng)）→整理結(jié)果（按降冪或升冪排列）。整式加減的應(yīng)用化簡(jiǎn)求值：先化簡(jiǎn)整式，再代入字母取值計(jì)算。幾何問(wèn)題：表示圖形的周長(zhǎng)、面積、體積等，通過(guò)整式加減分析數(shù)量關(guān)系。實(shí)際問(wèn)題：用整式表示數(shù)量關(guān)系（如路程、價(jià)格、長(zhǎng)度），通過(guò)加減運(yùn)算解決問(wèn)題。二、核心知識(shí)點(diǎn)解析同類項(xiàng)的識(shí)別與合并同類項(xiàng)的識(shí)別是合并同類項(xiàng)的前提，需同時(shí)滿足“字母相同”和“相同字母指數(shù)相同”兩個(gè)條件，與系數(shù)無(wú)關(guān)。合并同類項(xiàng)時(shí)，需先標(biāo)記同類項(xiàng)，再按系數(shù)相加的規(guī)則合并，避免遺漏或誤合并非同類項(xiàng)。示例：合并多項(xiàng)式\(4x^2y-3xy^2+x^2y-2xy^2\)中的同類項(xiàng)。解：標(biāo)記同類項(xiàng)\(4x^2y\)與\(x^2y\)、\(-3xy^2\)與\(-2xy^2\)，合并得\((4+1)x^2y+(-3-2)xy^2=5x^2y-5xy^2\)。去括號(hào)的符號(hào)處理去括號(hào)的核心是根據(jù)括號(hào)前的符號(hào)調(diào)整括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)：“\(+\)”號(hào)不變，“\(-\)”號(hào)全變。多層括號(hào)需逐層處理（由內(nèi)向外或由外向內(nèi)），確保每一步符號(hào)準(zhǔn)確。示例：化簡(jiǎn)\(2x-[3x-(x-1)+2]\)。解：由內(nèi)向外去括號(hào)：第一步去小括號(hào)：\(2x-[3x-x+1+2]\)；第二步合并中括號(hào)內(nèi)同類項(xiàng)：\(2x-[2x+3]\)；第三步去中括號(hào)：\(2x-2x-3=-3\)。整式加減的完整流程整式加減需嚴(yán)格遵循“寫(xiě)式→去括號(hào)→合并同類項(xiàng)→整理”的步驟，尤其注意多項(xiàng)式參與運(yùn)算時(shí)需加括號(hào)，避免符號(hào)錯(cuò)誤。示例：計(jì)算\((3a^2-2a+1)-(2a^2-3a+5)\)。解：步驟1：寫(xiě)算式（多項(xiàng)式加括號(hào)）：\((3a^2-2a+1)-(2a^2-3a+5)\)；步驟2：去括號(hào)（減式各項(xiàng)變號(hào)）：\(3a^2-2a+1-2a^2+3a-5\)；步驟3：合并同類項(xiàng)：\((3a^2-2a^2)+(-2a+3a)+(1-5)=a^2+a-4\)；步驟4：整理結(jié)果（按\(a\)的降冪排列）：\(a^2+a-4\)。化簡(jiǎn)求值的技巧化簡(jiǎn)求值需先通過(guò)去括號(hào)和合并同類項(xiàng)將整式化簡(jiǎn)，再代入字母取值計(jì)算，可大幅減少運(yùn)算量。代入時(shí)注意負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)需加括號(hào)，遵循運(yùn)算順序。示例：先化簡(jiǎn)，再求值\(3(2x^2y-xy^2)-2(3x^2y-2xy^2)\)，其中\(zhòng)(x=\frac{1}{2}\)，\(y=-1\)。解：化簡(jiǎn)得\(6x^2y-3xy^2-6x^2y+4xy^2=xy^2\)，代入得\(\frac{1}{2}??(-1)^2=\frac{1}{2}\)。三、易錯(cuò)點(diǎn)警示與規(guī)避概念混淆類錯(cuò)誤錯(cuò)誤表現(xiàn)：將單項(xiàng)式的次數(shù)誤認(rèn)為字母的個(gè)數(shù)（如\(3x^2y\)的次數(shù)誤算為\(2\)，正確為\(3\)）；將多項(xiàng)式的項(xiàng)忽略符號(hào)（如\(x^2-2x+3\)的項(xiàng)誤寫(xiě)為\(x^2\)、\(2x\)、\(3\)，正確為\(x^2\)、\(-2x\)、\(3\)）；混淆同類項(xiàng)的判定條件（如將\(2x^2y\)與\(3xy^2\)誤認(rèn)為同類項(xiàng)，因相同字母指數(shù)不同）。規(guī)避方法：牢記單項(xiàng)式次數(shù)是“指數(shù)和”，多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)含符號(hào)；列表對(duì)比同類項(xiàng)的字母和指數(shù)，確保“雙相同”。運(yùn)算符號(hào)類錯(cuò)誤錯(cuò)誤表現(xiàn)：去括號(hào)時(shí)“\(-\)”號(hào)后部分項(xiàng)不變號(hào)（如\(a-(b-c)\)誤寫(xiě)成\(a-b-c\)，正確為\(a-b+c\)）；多項(xiàng)式相減時(shí)未給減式加括號(hào)（如“\(x^2-1\)減\(x-2\)”誤寫(xiě)成\(x^2-1-x-2\)，正確為\((x^2-1)-(x-2)\)）。規(guī)避方法：去括號(hào)前標(biāo)記括號(hào)類型，“\(-\)”號(hào)時(shí)默念“每項(xiàng)變號(hào)”；多項(xiàng)式加減必須加括號(hào)，明確運(yùn)算邊界。合并與代入類錯(cuò)誤錯(cuò)誤表現(xiàn)：合并同類項(xiàng)時(shí)改變字母或指數(shù)（如\(2x+3x\)誤寫(xiě)成\(5x^2\)）；代入求值時(shí)未化簡(jiǎn)直接計(jì)算（如代入原式\((3x^2-2x)-(2x^2+x)\)，步驟繁瑣易出錯(cuò)）；代入負(fù)數(shù)時(shí)未加括號(hào)（如\(x=-2\)時(shí)，\(x^2\)誤算為\(-4\)，正確為\((-2)^2=4\)）。規(guī)避方法：合并時(shí)強(qiáng)調(diào)“字母和指數(shù)不變，僅系數(shù)相加”；嚴(yán)格遵循“先化簡(jiǎn)，再求值”原則；代入負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí)強(qiáng)制加括號(hào)，明確運(yùn)算順序。四、典型例題分類解析概念辨析題例：下列說(shuō)法正確的是（

）A.\(3x^2y\)的次數(shù)是\(2\)B.\(x+\frac{1}{x}\)是多項(xiàng)式C.\(5\)是單項(xiàng)式，次數(shù)為\(0\)D.\(2x^2\)與\(3x\)是同類項(xiàng)解：A錯(cuò)誤（次數(shù)為\(3\)）；B錯(cuò)誤（\(\frac{1}{x}\)是分式）；C正確（單獨(dú)的數(shù)是單項(xiàng)式，次數(shù)為\(0\)）；D錯(cuò)誤（相同字母指數(shù)不同）。答案：C。整式化簡(jiǎn)題例：化簡(jiǎn)\(2(a^2b-3ab^2)-3(a^2b-2ab^2)+ab\)。解：去括號(hào)得\(2a^2b-6ab^2-3a^2b+6ab^2+ab\)，合并同類項(xiàng)得\((2a^2b-3a^2b)+(-6ab^2+6ab^2)+ab=-a^2b+ab\)?；?jiǎn)求值題例：先化簡(jiǎn)，再求值\((2x^2-xy+7)-2(x^2+xy-1)\)，其中\(zhòng)(x=2\)，\(y=-1\)。解：化簡(jiǎn)得\(2x^2-xy+7-2x^2-2xy+2=-3xy+9\)，代入\(x=2\)，\(y=-1\)得\(-3??2??(-1)+9=6+9=15\)。幾何應(yīng)用題例：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\((3x+2y)\)，寬比長(zhǎng)短\((x-y)\)，（1）用含\(x\)、\(y\)的整式表示長(zhǎng)方形的寬和周長(zhǎng)；（2）若\(x=1\)，\(y=2\)，求周長(zhǎng)。解：（1）寬=\((3x+2y)-(x-y)=3x+2y-x+y=2x+3y\)，周長(zhǎng)=\(2??[(3x+2y)+(2x+3y)]=2??(5x+5y)=10x+10y\)；（2）代入得\(10??1+10??2=30\)。實(shí)際情境題例：某商店原有商品\(a\)件，第一天售出\(\frac{1}{3}a\)件，第二天進(jìn)貨\(2b\)件，第三天又售出剩下的一半，用整式表示第三天售出后剩余的商品數(shù)量。若\(a=30\)，\(b=5\)，求剩余數(shù)量。解：第一天剩余\(a-\frac{1}{3}a=\frac{2}{3}a\)，第二天剩余\(\frac{2}{3}a+2b\)，第三天售出\(\frac{1}{2}(\frac{2}{3}a+2b)=\frac{1}{3}a+b\)，剩余數(shù)量=\((\frac{2}{3}a+2b)-(\frac{1}{3}a+b)=\frac{1}{3}a+b\)，代入得\(\frac{1}{3}??30+5=15\)。五、復(fù)習(xí)總結(jié)與提升建議知識(shí)關(guān)聯(lián)與遷移：整式的加減是“數(shù)的加減”到“式的加減”的抽象，其法則（如去括號(hào)、合并同類項(xiàng)）與數(shù)的運(yùn)算律（分配律、交換律）一脈相承。理解這一聯(lián)系，可降低學(xué)習(xí)難度，例如：合并同類項(xiàng)本質(zhì)是分配律的逆用（\(ac+bc=(a+b)c\)）。能力培養(yǎng)重點(diǎn)：運(yùn)算準(zhǔn)確性：通過(guò)每日10分鐘基礎(chǔ)題練習(xí)，強(qiáng)化符號(hào)處理和系數(shù)計(jì)算能力；邏輯規(guī)范性：按步驟書(shū)寫(xiě)整式加減過(guò)程，避免跳步導(dǎo)致的錯(cuò)誤；建模能力：將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為整式，通過(guò)加減運(yùn)算解決問(wèn)題。拓展與應(yīng)用：整式加減在密碼學(xué)（字母替換加密）、編程（變量運(yùn)算）、幾何證明（線段和差）等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。例如：用整式表示圖形面積差，可快速比較大小或求解未知量。本章的核心是通過(guò)去括號(hào)和合并同類項(xiàng)實(shí)現(xiàn)整式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別同類項(xiàng)和處理符號(hào)變化。復(fù)習(xí)時(shí)需結(jié)合概念辨析、錯(cuò)題整理和綜合應(yīng)用，確保對(duì)知識(shí)的理解從“記憶”上升到“運(yùn)用”，為后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。2024人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

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時(shí)間：

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章末復(fù)習(xí)第四章

整式的加減aiTujmiaNg1.加深本章學(xué)過(guò)的有關(guān)概念和運(yùn)算法則的認(rèn)識(shí)和理解.2.理清本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升本章知識(shí)運(yùn)用的方法技巧.3.進(jìn)一步學(xué)會(huì)運(yùn)用整式的加減表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系.

同學(xué)們，我們學(xué)完整式的加減這章后，你的印象如何？掌握得怎么樣？還有哪些不夠清楚？下面我們一起來(lái)進(jìn)行本章的復(fù)習(xí)和小結(jié).新知導(dǎo)入列式表示數(shù)量關(guān)系單項(xiàng)式多項(xiàng)式整式合并同類項(xiàng)去括號(hào)整式加減運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

表示數(shù)或字母的積的式子叫做單項(xiàng)式，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式次數(shù).知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)復(fù)習(xí)單項(xiàng)式1.對(duì)于式子-7πx2yz，下列說(shuō)法正確的是（

）A.它的系數(shù)為-7 B.它的次數(shù)為3C.它的次數(shù)為5 D.它的系數(shù)為-7πD針對(duì)訓(xùn)練2.指出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).解：它的系數(shù)為

，次數(shù)為6.

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)2多項(xiàng)式和整式1.多項(xiàng)式-3x2-6xy+1的各項(xiàng)分別為（

）A.-3x2，6xy，1 B.-3x2，-6xy，1C.-3x2，-6xy，-1 D.3x2，6xy，1B針對(duì)訓(xùn)練2.若多項(xiàng)式(n-2)xy2+x2y|n|+1是關(guān)于x，y的四次三項(xiàng)式，則n=______.-2

所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的法則是合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變.知識(shí)點(diǎn)3合并同類項(xiàng)計(jì)算：2a2-3ab+4b2-5ab-6b2.解：原式=2a2+(-3-5)ab+(4-6)b2=2a2-8ab-2b2.針對(duì)訓(xùn)練

去括號(hào)的法則是如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同，如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反.知識(shí)點(diǎn)4去括號(hào)解：原式=4x2-5xy-y2-2x2+6xy-y2-y2=2x2+xy-y2計(jì)算：(4x2-5xy)-(y2+2x2)+2(3xy-y2-y2)針對(duì)訓(xùn)練

整式加減計(jì)算的一般步驟是如果有括號(hào)的先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

求整式的值的一般步驟是：先將式子化簡(jiǎn)，再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)5整式的加減解:a2b是單項(xiàng)式，系數(shù)為，次數(shù)為3；復(fù)習(xí)鞏固1.下列整式中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？是單項(xiàng)式的指出系數(shù)和次數(shù)，是多項(xiàng)式的指出項(xiàng)和次數(shù)：1.下列整式中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？是單項(xiàng)式的指出系數(shù)和次數(shù)，是多項(xiàng)式的指出項(xiàng)和次數(shù)：x2+y2-1是多項(xiàng)式，共有x2，y2，-1三項(xiàng)，次數(shù)為2;x是單項(xiàng)式，系數(shù)為1，次數(shù)為1;解:是單項(xiàng)式，系數(shù)為，次數(shù)為6;3x2-y+3xy2+x4-1是多項(xiàng)式，有3x2,-y,3xy2,x4,-1五項(xiàng)，次數(shù)為4；32t3是單項(xiàng)式，系數(shù)為32,次數(shù)為3;2x-y是多項(xiàng)式，有2x，-y兩項(xiàng)，次數(shù)為1.1.下列整式中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？是單項(xiàng)式的指出系數(shù)和次數(shù)，是多項(xiàng)式的指出項(xiàng)和次數(shù)：2.寫(xiě)出一個(gè)單項(xiàng)式，使它與多項(xiàng)式m+2n2的和為單項(xiàng)式.解：-m(或-2n2).3.計(jì)算：

（1）x2y-3x2y

（2）解：原式=-2x2y原式=-a2bc(3)(4)

5x4+3x2y-8-3x2y-x4-2(5)

7ab-3a2b2+7+8ab2+2a2b2-3-5ab原式=原式=4x4-10原式=-a2b2+8ab2+2ab+44.計(jì)算：

(1)(4a3b-10b3)+(-3a2b2+10b3)(2)

(4x2y-5xy2)-(3x2y-4xy2)解：原式=4a3b-10b3-3a2b2+10b3

=4a3b-3a2b2原式=4x2y-5xy2-3x2y+4xy2=x2y-xy2

(3)3(2a2+4b)+3(-5a2-2b)(4)

3(x2-2xy)-4(2x2-xy+1)解：原式=6a2+12b-15a2-6b

=-9a2+6b原式=3x2-6xy-8x2+4xy-4=-5x2-2xy-4

(5)5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)](6)

3x2-[5x-(x-3)+2x2)]解：原式=5a2-a2-5a2+2a+2a2-6a

=

a2-4a原式=3x2-5x+x-3-2x2=x2-x-35.先化簡(jiǎn)，再求值：（1）5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x，其中x=-3；解：(1)5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x

=(5-3-2)x2+(6-5)x+(4-5)=x-1.

當(dāng)x=-3時(shí),原式=-3-1=-4.（2）

，其中a=-2，b=2.

(2)=2a2b+ab2-3a2b+3-2ab2-1=-a2b-ab2+2當(dāng)a=-2，b=2時(shí)，原式=-(-2)2×2-(-2)×22+2=2.綜合運(yùn)用6.（1）列式表示比a的5倍大4的數(shù)與比a的2倍小3的數(shù)，并計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的和;(2)列式表示比b的7倍小3的數(shù)與比b的6倍大5的數(shù)，并計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的差.解:（1）5a+4，2a-3；(5a+4)+(2a-3)=7a+1.（2）7b-3，6b+5；(7b-3)-(6b+5)=7b-3-6b-5=b-8.7.某輪船先順?biāo)叫?h，后逆水航行1.5h，已知輪船在靜水中的速度是akm/h，水流速度是bkm/h，輪船共航行多少千米？解：由3(a+b)+1.5(a-b)=3a+3b+1.5a-1.5b

=4.5a+1.5b可知，輪船共航行(4.5a+1.5b)km.8.如圖，邊長(zhǎng)相等的小正方形組成一組有規(guī)律的圖案，其中部分小正方形涂有顏色.按照這樣的規(guī)律，第4個(gè)圖案中有多少個(gè)涂色的小正方形？第n個(gè)圖案呢？（1）（2）（3）······解：第4個(gè)圖案中有17個(gè)涂色的小正方形，第n個(gè)圖案中有(4n+1)個(gè)涂色的小正方形.拓廣探索9.用代數(shù)式表示十位上的數(shù)字是a、個(gè)位上的數(shù)字是b的兩位數(shù)，再把這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，計(jì)算所得數(shù)與原數(shù)的和.這個(gè)和能被11整除嗎？解:十位上的數(shù)字是a、個(gè)位上的數(shù)字是b的兩位數(shù)是10a+b；把這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置后的兩位數(shù)是10b+a.它們的和是(10a+b)+(10b+a)=11a+11b.因?yàn)?11a+11b)÷11=a+b，a，b為自然數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)的和能被11整除.解：（1