第第頁(yè)11.圖①是一臺(tái)可折疊的床頭伸縮壁燈，圖②是其示意圖.已知調(diào)整前、后的燈桿AB∥CD，調(diào)整前臂桿之間的夾角∠OAB=75°，調(diào)整后臂桿之間的夾角∠OCD=100°，則調(diào)整前、后同一臂桿變化的角度∠AOC=°.12.「2025河北唐山九中月考」如圖,AD是△ABC的角平分線,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=50°,點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn),當(dāng)△BDF為直角三角形時(shí)，∠ADF的度數(shù)為.三、解答題(共40分)13.分類討論「2025山東德州期中」(8分)在△ABC中,已知AB=14,BC=8,AC=2m-2.(1)求m的取值范圍.(2)若△ABC是等腰三角形,求△ABC的周長(zhǎng).14.(8分)如圖,在△ABC中,∠B+∠C=90°,AD是△ABC的中線,AE是△ABC的高,F為AD上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,且AE=4FG.(1)求證:△ABC是直角三角形.(2)若∠B=∠BAD,∠C=60°,求∠DFG的度數(shù).(3)若DC=5,FG=6515.(12分)如圖,在△ABC中,P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且不與B,C重合,PD⊥AB,PE⊥AC.(1)如圖1,已知∠BAC=80°,∠B=∠C.①∠DPE=°.②若∠APB=3∠PAC,則∠APD=°.(2)如圖2,已知AB=AC,作BF⊥AC于F,試探究BF,PE,PD之間的關(guān)系.16.「2025河南平頂山期末」(12分)如圖,點(diǎn)C,D分別在射線OA,OB上,CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長(zhǎng)線與∠ODC的平分線交于點(diǎn)P.(1)如圖1,當(dāng)∠AOB=∠OCD=60°時(shí),∠P=°.(2)如圖2,當(dāng)∠AOB=60°,點(diǎn)C,D在射線OA,OB上任意移動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)O重合)，∠P的大小是否變化?若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出∠P的度數(shù).(3)如圖3,若.∠OCD參考答案一、選擇題(每小題5分，共40分)1.「2024陜西中考」如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，則圖中的直角三角形共有(C)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)2.如圖,D,E分別為AC,BD的中點(diǎn),若△ABC的面積為24,則△ADE的面積為(B)A.3 B.6 C.9 D.123.「2025廣東肇慶期中」如圖,AD是△ABC的中線,已知△ABD的周長(zhǎng)為28cm,AB比AC長(zhǎng)6cm,則△ACD的周長(zhǎng)為(C)A.31cm B.25cmC.22cm D.19cm4.跨凸透鏡「2025四川成都期末」如圖，一束平行于主光軸(圖中的虛線)的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心O的光線相交于點(diǎn)P，F(xiàn)為焦點(diǎn).若∠1=150°,∠2=25°,則∠3的度數(shù)為(C)A.75° B.65° C.55° D.45°5.「2025重慶期中」如圖,∠BAC=90°,且AD,AE,BF分別是△ABC的高線，中線和角平分線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(D)A.∠BAD=∠C B.∠ABF=∠CBFC.S6.「2025北京順義期末」如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC,交AC于點(diǎn)E.若∠BAD=34°,則∠AEB的度數(shù)為(C)A.56° B.60°C.62° D.65°7.「2025安徽亳州期中」如圖,在△ABC中,E,F分別是AB,AC上的點(diǎn),且EF∥BC,AD是∠BAC的平分線,分別交EF,BC于點(diǎn)H,D,則∠1、∠2和∠3之間的數(shù)量關(guān)系為(C)A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=2∠2+∠3C.∠1+∠3=2∠2 D.∠1+∠2=2∠38.「2025江蘇蘇州期中」如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)E,F在AB上,點(diǎn)G在DF的延長(zhǎng)線上,且∠B=∠DFB,∠G=∠DEG,若∠BEG=29°,則∠BDE的度數(shù)為(B)A.61° B.58°C.65.5° D.59.5°二、填空題(每小題5分，共20分)9.「2023吉林中考」鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是三角形具有穩(wěn)定性.10.「2025福建廈門期末」若一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為4，7，x，則x的值可以為6(答案不唯一，滿足3<x<11即可).(寫(xiě)出一種情況即可)11.圖①是一臺(tái)可折疊的床頭伸縮壁燈，圖②是其示意圖.已知調(diào)整前、后的燈桿AB∥CD，調(diào)整前臂桿之間的夾角∠OAB=75°，調(diào)整后臂桿之間的夾角∠OCD=100°，則調(diào)整前、后同一臂桿變化的角度∠AOC=25°.12.「2025河北唐山九中月考」如圖,AD是△ABC的角平分線,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=50°,點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn),當(dāng)△BDF為直角三角形時(shí),∠ADF的度數(shù)為20°或60°.三、解答題(共40分)13.分類討論「2025山東德州期中」(8分)在△ABC中,已知AB=14,BC=8,AC=2m-2.(1)求m的取值范圍.(2)若△ABC是等腰三角形,求△ABC的周長(zhǎng).14.(8分)如圖,在△ABC中,∠B+∠C=90°,AD是△ABC的中線,AE是△ABC的高,F為AD上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,且AE=4FG.(1)求證:△ABC是直角三角形.(2)若∠B=∠BAD,∠C=60°,求∠DFG的度數(shù).(3)若DC=5,FG=65解析答案(1)證明:∵∠B+∠C=90°,∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°,∴△ABC是直角三角形.(2)∵∠C=60°,∠BAC=90°,∴∠B=∠BAD=30°,∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°,∵FG⊥BC,∴∠FGD=90°,∴∠DFG=30°.(3)∵AE是△ABC的高,∴∠AEC=90°,∵∴∵AD是△ABC的中線,DC=5,∴15.(12分)如圖,在△ABC中,P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且不與B,C重合,PD⊥AB,PE⊥AC.(1)如圖1,已知∠BAC=80°,∠B=∠C.①∠DPE=°.②若∠APB=3∠PAC,則∠APD=°.(2)如圖2,已知AB=AC,作BF⊥AC于F,試探究BF,PE,PD之間的關(guān)系.16.「2025河南平頂山期末」(12分)如圖,點(diǎn)C,D分別在射線OA,OB上,CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長(zhǎng)線