第27頁（共27頁）2021-2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之相等關系與不等關系一．選擇題（共11小題）1．（2025?新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}2．（2025?北京）已知a＞0，b＞0，則（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B．1aC．a(chǎn)+b＞ab D．3．（2024?新高考Ⅰ）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3} C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}4．（2024?上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+b2＞a+c2 B．a(chǎn)2+b＞a2+c C．a(chǎn)b2＞ac2 D．a(chǎn)2b＞a2c5．（2023?全國）不等式1xA．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，126．（2022?上海）若實數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)+b＞2ab B．a(chǎn)+b＜2ab C．a(chǎn)2+2b＞2ab D．a(chǎn)2+27．（2022?上海）若a＞b＞c＞d，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)+c＞b+d C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)d＞bc8．（2022?全國）不等式1x2-2A．（﹣1，0）∪（0，13） B．（﹣3，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（13，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+9．（2021?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+10．（2021?天津）已知a∈R，則“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2021?上海）已知兩兩不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同時滿足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪個選項恒成立（）A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x2二．多選題（共1小題）（多選）12．（2022?新高考Ⅱ）若x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1三．填空題（共9小題）13．（2025?上海）不等式x-1x-3＜14．（2025?上海）設a，b＞0，a+1b=1，則b+1a的最小值為15．（2025?上海）不等式xx-1＜0的解集為16．（2024?上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值為．17．（2023?上海）已知正實數(shù)a、b滿足a+4b＝1，則ab的最大值為．18．（2022?上海）不等式x-1x＜0的解集為19．（2021?上海）不等式2x+5x-2＜1的解集為20．（2021?天津）已知a＞0，b＞0，則1a+ab2+b的最小值為21．（2021?上海）已知函數(shù)f（x）＝3x+a3x+1（a＞0）的最小值為5，則a＝四．解答題（共1小題）22．（2022?上海）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進新一輪架空線入地工程的建設．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCD，AB＝30m，AD＝15m．為保護D處的一棵古樹，有關部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若架空線入線口為AB邊上的點E，出線口為CD邊上的點F，施工要求EF與封閉區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護生態(tài)區(qū)．（計算長度精確到0.1m，計算面積精確到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的長；（2）當入線口E在AB上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

2021-2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之相等關系與不等關系參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）題號1234567891011答案CCABCABCCAA二．多選題（共1小題）題號12答案BC一．選擇題（共11小題）1．（2025?新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}【考點】分式不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】移項通分化簡后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求解即可．【解答】解：因為x-4x-所以x-4-2(x所以(x+2)(x-1)≤0所以x-4x-1≥2的解集為{x|﹣故選：C．【點評】本題考查分式不等式的求解，屬于基礎題．2．（2025?北京）已知a＞0，b＞0，則（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B．1aC．a(chǎn)+b＞ab D．【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)重要不等式及基本不等式，即可求解．【解答】解：因為a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立，所以A選項錯誤；取a=b=13，則1a因為a+b≥因為1a+1故選：C．【點評】本題考查重要不等式及基本不等式的應用，屬基礎題．3．（2024?新高考Ⅰ）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3} C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}【考點】指、對數(shù)不等式的解法；求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，（﹣3）3＝﹣27，（﹣1）3＝﹣1，03＝0，23＝8，33＝27，則A∩B＝{﹣1，0}．故選：A．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．4．（2024?上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+b2＞a+c2 B．a(chǎn)2+b＞a2+c C．a(chǎn)b2＞ac2 D．a(chǎn)2b＞a2c【考點】不等關系與不等式；等式與不等式的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對于A，若|b|＜|c|，則b2＜c2，選項不成立，故A錯誤；對于B，a2＝a2，b＞c，由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正確．對于C、D，若a＝0，則選項不成立，故C、D錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎題．5．（2023?全國）不等式1xA．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，12【考點】其他不等式的解法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結合不等式的解法，即可求解．【解答】解：1x則1x-1x-1=故原不等式的解集為（0，1）．故選：C．【點評】本題主要考查不等式的解法，屬于基礎題．6．（2022?上海）若實數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)+b＞2ab B．a(chǎn)+b＜2ab C．a(chǎn)2+2b＞2ab D．a(chǎn)2+2【考點】基本不等式及其應用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】A【分析】利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解．【解答】解：因為a＞b＞0，所以a+b≥2ab，當且僅當a＝b時取等號，又a＞b＞0，所以a+b＞2ab，故A正確，a2+2b≥2a2×2b=2ab故選：A．【點評】本題考查了基本不等式的應用，考查了學生的理解能力，屬于基礎題．7．（2022?上海）若a＞b＞c＞d，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)+c＞b+d C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)d＞bc【考點】等式與不等式的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，滿足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A錯誤，對于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正確，對于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，滿足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C錯誤，對于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，滿足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關鍵，屬于基礎題．8．（2022?全國）不等式1x2-2A．（﹣1，0）∪（0，13） B．（﹣3，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（13，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+【考點】其他不等式的解法．【專題】對應思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】將分式不等式化簡，求解即可．【解答】解：不等式1x2-2即1﹣2x﹣3x2＜0，x≠0，即3x2+2x﹣1＞0，x≠0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（13，+故選：C．【點評】本題考查不等式的解法，屬于基礎題．9．（2021?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【考點】基本不等式及其應用；函數(shù)的最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可判斷選項A，根據(jù)基本不等式以及取最值的條件，即可判斷選項B，利用基本不等式求出最值，即可判斷選項C，利用特殊值驗證，即可判斷選項D．【解答】解：對于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函數(shù)的最小值為3，故選項A錯誤；對于B，因為0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+4當且僅當|sinx|=4|sinx|，即因為|sinx|≤1，所以等號取不到，所以y＝|sinx|+4|sinx|對于C，因為2x＞0，所以y＝2x+22﹣x=2當且僅當2x＝2，即x＝1時取等號，所以函數(shù)的最小值為4，故選項C正確；對于D，因為當x=1e時，所以函數(shù)的最小值不是4，故選項D錯誤．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)最值的求解，涉及了二次函數(shù)最值的求解，利用基本不等式求解最值的應用，在使用基本不等式求解最值時要滿足三個條件：一正、二定、三相等，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．10．（2021?天津）已知a∈R，則“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】不等關系與不等式；充分條件與必要條件．【專題】整體思想；定義法；簡易邏輯；運算求解．【答案】A【分析】a2＞36?a＞6或a＜﹣6，根據(jù)充分必要的定義判斷即可得出答案．【解答】解：①由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分條件，②由a2＞36，得a＞6或a＜﹣6，所以“a＞6”是“a2＞36”的不必要條件，故a＞6是a2＞36的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題考查了充分必要條件的定義，一元二次不等式的解法，屬于基礎題．11．（2021?上海）已知兩兩不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同時滿足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪個選項恒成立（）A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x2【考點】等式與不等式的性質(zhì)．【專題】計算題；方程思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】A【分析】設x1=m-ay1=m+a，x2=m-by2=m+b，x3=m-cy3=m+c，根據(jù)題意，則有a2+c2=2b2m2＞b2，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c），通過求解（2b）2﹣（a+c）2＞0，可得x1+x3﹣2x2【解答】解：設x1+y1＝x2+y2＝x3+y3＝2m，x1=m-a根據(jù)題意，應該有a≠且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2），則有a2+c2＝2b2，則x1+x3﹣2x2＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），因為（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，所以x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，所以A項正確，B錯誤．x1x3-x22=（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m-(a-c)2因為不知道m(xù)的正負，所以該式子的正負無法恒定．故選：A．【點評】本題主要考查不等關系與不等式的應用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二．多選題（共1小題）（多選）12．（2022?新高考Ⅱ）若x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【考點】運用基本不等式求最值．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】BC【分析】方法一：原等式可化為，（x-y2）2+(32y)2=1，進行三角代換，令x-y2=cosθ方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3(x+y2)2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y2【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x-y2）2+(令x-y2∴x+y=3sinθ+cosθ=2sin（θ+π6）∈[﹣∵x2+y2=(33sinθ+cosθ)故C對，D錯，方法二：對于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3(x+y∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A錯，B對，對于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy≤x∴x2+y2≤2，故C對；∵﹣xy≤x2+y22，∴1＝x2+y2﹣xy≤x∴x2+y故選：BC．【點評】本題主要考查了三角代換求最值，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了學生分析問題，轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．三．填空題（共9小題）13．（2025?上海）不等式x-1x-3＜0的解集為【考點】分式不等式．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將分式不等式等價轉(zhuǎn)化后，由一元二次不等式的解法求出解集即可．【解答】解：不等式x-1x-3＜0的等價于（x﹣1解得1＜x＜3，所以不等式的解集是（1，3）故答案為（1，3）【點評】本題考查簡單的分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想．14．（2025?上海）設a，b＞0，a+1b=1，則b+1a的最小值為【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】4．【分析】根據(jù)題意，b+1a=（a+1b）（b【解答】解：由已知，b+1a=（a+1b）（b+1a）＝2+ab+1ab≥2+2ab?1ab所以b+1a的最小值為故答案為：4．【點評】本題主要考查用基本不等式求最值，屬于基礎題．15．（2025?上海）不等式xx-1＜0的解集為（0，【考點】分式不等式．【專題】不等式的解法及應用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由不等式xx-1＜0可得x（x﹣【解答】解：由不等式xx-1＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜故答案為：（0，1）．【點評】本題主要考查分式不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．16．（2024?上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值為12．【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】12．【分析】由已知結合基本不等式即可求解．【解答】解：由ab＝1，4a2+9b2≥2?2a?3b＝12，當且僅當2a＝3b，即a=62，b所以4a2+9b2的最小值為12．故答案為：12．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．17．（2023?上海）已知正實數(shù)a、b滿足a+4b＝1，則ab的最大值為116【考點】基本不等式及其應用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用基本不等式求出結果．【解答】解：正實數(shù)a、b滿足a+4b＝1，則ab=14×a?4故答案為：116【點評】本題考查的知識要點：基本不等式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題和易錯題．18．（2022?上海）不等式x-1x＜0的解集為（0，【考點】其他不等式的解法．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（0，1）．【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解．【解答】解：由題意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集（0，1）．故答案為：（0，1）．【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎題．19．（2021?上海）不等式2x+5x-2＜1的解集為（﹣【考點】其他不等式的解法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由已知進行轉(zhuǎn)化x+7x【解答】解：2x+5x-2＜1?解得，﹣7＜x＜2．故答案為：（﹣7，2）．【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎題．20．（2021?天津）已知a＞0，b＞0，則1a+ab2+b的最小值為【考點】基本不等式及其應用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】22．【分析】法一：先利用基本不等式得到1a+ab2+b≥2b+b，再利用基本不等式得到2法二：利用均值不等式，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：法一：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b≥2當且僅當1a=ab2且b=2∴1a+ab2法二：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b當且僅當1a=ab2=∴1a+ab2故答案為：22．【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應用，注意兩次利用基本不等式取等號的條件同時成立，屬于中檔題．21．（2021?上海）已知函數(shù)f（x）＝3x+a3x+1（a＞0）的最小值為5，則a＝【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；構造法；不等式；邏輯思維；運算求解．【答案】9【分析】利用基本不等式求最值需要滿足“一正、二定、三相等”，該題只需將函數(shù)解析式變形成f（x）＝3x+1+a3【解答】解：f（x）＝3x+a3x+1=3可令t＝3x+1＞1，當a＞1，即a＞1，可得y＝t+at-1≥所以a＝9，當a＜1即0＜a＜1時，y＝t+at-1在（y＞a，無最小值．故答案為：9．【點評】本題主要考查了基本不等式的應用，以及整體的思想，解題的關鍵是構造積為定值，屬于基礎題．四．解答題（共1小題）22．（2022?上海）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進新一輪架空線入地工程的建設．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCD，AB＝30m，AD＝15m．為保護D處的一棵古樹，有關部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若架空線入線口為AB邊上的點E，出線口為CD邊上的點F，施工要求EF與封閉區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護生態(tài)區(qū)．（計算長度精確到0.1m，計算面積精確到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的長；（2）當入線口E在AB上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（1）EF≈23.3m；（2）AE＝53，最大面積約為255.14m2．【分析】（1）作DH⊥EF，然后結合銳角三角函數(shù)定義表示出EF，（2）設∠ADE＝θ，結合銳角三角函數(shù)定義可表示AE，F(xiàn)H，然后表示出面積，結合同角基本關系進行化簡，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足為H，則EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）設∠ADE＝θ，則AE＝15tanθ，F(xiàn)H＝15tan（90°﹣2θ），S四邊形ADFE＝2S△ADE+S△DFH＝2×12×15×15tan=152（30tanθ+15cot2θ）=152（30tanθ+15當且僅當3tanθ=1tanθ，即tanθ=33時取等號，此時AE＝15tanθ＝53，最大面積為450【點評】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應用，解題的關鍵是由實際問題抽象出數(shù)學問題，屬于中檔題．

考點卡片1．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．2．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．3．等式與不等式的性質(zhì)【知識點的認識】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且4．不等關系與不等式【知識點的認識】不等關系就是不相等的關系，如2和3不相等，是相對于相等關系來說的，比如42與84就是相等關系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．5．基本不等式及其應用【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2實例解析例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當0＜x解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，y=用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數(shù)中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結果．【解題方法點撥】基本不等式的應用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．6．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2，并且在【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設計等．例如，求解一個代數(shù)式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數(shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當且僅當a＝b=1故答案為：6．7．分式不等式【知識點的認識】分式不等式指的是含有分式的數(shù)學不等式．解分式不等式時，關鍵是注意分母不為零．【解題方法點撥】將分式不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式，并限定分母部分不為零，找出符合不等式的區(qū)間．綜合各區(qū)間解，寫出最終解集．【命題方向】典型的命題包括解簡單的分式不等式，結合實際應用題解分式不等式，以及分式不等式在函數(shù)單調(diào)性、最值問題中的應用．求不等式3x解：3x