《信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)及應(yīng)用》主編張曉青參編耿蕊王君機(jī)械工業(yè)出版社《信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)及應(yīng)用》第1章信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí)第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析第3章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析第4章離散時(shí)間信號(hào)分析第5章離散時(shí)間系統(tǒng)分析第6章離散傅里葉變換及應(yīng)用第7章數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)第7章數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.1數(shù)字濾波器的基本概念及分類7.1數(shù)字濾波器的基本概念及分類7.1.1數(shù)字濾波器的基本概念7.1.2數(shù)字濾波器的分類（2）對(duì)信號(hào)進(jìn)行選頻濾波，即在信號(hào)中提取所需要的頻率成分，抑制不需要的頻率成分（噪聲、干擾）1.數(shù)字濾波器的定義基本特點(diǎn)（1）一個(gè)有限精度算法實(shí)現(xiàn)的離散時(shí)間系統(tǒng)（3）其實(shí)質(zhì)是一種運(yùn)算過程（差分方程計(jì)算或卷積和計(jì)算）數(shù)字濾波器：指對(duì)輸入數(shù)字信號(hào)有選頻作用的線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，其輸出信號(hào)也是數(shù)字信號(hào)。7.1.1數(shù)字濾波器的基本概念X(z)H(z)Y(z)x(n)h(n)y(n)時(shí)域中：差分方程卷積公式z域中：系統(tǒng)函數(shù)數(shù)學(xué)模型2.數(shù)字濾波原理x(n)通過系統(tǒng)h(n)后，輸出y(n)中不再含有

>

c的頻率成分，則認(rèn)為

<

c的成分能夠不失真地通過。3.濾波器的技術(shù)要求通帶誤差容限：阻帶誤差容限：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：過渡帶寬：通帶過渡帶阻帶

p：通帶誤差容限，用通帶允許的最大衰減（波紋）表示。

s：阻帶誤差容限，用阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減表示。4.數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的表征方式(1)幅度平方響應(yīng)#若不要求相位，則按照幅度平方響應(yīng)來設(shè)計(jì)濾波器。一般用分貝值表示:單位:dB(2)相位響應(yīng)單位:弧度#設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)常提出相位響應(yīng)指標(biāo)。(3)群延時(shí)響應(yīng)單位：無#當(dāng)要求濾波器為線性相位響應(yīng)特性時(shí),則通帶內(nèi)群延時(shí)響應(yīng)為常數(shù)。加法性噪聲若x(n)中的有用成分s(n)和希望去除的成分r(n)各自占有不同的頻帶，則可以通過一個(gè)線性系統(tǒng)將r(n)有效去除。1.經(jīng)典濾波器（1）按照選頻特性，分為7.1.2數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器經(jīng)典濾波器現(xiàn)代濾波器低通高通帶通帶阻全通低通帶通高通帶阻全通折疊頻率（2）按照實(shí)現(xiàn)方法，分為IIR、FIR等類型FIRDF:IIRDF:infiniteimpulseresponsefiniteimpulseresponse種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù)測(cè)濾波器、自適應(yīng)濾波器等乘法性噪聲卷積性噪聲信號(hào)的頻譜和噪聲頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。2.現(xiàn)代濾波器7.2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.2.1IIR數(shù)字濾波器分類7.2.2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述7.2.3模擬濾波器設(shè)計(jì)7.2.4模擬濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器的方法7.2.5IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)給定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器H(s):使其對(duì)數(shù)幅頻響應(yīng)10lg|H(j

)|2在

p、

st處分別達(dá)到

p、

s的要求。7.2.1IIR數(shù)字濾波器分類H(s)形式不同，就得到不同形式的濾波器，即不同的表達(dá)式：（1）巴特沃斯(Butterworth)濾波器N為待定的濾波器階次最平坦幅頻特性濾波器|H

(j0)|=1,|H

(j￥)|=0,-20lg|H

(jwc)|3dbwc:3db截頻,當(dāng)wc=1時(shí)，稱其為歸一化巴特沃斯濾波器（2）切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器N為待定的濾波器階次，

是波紋系數(shù)。通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)下降同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃斯濾波器小。切比雪夫多項(xiàng)式：CN(x)（3）切比雪夫II型(Chebyshev-II)濾波器通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶內(nèi)等波紋N為待定的濾波器階次，

是波紋系數(shù)。：N階Jacobian橢圓函數(shù)（4）橢圓濾波器N為奇數(shù)：N為偶數(shù)：小結(jié)：典型IIR濾波器

巴特沃斯（Butterworth）濾波器：

切比雪夫（Chebyshev）濾波器：

橢圓（Ellipse）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶內(nèi)有波動(dòng)起伏，可提高頻率選擇性（過渡帶窄）；幅頻特性在通帶和阻帶都有波動(dòng)，其選擇性最好。具有單調(diào)下降的幅頻特性；根據(jù)給定的單位脈沖響應(yīng)或者頻率特性的部分參數(shù)進(jìn)行建模,得出符合參數(shù)要求的數(shù)字濾波器。以對(duì)應(yīng)指標(biāo)先行設(shè)計(jì)模擬原型濾波器函數(shù)H(s)，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。調(diào)用MATLAB現(xiàn)有的函數(shù)，直接設(shè)置濾波器技術(shù)指標(biāo)，經(jīng)過計(jì)算得H(z)。1.直接設(shè)計(jì)法2.模擬原型法3.參數(shù)建模法7.2.2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述濾波特性不夠準(zhǔn)確可得到精確的濾波特性濾波特性不夠準(zhǔn)確重點(diǎn)學(xué)習(xí)closeall;n=4;f=[00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0];m=[10.990.980.80.30.10.090.090.080.10.06];[b,a]=yulewalk(n,f,m)plot(f,m,'r');gridonfigurefreqz(b,a)m-f曲線設(shè)計(jì)結(jié)果【例1】調(diào)用MATLAB中yulewalk函數(shù)設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。（參數(shù)建模法）模擬低通濾波器的一般設(shè)計(jì)步驟確定技術(shù)指標(biāo)選擇濾波器的類型計(jì)算濾波器的階數(shù)查表或計(jì)算濾波器的參數(shù)，確定其系統(tǒng)函數(shù)H(s)綜合實(shí)現(xiàn)及調(diào)試7.2.3模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的技術(shù)要求通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶容限阻帶容限濾波器增益函數(shù)可表示為通帶衰減(dB)阻帶衰減(dB)通帶截止頻率阻帶截止頻率以Butterworth模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)為例學(xué)習(xí)（1）求N（2）求3dB截頻

c

c可在一個(gè)范圍內(nèi)選取，即(3)確定原型濾波器Han(s)方法：按階數(shù)N查表，得3dB截頻為1時(shí)的原型濾波器。Nc1c2c3c4c5c6c7c8c911

21.41421

3221

42.61633.41422.61631

53.23615.23615.23613.23611

63.86377.46419.14167.46413.86371

74.494010.097814.591814.591810.09784.49401

85.125813.137121.864225.688421.864213.13715.12581

95.758816.581731.163441.986441.986431.163416.58175.75881(4)去歸一化，得H(s)設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列指標(biāo)的巴特沃斯型模擬濾波器，【例7.2】解：取N=2，將N=2帶入通帶滿足的方程（1）（2）通帶滿足指標(biāo)，阻帶超過指標(biāo)驗(yàn)證：δp=-0.9999dB;δs=-18.2795dB（3）查表（4）（5）模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)模擬低通濾波器H(p)給定高通、帶通或帶阻的技術(shù)指標(biāo)得到低通濾波器歸一化技術(shù)指標(biāo)得到高通、帶通或帶阻濾波器H(s)頻率轉(zhuǎn)換歸一化高通、帶通或帶阻的技術(shù)指標(biāo)頻率轉(zhuǎn)換頻率轉(zhuǎn)換1.IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本思路將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)變?yōu)閷?duì)應(yīng)模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo);設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器;將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。模擬濾波器H(s)數(shù)字濾波器H(z)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)7.2.4模擬濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器的方法（1）沖激響應(yīng)不變法H(s)h(t)h(n)H(z)123123或者做系數(shù)修正穩(wěn)定性情況1)s<0,|z|<1左半平面映射到單位圓內(nèi)。2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1虛軸映射到單位圓上右半平面映射到單位圓外結(jié)論：因果、穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的數(shù)字濾波器系統(tǒng)H(j

)和H(jw)的關(guān)系：無混疊時(shí)：數(shù)字濾波器在W點(diǎn)的頻響特性和模擬濾波器w=W/Ts頻響特性只差一個(gè)常數(shù)因子。頻率響應(yīng)情況W=wTs試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。【例7.3】設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：設(shè)Ts

=1s模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：線性轉(zhuǎn)換關(guān)系！頻域特性周期化，產(chǎn)生頻譜混疊頻率響應(yīng)(2)雙線性變換法變換關(guān)系如下：令s=jwW和w

的關(guān)系)2/tan(2W=TswWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真優(yōu)點(diǎn)：無混疊雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的步驟：(2)由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)H

(s)(3)H

(s)轉(zhuǎn)換為H(z)(1)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){Wk}由wk=(2/Ts)tan(Wk/2)

轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo){wk}預(yù)畸數(shù)字濾波器的基本操作：①加法,②乘常數(shù),③單位延遲。通常用信號(hào)流圖來表示其運(yùn)算結(jié)構(gòu)。1.數(shù)字濾波器的信號(hào)流圖表示信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)框圖也可用于非線性系統(tǒng)。7.2.5IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)框圖信號(hào)流圖解：可得信號(hào)流圖如下：【例7.4】已知差分方程如下，畫出其信號(hào)流圖。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面(0<|z|<

)上有極點(diǎn)存在。

同一系統(tǒng)函數(shù)，可以有各種不同的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式。(1)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)是無限長(zhǎng)的。(3)存在反饋環(huán)路，遞歸型結(jié)構(gòu)。(1)直接型:直接由IIR的差分方程所得的結(jié)構(gòu)。3.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)形式(2)標(biāo)準(zhǔn)型（又叫典范型）直接型標(biāo)準(zhǔn)型線性系統(tǒng)由于系數(shù)ai、bi是實(shí)數(shù)，極、零點(diǎn)為實(shí)根或共軛復(fù)根。一個(gè)N

階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點(diǎn)因子形式表示(3)級(jí)聯(lián)型（串聯(lián)）實(shí)根:復(fù)根:

、

為實(shí)系數(shù)。將共軛因子合并為實(shí)系數(shù)二階因子，單實(shí)根因子看作二階因子的一個(gè)特例，則有用若干二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)構(gòu)成濾波器，二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié)，可用標(biāo)準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。

系統(tǒng)級(jí)聯(lián)方式一個(gè)六階IIR濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)【例7.5】（4）并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式之和，可用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器：上式表明，可用N1個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)、N2個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)以及一個(gè)常數(shù)G0并聯(lián)組成濾波器H(z)，結(jié)構(gòu)如下圖：一個(gè)三階濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)【例7.6】7.3.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性7.3FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器7.3.3FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)7.3.4IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的比較1.

線性相位定義2.線性相位系統(tǒng)的時(shí)頻對(duì)應(yīng)特性7.3.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性

FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述

對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為因?yàn)樗且环N線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示1.線性相位的定義對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列為h(n)：線性相位意味著一個(gè)系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線性函數(shù)，即式中

為常數(shù)，此時(shí)通過這一系統(tǒng)的各頻率分量的時(shí)延為一相同的常數(shù)，系統(tǒng)的群時(shí)延為

FIR濾波器的DTFT為FIR濾波器的DTFT為式中H(Ω)是正或負(fù)的實(shí)函數(shù)。等式中間和等式右邊的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等:2.線性相位系統(tǒng)的時(shí)頻對(duì)應(yīng)特性將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項(xiàng)移到左邊，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系，得滿足上式的條件是另外一種情況是準(zhǔn)線性相位，即利用類似的關(guān)系，可以得出另一個(gè)解答為

偶對(duì)稱

奇對(duì)稱線性相位特性圖示

h(n)分四種情況:（1）（2）（3）（4）偶對(duì)稱奇對(duì)稱線性相位FIR濾波器的幅度特性（1）h(n)偶對(duì)稱且N為偶數(shù)的幅頻特性（2）h(n)偶對(duì)稱且N為奇數(shù)的幅頻特性線性相位FIR濾波器的幅度特性（3）h(n)奇對(duì)稱且N為奇數(shù)的幅頻特性

（4）h(n)奇對(duì)稱且N為偶數(shù)的幅頻特性第一種情況，h(n)偶對(duì)稱、N為奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況，h(n)偶對(duì)稱、N為偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。第三種情況，h(n)奇對(duì)稱、N為奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。第四種情況，h(n)奇對(duì)稱、N為偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。四種線性相位FIR數(shù)字濾波器特性：【例7.7】N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函數(shù)H(Ω)。解：Ｎ為奇數(shù)并且h(n)滿足偶對(duì)稱關(guān)系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(1)=-1a(2)=2h(0)=-1H(Ω)=2-(cosΩ

+cos2Ω)小結(jié)

四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對(duì)稱性，而與h(n)的值無關(guān)；幅度特性取決于h(n)。

線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需要選擇其合適類型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。

設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，在保證h(n)對(duì)稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。

當(dāng)H(Ω)用│H(Ω)│表示時(shí)，當(dāng)h(n)為奇對(duì)稱時(shí)，其相頻特性中還應(yīng)加一個(gè)固定相移π/2。如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為，那么FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)頻率特性去逼近它。7.3.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器1.設(shè)計(jì)原理：hd(n)可以從理想頻響通過傅氏反變換獲得。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。2.設(shè)計(jì)思路：1）由定義3）卷積插值逼近怎樣求H(ejΩ)？2）（1）對(duì)于給定的理想低通濾波器，計(jì)算3.設(shè)計(jì)過程則：低通濾波器的延時(shí)

這是一個(gè)以為中心的偶對(duì)稱的無限長(zhǎng)非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時(shí)應(yīng)為h(n)長(zhǎng)度N-1的一半。其中（2）計(jì)算設(shè)為窗函數(shù)的頻譜:

（3）計(jì)算用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示，則有

其中幅度函數(shù)為

理想頻響也可以寫成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式兩個(gè)信號(hào)時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積，所以有

則正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗幅度函數(shù)的卷積。理想特性的hd(n)和Hd(Ω)矩形窗序列及頻譜4個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：①改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為，等于WR(Ω)的主瓣寬度。（決定于窗長(zhǎng)）窗函數(shù)對(duì)理想特性的影響：②過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于WR(Ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰強(qiáng)，與N無關(guān)。（決定于窗口形狀）在主瓣附近有可見，N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變WR(Ω)的絕對(duì)值大小和起伏的密度。當(dāng)N增加時(shí)，幅值變大，頻率軸緊縮，而最大肩峰始終約為8.95%(對(duì)矩形窗而言)，體現(xiàn)了吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。

N增加,過渡帶寬減小,但肩峰值不變。式中令

改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點(diǎn)要求：①主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；②旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣，可減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。

但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對(duì)旁瓣的抑制。窗函數(shù)主瓣寬度過渡帶寬旁瓣峰值衰減(dB)阻帶最小衰減(dB)矩形4/N1.8/N-13-21漢寧8/N6.2/N-31-44海明8/N6.6/N-41-53布萊克曼12/N11/N-57-74(1)矩形窗:主瓣寬度為4.幾種常用的窗函數(shù)：(2)三角形窗:主瓣寬度為：(3)漢寧窗（升余弦窗）主