第5章彈性力學(xué)平面問題的有限元法分析

彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。常見的平面應(yīng)力問題有鏈傳動中的鏈片（如圖5-1a）所示）、發(fā)動機中的連桿（如圖5-1b）所示）及內(nèi)燃機的飛輪、軋機的機架等。平面應(yīng)變問題水壩（如圖5-1c）所示）、受壓管道（如圖5-1d）所示），以及滾針軸承的滾針、軋鋼機的軋輥等。本章以此類問題為研究對象，進行有限元法分析。

a）b）c）d）圖5-1彈性力學(xué)中的平面問題舉例

本章簡要介紹兩類彈性力學(xué)平面問題，包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題，以及相關(guān)的平衡方程、幾何方程和物理方程。平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡方程和幾何方程相同，但物理方程不同。主要介紹利用剛度矩陣建立彈性力學(xué)平面問題的有限元方程及其求解方法，包括單元位移函數(shù)、單元載荷移置、單元剛度矩陣及物理意義、整體分析、約束條件處理、整體剛度矩陣處理、方程組求解問題；介紹利用ANSYS軟件對兩類平面應(yīng)力及變形問題進行計算與分析的基本方法。5.1彈性力學(xué)平面問題有限元法基本步驟5.2彈性力學(xué)平面問題的一般原理5.3彈性力學(xué)平面問題ANSYS分析5.4h方法和p方法結(jié)構(gòu)分析5.5本章習(xí)題5.1彈性力學(xué)平面問題有限元法基本步驟基于彈性力學(xué)平面問題的有限元方法主要包括三個步驟：離散化、單元分析、單元綜合。5.1.1離散化

圖5-2壩體截面的網(wǎng)格離散化5.1.2單元分析圖5-3三角形單元的結(jié)點位移和結(jié)點力的表示5.1.3單元綜合圖5-4單元合成的結(jié)點力分析5.2彈性力學(xué)平面問題的一般原理5.2.1平面應(yīng)力與應(yīng)變問題簡介1.平面應(yīng)力問題圖5-5平面應(yīng)力問題2.平面應(yīng)變問題

設(shè)有很長的柱形體，在柱面上承受平行于橫截面且不沿長度方向變化的面力和體力。以柱面的任一橫截面為xy軸，橫截面縱線為z軸，所有位移分量、應(yīng)變和應(yīng)力變量都不沿Z方向變化。如圖5-6所示。圖5-6柱體的平面應(yīng)變問題3.平衡方程

在外力作用下，若使彈性體處于平衡狀態(tài)，必須滿足物體內(nèi)部任取一微元體是平衡的。平衡方程代表了力的平衡，描述的是外力和內(nèi)力之間的關(guān)系。對彈性平面問題，當微小變化時，考慮微元dx、dy的均勻性和線性特性，則在彈性體內(nèi)任意一點的平衡方程為4.幾何方程

在外力作用下，彈性體內(nèi)任何一點（除邊界不動點）都將產(chǎn)生位移。幾何方程反映的是應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系，其應(yīng)滿足彈性體在受力過程中任何部位都不發(fā)生斷裂、重疊、彎折或錯位等。5.物理方程

彈性力學(xué)平面問題的物理方程由胡克定理得到。物理方程表明了應(yīng)力分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。（1）平面應(yīng)力問題的物理方程及其應(yīng)力（2）平面應(yīng)變問題的物理方程及其應(yīng)力6.平面問題的求解

平面問題中，體力X、Y，模量E，泊松比μ為已知，有8個未知量σx，σy，τxy，u，v，εx，εy，γxy，可由2個平衡方程，3個幾何方程，3個物理方程列出共8個方程，解出8個未知量。如果以位移u，v作為未知量，則求出位移后，利用幾何方程得到應(yīng)變分量εx，εy，γxy，再由物理方程得到應(yīng)力分量σx，σy，τxy，稱為位移法。5.2.2單元位移函數(shù)

由上述分析可知，如果求出彈性體內(nèi)的位移分布，就可以得到彈性體的變形和內(nèi)力分布等參數(shù)值。應(yīng)用有限元法可以得到各個單元內(nèi)的位移分布函數(shù)的近似表示。若用某種函數(shù)來表示單元內(nèi)的位移分布，則稱這種函數(shù)為單元位移函數(shù)。

例5-1已知一個平面直角等腰三角形單元如圖5-8所示，試求其形態(tài)函數(shù)N。圖5-8直角等腰三角形單元5.2.3單元載荷移置有限元法的求解對象是單元的組合體，因此作用在彈性體上的所有外力都需要移置到相應(yīng)的結(jié)點上變?yōu)榻Y(jié)點載荷。載荷移置需要滿足靜力等效原則，即原載荷與移置后的載荷在任意虛位移上做的虛功相等。參考單元位移，單元的虛位移可用結(jié)點的虛位移表示為設(shè)結(jié)點載荷為1.集中力的移置設(shè)在單元內(nèi)任意一點的集中力p力根據(jù)虛功原理，即在外力作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體如果發(fā)生了虛位移，則所有外力在虛位移上做的功等于內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的功。此處為應(yīng)力虛位移做的功等于集中所做的功，即所以得到,由任意性得2.體力的移置

設(shè)單元受的均勻分布的體力為p均勻等厚，厚度為常數(shù)t，由應(yīng)力虛功與體力功相等得由于虛位移與坐標選取無關(guān)，即與x，y無關(guān)。得

3.分布面力的移置對于單元邊上s有均勻分布的面力時，同樣可得

5.2.4單元剛度矩陣得單元應(yīng)變矩陣表達式ε記ε=Bδe，其中B稱作幾何矩陣。將B分塊表示為B=[BiBjBm]解:將單元1按圖5-11的形式編坐標號，可得ai=-a2，aj=2a2，am=0；bi=0，bj=-a，bm=a；ci=a，cj=-a，cm=0；例5-2如圖5-11所示的一個平面彈性體被劃分為3個單元：e1、e2和e3，5個結(jié)點：1、2、3、4和5。各單元結(jié)點的編號為e1（1，2，3）、e2（2、4、5）、e3（2、3、5）。試求單元1的單元剛度矩陣Ke。圖5-11平面網(wǎng)格劃分計算得到單元1的剛度矩陣元素{Krs，r，s=i，j，m}，即Krs，r,s=i,j,m5.2.5單元剛度矩陣的物理意義與性質(zhì)

1.單元剛度矩陣的物理意義假設(shè)單元結(jié)點i的x方向有單位1的位移，即

δe則由式Fe=Keδe，得到2.單元剛度矩陣的性質(zhì)（1）對稱性。由于彈性矩陣D對稱，tA為常數(shù)，所以有(Ke)T=

(BTDBtA)T=BTDBTTtA=BTDBtA=Ke（2）奇異性。由于Ke的行列式為零，即∣Ke∣=0。（3）對角線上的元素恒為正。上述性質(zhì)（2）和（3）可由例5-2進行驗證。5.2.6整體分析單元剛度矩陣表示單元在其結(jié)點上的物理量（位移和結(jié)點力），那么在總體平面的任意結(jié)點的物理量應(yīng)由與其鉸鏈的所有單元在該結(jié)點上的物理量的向量之和來得到。利用總體剛度矩陣可對整體對象進行分析研究，而總體剛度矩陣可由所有的單元剛度矩陣組合（或集成）而成，進而可以使問題變得簡單。以下分析總體剛度矩陣的集成方法。由單元剛度矩陣的物理意義可知，單元剛度矩陣的元素代表結(jié)點產(chǎn)生單位1的位移時所需要的結(jié)點力。剛度集成法是指結(jié)構(gòu)中的結(jié)點力由相關(guān)單元結(jié)點力疊加，整體剛度矩陣的元素是相關(guān)單元剛度矩陣元素的集成。在圖5-12所示的結(jié)構(gòu)圖中，結(jié)點3與單元（1）、（3）和（4）的結(jié)點i、j和i相關(guān)，所以在整體剛度矩陣中的對應(yīng)元素是由單元（1）、（3）和（4）的剛度矩陣相關(guān)元素的集成。1.總體剛度集成法的物理意義圖5-12四個單元劃分結(jié)構(gòu)2.總體剛度矩陣的集成規(guī)則

單元剛度矩陣中的每個分塊或元素是整體結(jié)構(gòu)中的一部分，將所有單元剛度矩陣擴展為整體結(jié)構(gòu)下的矩陣表示，然后進行求和即可得到整體剛度矩陣。單元編號單元結(jié)點的局部編號單元結(jié)點的整體編號單元編號單元結(jié)點局部編號單元結(jié)點的整體編號(1)i3(3)i5(1)j1(3)j3(1)m2(3)m2(2)i5(4)i3(2)j2(4)j5(2)m4(4)m65.2.7有約束時對剛度矩陣的修正

當存在對位移有約束條件時，說明對應(yīng)的結(jié)點在該坐標方向上的位移始終為零。對整體剛度矩陣中的相關(guān)元素以及變量進行修正。假設(shè)在結(jié)點總編號為n的結(jié)點上有x和y方向上的位移約束。5.2.8平面問題的有限元的解題步驟1.單元分割對于x、y軸對稱的平面，可以取它的四分之一作為分析對象；單元分割個數(shù)隨精度要求適當增加；依次按行表示總的結(jié)點號，按逆時針標示單元結(jié)點號i、j、m及單元結(jié)點坐標（xi，yi）、（xj，yj）、（xm，ym）。2.計算單元剛度矩陣的元素值對每個單元，計算及∣T∣=2A；計算單元參數(shù)計算單元剛度矩陣的元素值Krs3.總體剛度矩陣的集成按表5-1和表5-2求各單元剛度矩陣的擴展矩陣K(e)，e=1，2，…,；計算總體剛度矩陣K=∑eK(e)4.總體剛度矩陣的邊界約束修正對有約束的結(jié)點，按其約束方向，將坐標對應(yīng)的K的對角元素取1，其余行列元素取0；將δe中有約束的結(jié)點變量值0。5.計算結(jié)果（1）求解總體結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移δ=P-1K（手工計算式用降階式）。（2）計算結(jié)點力為F=Kδ

。（3）求解各單元的應(yīng)力矩S=[Si

SjSm]，SrSr（4）求解各單元的應(yīng)力σ=Sδ。6.整理、分析、作圖，給出結(jié)論。例5-3帶有圓孔的方板如圖5-14所示。方板的長、寬均為1m，厚度為5cm，內(nèi)孔直徑為0.2m。左右兩側(cè)均受到q=50MPa的均布拉力作用。材料的彈性模量為E=2.1×105MPa，屈服極限σx=240MPa，泊松比為μ=0.3。試計算該方板的應(yīng)力分布，并給出x方向的正應(yīng)力分量沿垂直方向?qū)S的分布。圖5-14帶圓孔方板5.3彈性力學(xué)平面問題ANSYS分析2.ANSYS分析（1）初始設(shè)置1）設(shè)置工作路徑。設(shè)置工作路徑是為了將分析結(jié)果存入用戶指定的單元。

圖5-16設(shè)置工作路徑2）設(shè)置工作文件名拾取實用菜單UtilityMenu>File>ChangeJobname…,在彈出的ChangeJobname對話框中，鍵入用戶文件名“planestress”，單擊OK按鈕，如圖5-17所示。

圖5-17設(shè)置工作文件名3）設(shè)置工作標題拾取常用菜單UtilityMenu>File>ChangeTitle…,在彈出的ChangeTitle對話框中，鍵入用戶標題“thisisaplane”單擊OK按鈕，如圖5-18所示。圖5-18設(shè)置標題名4）設(shè)定分析模塊拾取主菜單ANSYSMainMenu>Preferences,在彈出的PreferencesforGUIFiltering對話框中，選擇Structural選項，單擊OK按鈕，如圖5-19所示。圖5-19設(shè)定分析模塊5)改變圖形編輯窗口背景顏色

圖5-20改變圖形編輯窗口背景顏色圖5-21白色背景的圖形編輯窗口（2）前處理1）定義單位建模時采用單位cm-kg-s-N，則建模過程中的所有參數(shù)都選用單位cm-kg-s-N，相應(yīng)計算的結(jié)果應(yīng)力為N/cm2(1MPa=100N/cm2)，EX=2.1×107N/cm2,均布拉力q=5000N/cm2。2）選擇單元類型ANSYS軟件中提供了多種平面單元類型，如二次三角單元PLANE2、線性單元PLANE42和PLANE182，二次單元PLANE82和PLANE183等。這些單元既可用于平面應(yīng)力單元、平面應(yīng)變單元，又可用于軸對稱單元。平面單元類型、特點及適用范圍如表5-3所示。單元類型特點結(jié)點數(shù)結(jié)點自由度適用PLANE2二次三角形單元，有塑性、蠕變、輻射膨脹、應(yīng)力剛度、大變形及大應(yīng)變能力6Ux,Uy不規(guī)則的網(wǎng)格PLANE42線性平面單元，具有四邊形和三角形選項，有塑性、蠕變、輻射膨脹、應(yīng)力剛度、大變形及大應(yīng)變功能4平面應(yīng)力單元、平面應(yīng)變單元和軸對稱單元PLANE82二次平面單元，具有8PLANE42的高階單元，混合網(wǎng)格的結(jié)果精度高，適用于模擬曲線邊界PLANE182線性平面單元，有塑性、超彈性、應(yīng)力剛度、大變形及大應(yīng)變功能4

平面單元和軸對稱單元，可以模擬不可壓縮的彈塑性材料PLANE183二次平面單元，有塑性、蠕變、應(yīng)力剛度、大變形及大應(yīng)變功能8PLANE182的高階單元，適用于混合網(wǎng)格表5-3平面單元特性（3）求解1）施加約束

圖5-32施加約束2）施加載荷

圖5-33施加載荷圖5-34施加約束和載荷后的方板3）求解計算

圖5-35求解窗口圖5-36狀態(tài)窗口（4）后處理1）繪制路徑圖路徑圖是某結(jié)果數(shù)據(jù)沿模型上某一預(yù)定義路徑的變化圖。路徑操作的步驟是：定義路徑，映射路徑，路徑顯示。圖5-37定義路徑③觀察定義的路徑：拾取主菜單ANSYSMainMenu>GeneralPostproc>PathOperations>Plotpaths。觀察路徑的定義如圖5-39所示。圖5-39觀察定義的路徑

④映射路徑：圖5-40映射路徑

⑤路徑顯示：圖5-41顯示x方向正應(yīng)力曲線圖5-42梁x方向正應(yīng)力曲線由圖5-42可知，隨著Y向距離的增大，X向應(yīng)力逐漸減小，在結(jié)點(0,10,0)處的應(yīng)力是15206.26N/cm2，在結(jié)點(0,50,0)處的應(yīng)力是4302.52N/cm2。

也可以采用列表顯示x方向的正應(yīng)力數(shù)值。圖5-43列表顯示應(yīng)力數(shù)值圖5-44PRPATHCommand窗口2）保存結(jié)果并退出系統(tǒng)單擊工具欄中的QUIT按鈕，在彈出的ExitfromANSYS對話框中，選擇SaveEverything選項，單擊OK按鈕，保存結(jié)果并退出ANSYS系統(tǒng)。保存結(jié)果并退出系統(tǒng)的操作如圖5-45所示。圖5-45保存結(jié)果并退出系統(tǒng)例5-4等截面擋水壩的截面尺寸如圖5-46所示。壩底長為3m，壩體頂長為1.2m，壩體高為5m。壩體的材料為混凝土，密度為1930kg/m3，彈性模量為E=30MPa，泊松比為μ=0.3，假定混凝土抗拉壓的能力相同。壩體底部固定于地基上，在斜面上受到水壓作用，水面距壩底高度為4m。以擋水壩截面左下角頂點A為坐標原點，試計算水壩橫截面上的應(yīng)力分布，給出沿x=2.5米垂直線上x方向正應(yīng)力的分布。圖5-46水壩截面尺寸3.前處理（1）定義單位

本例中統(tǒng)一采用單位m-kg-s-N，則建模過程中的所有參數(shù)都選用單位m-kg-s-N，相應(yīng)的應(yīng)力單位為Pa。（2）定義單元類型

圖5-53定義單元類型（3）定義材料屬性圖5-55定義材料特性圖5-56定義密度（4）建立水壩截面的關(guān)鍵點圖5-57建立水壩截面關(guān)鍵點圖5-58建立水壩截面（5）建立水壩截面（6）劃分單元網(wǎng)格圖5-59設(shè)置單元密度4.求解（1）施加約束圖5-61施加約束

（2）施加靜水壓載荷

圖5-62載荷函數(shù)的定義②選擇壩體受水壓作用的斜邊。拾取常用菜單UtilityMenu>Select>Entities...，在彈出的SelectEnti…對話框中選擇Lines和ByNum/Pick選項，單擊OK按鈕，彈出SelectLines對話框，用鼠標拾取壩體的斜邊，單擊OK按鈕。如圖5-65所示。圖5-65拾取壩體斜邊③選擇斜邊上的結(jié)點并顯示。拾取常用菜單UtilityMenu>Select>Entities...，在彈出的SelectEnti…對話框中選擇Nodes，Attachedto和Lines,all選項，單擊OK按鈕。拾取常用菜單UtilityMenu>Plot>Nodes。如圖5-66所示。圖5-66顯示斜邊結(jié)點④用鼠標拾取水面以下的結(jié)點并加載，拾取主菜單ANSYSMainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Pressure>OnNodes，彈出ApplyPRESonNodes拾取窗口，在圖形編輯窗口依次拾取所需定義的結(jié)點，單擊OK按鈕，如圖5-67所示。圖5-67拾取水面以下結(jié)點在彈出ApplyPRESonnodes對話框中，ApplyPRESonnodesasa下拉列表框中選擇Existingtable選項，單擊OK按鈕，選擇載荷函數(shù)名press，單擊OK按鈕，如圖5-68所示。圖5-69為施加載荷函數(shù)后壩體斜面的載荷顯示。

圖5-68施加載荷函數(shù)圖5-69施加載荷函數(shù)后的壩體斜面顯示

（3）施加重力載荷

圖5-70施加重力載荷圖5-71施加約束和載荷后水壩（4）計算求解

圖5-72求解窗口圖5-73狀態(tài)窗口5.后處理（1）顯示變形圖

變形圖可以直觀地顯示結(jié)構(gòu)的變形情況。通過選項可以設(shè)置，只顯示變形、同時顯示變形和未變形、同時顯示變形和未變邊界。圖5-74顯示變形圖圖5-75水壩變形圖（2）顯示Y向變形云圖圖5-76顯示Y向變形云圖圖5-77水壩Y向變形云圖（3）顯示正應(yīng)力σx云圖圖5-78顯示正應(yīng)力σx云圖圖5-79水壩正應(yīng)力σx云圖（4）顯示沿x=2.5直線上x方向的正應(yīng)力

①定義路徑：拾取主菜單ANSYSMainMenu>GeneralPostproc>PathOperations>DefinePath>ByLocation，彈出ByLocation對話框，在Name文本框中輸入一個路徑名“path1”方便調(diào)用，單擊OK按鈕。路徑的定義如圖5-80所示。圖5-80定義路徑③觀察定義的路徑：拾取主菜單ANSYSMainMenu>GeneralPostproc>PathOperations>Plotpaths。路徑的定義及顯示結(jié)果如圖5-82所示。圖5-82觀察定義的路徑④x方向的正應(yīng)力設(shè)定與顯示。將x方向的正應(yīng)力σx映射到定義好的路徑上：圖5-83映射路徑圖5-85水壩x方向的正應(yīng)力曲線從圖5-85中可以看出，在X=2.5以后，隨著Y值的增大，水壩正應(yīng)力曲線先減小后增大，最大值位于Y=0m處，達到25113.68Pa，最小值位于Y=1.5m處，應(yīng)力值為-2414.34Pa。列表顯示x方向的正應(yīng)力數(shù)值：拾取主菜單ANSYSMainMenu>GeneralPostproc>PathOperations>PlotPathItem>ListPathItems，在彈出的ListPathItems對話框中選擇XSTRESS選項，顯示x方向的正應(yīng)力表及結(jié)果如圖5-86所示。圖5-86列表顯示x方向正應(yīng)力的選擇單擊OK按鈕，彈出PRPATHCommand窗口顯示各點對應(yīng)的應(yīng)力值，如圖5-87所示。圖5-87水壩x方向的正應(yīng)力表（5）結(jié)果保存。將沿路徑的計算結(jié)果保存到外部文件圖5-88選擇路徑文件在彈出的SavePathbyName對話框中選擇PATH1，單擊OK按鈕，則沿路徑的計算結(jié)果將以文件名planestrain.path，保存到外部的E:\ANSYS中。文件保存路徑的選擇如圖5-89所示圖5-89保存路徑文件（6）保存結(jié)果并退出系統(tǒng)單擊工具欄中的QUIT按鈕，在彈出的ExitfromANSYS對話框中，選擇SaveEverything選項，單擊OK按鈕，保存結(jié)果并退出ANSYS系統(tǒng)。保存結(jié)果并退出系統(tǒng)選擇如圖5-90所示。圖5-90保存結(jié)果并退出系統(tǒng)5.4h方法和p方法結(jié)構(gòu)分析

有限元是一種近似計算方法，計算結(jié)果與實際存在偏差，其計算精度與單元的大小和形狀有關(guān)，尤其與對曲線或受約束邊緣的劃分方式有關(guān)，所以在網(wǎng)格劃分時可以對關(guān)鍵區(qū)域進行合理的處理。本節(jié)主要介紹兩種方法，即h方法和p方法。5.4.1h方法

為提高計算精度，通常可以采用提高整體單元網(wǎng)格密度，或在關(guān)鍵區(qū)域（如非線性或不規(guī)則區(qū)域）增加網(wǎng)格密度的方法，即h方法。例5-5對例5-3中帶圓孔方板，在圓孔的邊緣處加大四邊形網(wǎng)格的密度，并顯示x方向正應(yīng)力在垂直對稱軸上的分布情況。不同網(wǎng)格密度和分布情況下的密度曲線如圖5-91，圖5-92和圖5-93所示。圖5-91圓弧邊緣網(wǎng)格密度為6的正應(yīng)力曲線圖5-92圓弧邊緣網(wǎng)格密度為12的正應(yīng)力曲線圖5-93圓弧邊緣網(wǎng)格密度為20的正應(yīng)力曲線5.4.2網(wǎng)格密度的設(shè)定方法

ANSYS提供了多種網(wǎng)格密度的設(shè)置方法，既可以總體設(shè)置也可以局部設(shè)置，主要通過MeshTool對話框進行設(shè)定。（1）總體設(shè)置：智能網(wǎng)格劃分，總體單元尺寸，缺省尺寸。（2）局部設(shè)置：關(guān)鍵點尺寸，線尺寸，面尺寸。5.4.3p方法

p方法是指不增加單元數(shù)量而通過提高單元位移函數(shù)的擬合精度即多項式階次，在單元內(nèi)部提高逼近的精度，從而提高整體的計算精度。通常增加單元的結(jié)點數(shù)目可以提高位移插值函數(shù)的階次，通常采用六結(jié)點三角形單元的計算精度比采用三結(jié)點三角形單元的計算精度高，采用八結(jié)點四邊形單元的計算精度比采用四結(jié)點四邊形單元的計算精度高。p方法分析的特點：1）網(wǎng)格劃分操作簡便；2）與h法相比，可以用較少的單元獲得較高的計算精度；3）可以對處理精度進行設(shè)定，達到指定精度要求。5.4.4p方法的分析步驟

對例5-3進行p方法的分析步驟如下：1.p方法的設(shè)定：拾取主菜單ANSYSMainMenu>Preferences，彈出PreferencesforGUIFiltering對話框,選擇Structural選項和p-MethodStruct.選項。如圖5-94所示。圖5-94p方法的設(shè)定2.單元類型選擇：拾取主菜單ANSYSMainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，彈出ElementTypes對話框，單擊Add按鈕，在彈出的LibraryofElementTypes對話框中選擇單元類型p-Elements和單元方法