復(fù)變函數(shù)考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(z)=z^2$在復(fù)平面上（）A.處處不可導(dǎo)B.僅在原點可導(dǎo)C.處處可導(dǎo)D.僅在實軸上可導(dǎo)2.復(fù)數(shù)$z=3+4i$的模為（）A.5B.7C.1D.253.柯西-黎曼方程是函數(shù)$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$可導(dǎo)的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.積分$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz$的值為（）A.0B.$2\pii$C.$-2\pii$D.$\pii$5.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z-1}$在$z=0$處的泰勒展開式的收斂半徑為（）A.0B.1C.2D.+∞6.若函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，且$f^\prime(z)=0$，則$f(z)$在$D$內(nèi)（）A.為常數(shù)B.為線性函數(shù)C.為二次函數(shù)D.以上都不對7.復(fù)數(shù)$z=1-i$的輻角主值為（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$-\frac{\pi}{4}$C.$\frac{3\pi}{4}$D.$-\frac{3\pi}{4}$8.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$的收斂圓的邊界上（）A.一定處處收斂B.一定處處發(fā)散C.既有收斂點又有發(fā)散點D.可能收斂也可能發(fā)散9.函數(shù)$f(z)=\sinz$的周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$4\pi$D.無周期10.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$的奇點為（）A.$z=i$B.$z=-i$C.$z=\pmi$D.$z=1$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的等價條件（）A.柯西-黎曼方程成立B.函數(shù)在該點連續(xù)C.函數(shù)在該點可微D.函數(shù)的實部和虛部有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)2.下列哪些函數(shù)是解析函數(shù)（）A.$f(z)=z$B.$f(z)=z^2$C.$f(z)=\overline{z}$D.$f(z)=\sinz$3.關(guān)于復(fù)數(shù)的運算，正確的有（）A.$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$B.$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$C.$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$D.$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$4.冪級數(shù)的性質(zhì)包括（）A.收斂半徑內(nèi)絕對收斂B.收斂半徑內(nèi)一致收斂C.和函數(shù)在收斂半徑內(nèi)解析D.可以逐項求導(dǎo)和積分5.函數(shù)$f(z)$的孤立奇點類型有（）A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.支點6.下列積分值為$0$的有（）A.$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2+2z+2}dz$（積分路徑正向）B.$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z-2}dz$（積分路徑正向）C.$\oint_{|z|=1}z^2dz$（積分路徑正向）D.$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2}dz$（積分路徑正向）7.復(fù)變函數(shù)的積分與路徑無關(guān)的條件是（）A.函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析B.函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)解析且在邊界上連續(xù)C.函數(shù)的積分值只與起點和終點有關(guān)D.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)8.關(guān)于解析函數(shù)的零點，正確的是（）A.孤立零點B.若$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析且不恒為零，則其零點是孤立的C.零點的階數(shù)可以確定D.解析函數(shù)的零點有無窮多個9.以下哪些是復(fù)變函數(shù)的初等函數(shù)（）A.指數(shù)函數(shù)B.對數(shù)函數(shù)C.三角函數(shù)D.反三角函數(shù)10.若函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，$z_0\inD$，則$f(z)$在$z_0$處可展開為泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)的系數(shù)與（）有關(guān)。A.$f(z)$在$z_0$處的各階導(dǎo)數(shù)B.區(qū)域$D$的邊界C.$z_0$D.收斂半徑三、判斷題（每題2分，共10題）1.復(fù)數(shù)$z=a+bi$與復(fù)平面上的點$(a,b)$一一對應(yīng)。（）2.函數(shù)$f(z)=\overline{z}$在復(fù)平面上處處解析。（）3.若函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，且在$D$內(nèi)某一點的導(dǎo)數(shù)為0，則$f(z)$在$D$內(nèi)為常數(shù)。（）4.積分$\oint_{|z|=R}\frac{1}{z^n}dz=0$（$n\neq1$，$R\gt0$，積分路徑正向）。（）5.冪級數(shù)在收斂圓的邊界上一定發(fā)散。（）6.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z-1}$在$z=1$處有可去奇點。（）7.解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。（）8.復(fù)數(shù)的輻角是唯一的。（）9.若函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，則$f(z)$在$D$內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。（）10.函數(shù)$f(z)=\sinz$在復(fù)平面上是有界函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述柯西-黎曼方程，并說明其意義。-答案：柯西-黎曼方程為$u_x=v_y$，$u_y=-v_x$。它是復(fù)變函數(shù)$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$可導(dǎo)的充要條件，通過該方程可判斷函數(shù)是否可導(dǎo)，也能用于研究函數(shù)的解析性。2.求函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-2)}$在$|z|\lt1$內(nèi)的洛朗展開式。-答案：先將$f(z)$分解為$\frac{1}{z(z-2)}=-\frac{1}{2z}(1-\frac{z}{2})^{-1}$。因為$|z|\lt1$，$|\frac{z}{2}|\lt1$，利用$(1-w)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n$，則$f(z)=-\frac{1}{2z}\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^n=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{2^{n+1}}$。3.說明解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。-答案：若$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，則其實部$u(x,y)$和虛部$v(x,y)$都是$D$內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程。反之，已知調(diào)和函數(shù)$u$，可通過柯西-黎曼方程構(gòu)造出共軛調(diào)和函數(shù)$v$，使得$f=u+iv$解析。4.簡述復(fù)變函數(shù)積分的牛頓-萊布尼茨公式。-答案：若函數(shù)$f(z)$在單連通區(qū)域$D$內(nèi)解析，$F(z)$是$f(z)$在$D$內(nèi)的一個原函數(shù)，即$F^\prime(z)=f(z)$，則$\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)$，其中$z_1,z_2\inD$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2-1}$的奇點類型及留數(shù)。-答案：$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z+1)}$，奇點為$z=1$和$z=-1$，均為一階極點。對于$z=1$，留數(shù)為$\lim_{z\to1}(z-1)f(z)=\frac{1}{2}$；對于$z=-1$，留數(shù)為$\lim_{z\to-1}(z+1)f(z)=-\frac{1}{2}$。2.探討冪級數(shù)收斂半徑的求法及收斂半徑對冪級數(shù)性質(zhì)的影響。-答案：求收斂半徑常用公式法，如$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$（若極限存在）。收斂半徑?jīng)Q定冪級數(shù)收斂范圍，在收斂半徑內(nèi)絕對收斂、一致收斂，和函數(shù)解析，可逐項求導(dǎo)積分；在收斂圓外發(fā)散，邊界情況不定。3.說明復(fù)變函數(shù)在孤立奇點處的洛朗展開式與奇點類型的關(guān)系。-答案：若洛朗展開式不含負(fù)冪項，是可去奇點；含有限項負(fù)冪項，是極點，負(fù)冪項最高次為極點階數(shù)；含無窮多項負(fù)冪項，是本性奇點。通過洛朗展開可直觀判斷孤立奇點類型。4.討論復(fù)變函數(shù)積分與實函數(shù)積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：實函數(shù)積分是復(fù)變函數(shù)積分的特殊情況，復(fù)積分計算有時可轉(zhuǎn)化為實積分。區(qū)別：復(fù)變函數(shù)積分路徑是復(fù)平面曲線，積分值與路徑有關(guān)（多連通區(qū)域），有獨特的積分定理如柯西積分定理等，而實積分路徑在實數(shù)軸上。答案一、單項選擇題1.C2.A3