高數(shù)考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$2x$B.$x^3$C.$2$D.$1$3.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$4.曲線$y=e^x$在點$(0,1)$處的切線斜率為（）A.0B.1C.eD.-15.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.無間斷點6.已知$y=\cosx$，則$y'=$（）A.$\sinx$B.-$\sinx$C.$\cosx$D.-$\cosx$7.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞8.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$[0,+\infty)$9.若$f(x)$的一個原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^3$C.$\frac{1}{2}x^2$D.$x$10.定積分$\int_{0}^{1}xdx=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.0二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=e^x$2.以下哪些是求導(dǎo)法則（）A.加法法則B.乘法法則C.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則D.積分中值定理3.函數(shù)$y=x^3-3x$的極值點可能是（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.$x=2$4.下列積分中，計算正確的有（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$B.$\int_{-1}^{1}xdx=0$C.$\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0$D.$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1$5.關(guān)于極限$\lim_{x\toa}f(x)$，說法正確的是（）A.極限存在則左右極限都存在且相等B.若$f(a)$無定義，則極限不存在C.極限值與$f(a)$的值無關(guān)D.極限存在則函數(shù)在該點連續(xù)6.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=x$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=\sqrt{x}$D.$y=\tanx$7.導(dǎo)數(shù)為零的點可能是（）A.駐點B.極值點C.拐點D.最值點8.以下屬于不定積分性質(zhì)的有（）A.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$C.$(\intf(x)dx)'=f(x)$D.$\intf'(x)dx=f(x)+C$9.曲線$y=x^4-2x^2+1$的拐點可能是（）A.$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$x=0$C.$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$x=1$10.對于定積分$\int_{a}^f(x)dx$，正確的有（）A.當(dāng)$f(x)\geq0$時，$\int_{a}^f(x)dx$表示由曲線$y=f(x)$等圍成的面積B.定積分的值與積分變量的選取無關(guān)C.若$f(x)$在$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)D.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處可導(dǎo)。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]$不存在。（）3.不定積分$\intf(x)dx$的結(jié)果是唯一的。（）4.函數(shù)$y=x^2$在區(qū)間$(-\infty,0)$上單調(diào)遞增。（）5.定積分$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$。（）6.若$f(x)$在$x=a$處連續(xù)，則$\lim_{x\toa}f(x)=f(a)$。（）7.函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$的原函數(shù)是$-\frac{1}{x}$。（）8.曲線$y=x^3$的二階導(dǎo)數(shù)為$6x$。（）9.函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為零，則$f(x)$在該區(qū)間為常數(shù)函數(shù)。（）10.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-2x+1$的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)'=nx^{n-1}$，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可得$y'=3x^2-2$。2.計算定積分$\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx$。答案：$\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=[\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2}+[\lnx]_{1}^{2}=(\frac{1}{2}\times2^2-\frac{1}{2}\times1^2)+(\ln2-\ln1)=\frac{3}{2}+\ln2$。3.求函數(shù)$y=\ln(x^2+1)$的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)$y'=\frac{2x}{x^2+1}$。令$y'>0$，得$x>0$，函數(shù)在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增；令$y'<0$，得$x<0$，函數(shù)在$(-\infty,0)$單調(diào)遞減。4.已知函數(shù)$f(x)$的一個原函數(shù)是$e^{2x}$，求$\intf'(x)dx$。答案：因為$f(x)$的一個原函數(shù)是$e^{2x}$，則$f(x)=(e^{2x})'=2e^{2x}$。而$\intf'(x)dx=f(x)+C=2e^{2x}+C$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的連續(xù)性與間斷點情況。答案：函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域為$x\neq1$。在定義域內(nèi)每一點處函數(shù)都連續(xù)。$x=1$是間斷點，因為$x\to1$時，函數(shù)極限為無窮大，所以$x=1$是無窮間斷點。2.結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)$y=x^2-4x+3$的極值情況。答案：先求導(dǎo)$y'=2x-4$，令$y'=0$，解得$x=2$。當(dāng)$x<2$時，$y'<0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x>2$時，$y'>0$，函數(shù)遞增。所以$x=2$是極小值點，極小值為$y(2)=2^2-4\times2+3=-1$。3.闡述定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果帶常數(shù)$C$；定積分是數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)，計算有明確上下限。4.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖象的凹凸性？答案：對函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)。若二階導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)圖象在對應(yīng)區(qū)間是凹的；若二階導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)圖象在對應(yīng)區(qū)間是凸的。二階導(dǎo)數(shù)等于0的點可能是拐點，需進(jìn)一步判斷兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號。答案一、單項選擇題1.B2.A3.