一元二次方程的解法（2）考點先知考點先知知識考點因式分解法1.提公因式法解一元二次方程2.公式法解一元二次方程3.十字相乘法解一元二次方程換元法4.換元法解一元二次方程題型精析題型精析知識點一因式分解法知識點一因式分解法內(nèi)容因式分解法提公因式法解一元二次方程公式法解一元二次方程（主要是平方差公式）十字相乘法解一元二次方程【注意】配方法與公式法是萬能解法，所有題都能用，但是因式分解法類似于簡便方法，并不是所有一元二次方程都能用.題型一提公因式法解一元二次方程題型一提公因式法解一元二次方程例1方程的解是（）例1A．B．C．或2023D．或例2一元二次方程的解是（）例2A．B．C．，D．，變1一元二次方程的解為（）變1A．B．，C．，D．變2一元二次方程的根是（）變2A．0或3B．0C．0或2D．2例3例3（1）（2）例4例4（1）（2）變3解下列方程：變3（1）（2）變4解下列方程：變4（1）（2）題型二公式法解一元二次方程題型二公式法解一元二次方程例1解方程：.例1例2解方程：.例2變1解下列方程：變1（1）（2）.變2解方程：．變2題型三十字相乘法解一元二次方程題型三十字相乘法解一元二次方程內(nèi)容十字相乘法習(xí)慣養(yǎng)成：將一元二次方程化為一般形式（a，b，c都為整數(shù)，且a>0）.十字相乘法：用兩邊湊中間.【注意】并不是所有一元二次方程都能用十字相乘法，能夠由兩邊湊出中間才能用十字相乘法.例1例1（1）（2）（3）（4）變1解下列方程：變1（1）（2）（3）（4）例2例2（1）（2）（3）（4）變2解下列方程：變2（1）（2）（3）（4）例3例3（1）_____；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____.變3判斷下列方程是否可以用十字相乘法：變3（1）_____；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____.知識點二換元法知識點二換元法內(nèi)容換元法把一個整體換元為另一個未知數(shù)，再利用一元二次方程的解法求解.題型四換元法解一元二次方程題型四換元法解一元二次方程例1解方程：，利用整體思想和換元法可設(shè)，則原方程可化為：__________．例1變1在利用方程求時，辰萱同學(xué)令則原方程轉(zhuǎn)化為__________．變1例2若，則的值為（）例2A．B．4C．或4D．3或4例3已知實數(shù)滿足，則的值是（）例3A．B．或6C．6D．6或4變2已知，求的值為______．變2變3已知實數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是______．變3例4例4解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：（1）；（2）．變4閱讀與思考：變4解方程，解：設(shè)，則原方程可化為：①，解得，當時，，，當時，，，原方程的解為：，，，解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到了降次的目的，體現(xiàn)了______的數(shù)學(xué)思想；（2）請利用以上知識解方程：①；②．課后強化課后強化1.方程的根是（）A．，B．C．，D．2.一元二次方程的根為（）A．B．，C．，D．，3.方程的解是（）A．，B．，C．D．4.將轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這兩個方程是（）A．，B．， C．，D．，5.若三角形兩邊長分別為5和4，第三邊的長是方程的根，則此三角形的周長為（）A．16B．18C．15或17D．16或186.解方程：（1）（2）（3）（4）7.方程的兩個根為（）A．，B．，C．，D．，8.已知一個等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則該三角形的周長是（）A．10B．8C．8或10D．6或109.已知等腰的邊是方程的根，則的周長為（）A．9B．9或12C．6或15D．6或12或1510.解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）11.若，則（）A．B．4C．或4D．或312.已知，則______．13.已知為實數(shù)，且滿足，則的值是______．14.閱讀材料，解答問題：為解方程，我們將視為一個整體，解：設(shè)，則，原方程可化為，解得，，當時，，當時，，原方程的解為或．（1）上面的解題方法，利用______法達到了降冪的目的．（2）依據(jù)此方法解方程：．15.閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個整體，設(shè)，那么原方程可化為①，解得，．當，時，，．；當時，，．．故原方程的解為，，，．解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用______法達到了降次的目的，體現(xiàn)了______的數(shù)學(xué)思想；（2）請利用以上知識解方程：；（3）請利用以上知識解方程：．一元二次方程的解法（2）考點先知考點先知知識考點因式分解法1.提公因式法解一元二次方程2.公式法解一元二次方程3.十字相乘法解一元二次方程換元法4.換元法解一元二次方程題型精析題型精析知識點一因式分解法知識點一因式分解法內(nèi)容因式分解法提公因式法解一元二次方程公式法解一元二次方程（主要是平方差公式）十字相乘法解一元二次方程【注意】配方法與公式法是萬能解法，所有題都能用，但是因式分解法類似于簡便方法，并不是所有一元二次方程都能用.題型一提公因式法解一元二次方程題型一提公因式法解一元二次方程例1方程的解是（）例1A．B．C．或2023D．或【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：，，，或2023．故選：．例2一元二次方程的解是（）例2A．B．C．，D．，【分析】先移項得到，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：，，，或，所以，．故選：．變1一元二次方程的解為（）變1A．B．，C．，D．【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：，，，，故選：．變2一元二次方程的根是（）變2A．0或3B．0C．0或2D．2【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：，，，或，，，故選：．例3例3（1）（2）【答案】（1），(2)，【解析】（1），，，，∴或，∴，；（2）解：，整理得，∴，∴或，解得，．例4例4（1）（2）【答案】（1）(2)【詳解】（1），，，或，．（2）解：移項，得，即，進一步可變形為，∴或，解得：；變3解下列方程：變3（1）（2）【答案】(1)，（2），【詳解】（1）解：∴即∴，解得：，．（2），，，或，解得，，所以，原方程的解為，．變4解下列方程：變4（1）（2）【答案】（1），；（2），【詳解】（1）解：，，，，或，，．（2）∵，∴，∴，∴或，解得，．題型二公式法解一元二次方程題型二公式法解一元二次方程例1解方程：.例1【答案】，；【詳解】解：移項得，∴，∴或，∴，；例2解方程：.例2【答案】變1解下列方程：變1（1）（2）.【答案】（1）【詳解】解：∵，∴，∴或，解得；（2），，所以，；變2解方程：．變2【解答】，，或，所以，．題型三十字相乘法解一元二次方程題型三十字相乘法解一元二次方程內(nèi)容十字相乘法習(xí)慣養(yǎng)成：將一元二次方程化為一般形式（a，b，c都為整數(shù)，且a>0）.十字相乘法：用兩邊湊中間.【注意】并不是所有一元二次方程都能用十字相乘法，能夠由兩邊湊出中間才能用十字相乘法.例1例1（1）（2）（3）（4）【解答】解：（1），，或，所以，；（2），，或，解得，；（3），，或，，；（4）解：，或，解得：，．變1解下列方程：變1（1）（2）（3）（4）【解答】（1）解：∴，∴，即，∴，（2）解：，，或，解得，；（3）解：∵，∴，∴或，解得，．（4）∵，∴，∴，，解得．例2例2（1）（2）（3）（4）【解答】解：（1），，或，解得，．（2），因式分解得：，或，，；（3），，或，所以，．（4），．變2解下列方程：變2（1）（2）（3）（4）【解答】解：（1），，或，，．（2），或，所以，；（3）解：方程可以化為：，∴或，∴，．（4）解：原方程即為，∴，∴或，解得：.例3例3（1）_____；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____.變3判斷下列方程是否可以用十字相乘法：變3（1）_____；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____.知識點二換元法知識點二換元法內(nèi)容換元法把一個整體換元為另一個未知數(shù)，在利用一元二次方程的解法求解.題型四換元法解一元二次方程題型四換元法解一元二次方程例1解方程：，利用整體思想和換元法可設(shè)，則原方程可化為：__________．例1【分析】根據(jù)換元法，設(shè)，代入原方程即可求解．【解答】解：設(shè)，則原方程可化為：．故答案為：．變1在利用方程求時，辰萱同學(xué)令則原方程轉(zhuǎn)化為__________．變1【分析】令，則原方程轉(zhuǎn)化為．【解答】解：令，則原方程轉(zhuǎn)化為，例2若，則的值為（）例2A．B．4C．或4D．3或4【分析】設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為，然后利用因式分解法解該方程求得的值即可．【解答】解：設(shè)，則：．整理，得．所以或．所以或（舍去）．即的值為4，故選：．例3已知實數(shù)滿足，則的值是（）例3A．B．或6C．6D．6或4【分析】設(shè)，由原方程得到，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：設(shè)，則．整理，得．所以或．解得或．當時，，即，此時△，該方程無解．綜上所述，．故選：．變2已知，求的值為______．變2【分析】設(shè)為，利用換元法解答即可．【解答】解：設(shè)為，可得：，，解得：，（不合題意舍去），所以的值是3．故答案為：3．變3已知實數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是______．變3【分析】已知方程左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0求出所求式子的值即可．【解答】解：已知方程分解因式得：，可得或（無解），．故答案為：5．例4例4解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)，則原方程可化為．然后利用因式分解法解該方程，進而求得的值；然后再利用直接開平方法求得的值；（2）設(shè)，則原方程可化為，然后利用因式分解法解該方程，進而求得的值；然后再利用公式法求得的值．【解答】解：（1）設(shè)，則原方程可化為，整理，得，解得，．當時，即，解得，當時，即，解得．綜上所述，原方程的解為，；（2）設(shè)，則原方程可化為，整理，得，解得，．當時，即，，當時，無解．原方程的解為，．變4閱讀與思考：變4解方程，解：設(shè)，則原方程可化為：①，解得，當時，，，當時，，，原方程的解為：，，，解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到了降次的目的，體現(xiàn)了______的數(shù)學(xué)思想；（2）請利用以上知識解方程：①；②．【分析】（1）根據(jù)題中給出的解一元二次方程的方法即可直接得出結(jié)論；（2）①利用題中給出的方法先把當成一個整體來計算，求出的值，再解一元二次方程．②利用題中給出的方法先把當成一個整體來計算，求出的值，再解一元二次方程．【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到了降次的目的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．故答案為：轉(zhuǎn)化；（2）①設(shè)，原方程可變?yōu)?，則，或，，，當時，，解得；當時，，解得原方程的解為，，，．②設(shè)，原方程可變?yōu)?，解得，，，，解得，．課后強化課后強化1.方程的根是（）A．，B．C．，D．【分析】觀察發(fā)現(xiàn)此題用因式分解法比較簡單，在提取后，左邊將變成兩個式子相乘為0的情況，讓每個式子分別為0，即可求出．【解答】解：因式分解得：，或，解得：或．故選：．2.一元二次方程的根為（）A．B．，C．，D．，【分析】本題應(yīng)對方程進行變形，提取公因式，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題．【解答】解：原方程可化為，，，．故選：．3.方程的解是（）A．，B．，C．D．【分析】先移項得到，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：，，，或，所以，．故選：．4.將轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這兩個方程是（）A．，B．， C．，D．，【分析】先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于的一元一次方程．【解答】解：，，則，或，即或，故選：．5.若三角形兩邊長分別為5和4，第三邊的長是方程的根，則此三角形的周長為（）A．16B．18C．15或17D．16或18【分析】首先求出方程的根，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，確定第三邊的長，進而求其周長．【解答】解：將變形為，解得：，，三角形兩邊長分別為5和4，第三邊的邊長，即第三邊的邊長在1和9之間，第三邊的邊長為7．這個三角形的周長是．故選：．6.解方程：（1）（2）（3）（4）【分析】利用因式分解法求解．【解答】（1）解：原方程變形為：，因式分解：，或，解得：，．（2），整理得：，因式分解得：，即，或，，．（3）解：移項得，，提取公因式得，．故或，解得，．（4），，，，．7.方程的兩個根為（）A．，B．，C．，D．，【分析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：，，或，所以，．故選：．8.已知一個等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則該三角形的周長是（）A．10B．8C．8或10D．6或10【分析】解方程求得的值，再分兩種情況結(jié)合三角形的三邊關(guān)系求三角形的周長即可．【解答】解：，，解得，，當腰是2時，三邊分別2，2，4，不能組成三角形；當腰是4時，三邊分為4，4，2，能組成等腰三角形；所以此等腰三角形的周長是．故選：．9.已知等腰的邊是方程的根，則的周長為（）A．9B．9或12C．6或15D．6或12或15【分析】先利用因式分解法解方程得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰的三邊長可以為5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分別計算對應(yīng)的的周長．【解答】解：，，或，所以，，當?shù)妊倪呴L分別為5、5、2時，的周長為；當?shù)妊倪呴L分別為5、5、5時，的周長為；當?shù)妊倪呴L分別為2、2、2時，的周長為，綜上所述，的周長為6或12或15．故選：．10.解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）解：方程可以化為：，∴或，∴，；（2），（3），（4），（5）解：，∴.（6）解：，，∴或，∴，．11.若，則（）A．B．4C．或4D．或3【分析】設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為，然后利用因式分解法解該方程求得的值即可．【解答】解：設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為，整理，得，解得，（舍去）．則．故選：．12.已知，則______．【分析】設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為，利用因式分解法解方程即可