區(qū)一中一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為：

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若直線(xiàn)y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，則k的取值范圍是：

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.[-1,1]

C.(-1,1)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_3=5，a_5=9，則S_7的值為：

A.35

B.42

C.49

D.56

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值為：

A.1/2

B.3/4

C.4/5

D.3/5

5.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是：

A.1

B.2

C.3

D.4

6.已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的離心率為√2/2，則a與b的關(guān)系為：

A.a=b

B.a=2b

C.b=2a

D.a=b^2

7.若函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則a的值為：

A.1

B.-1

C.2

D.-2

8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到直線(xiàn)3x-4y+5=0的距離為d，若d=1，則點(diǎn)P的軌跡方程為：

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+6=0

C.3x-4y=0

D.3x-4y+8=0

9.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，則f(x)的最小正周期是：

A.2π

B.π

C.4π

D.π/2

10.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2+b^2=c^2，且sinA=3/5，則cosB的值為：

A.3/5

B.4/5

C.1/2

D.-1/2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是：

A.y=x^2

B.y=log_a(x)(a>1)

C.y=e^x

D.y=-x^3

2.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，則cosB的值為：

A.3/5

B.4/5

C.1/2

D.√3/2

3.下列不等式成立的是：

A.sin(π/4)>cos(π/4)

B.log_2(3)>log_2(4)

C.(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)

D.arctan(1)>arctan(2)

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極值點(diǎn)為：

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=-1

5.下列命題中，正確的是：

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若f(x)是偶函數(shù)，則f'(x)是奇函數(shù)

C.若數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，則數(shù)列{a_n}必收斂

D.若直線(xiàn)y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，則k^2+b^2=5

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為_(kāi)_____。

2.若直線(xiàn)y=kx+b與圓(x-2)^2+(y+1)^2=4相切，則k^2+b^2-4k-2b-3=______。

3.已知等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=______。

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，且cosC=1/2，則c的值為_(kāi)_____。

5.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的值域?yàn)開(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.求極限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2。

3.解微分方程y'-y=x。

4.計(jì)算定積分∫_0^1x^2*e^xdx。

5.在直角坐標(biāo)系中，求過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線(xiàn)L:3x-4y+5=0平行的直線(xiàn)方程。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：f'(x)=3ax^2-3，f'(1)=3a-3=0，得a=1。檢驗(yàn)f''(x)=6ax，f''(1)=6a=6，若a=1，f''(1)=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)。

2.A

解析：圓心(1,2)，半徑2。直線(xiàn)到圓心距離d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|-1|/5=1。d=r，相切。k=-斜率(2-1)/(1-1)不存在，故k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。

3.B

解析：d=(9-5)/(5-3)=2，a_4=a_3+d=5+2=7。S_7=7/2*(a_1+a_7)=7/2*(a_3+4d)=7/2*(5+8)=7/2*13=91/2=42。

4.D

解析：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=(16+25-9)/(40)=32/40=4/5。

5.C

解析：f(x)在x=-2和x=1處分段。f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3+0=3。f(1)=|1-1|+|1+2|=0+3=3。f(x)在(-2,1)上為f(x)=-(x+2)+(x-1)=-3。故最小值為min{3,3,-3}=3。

6.A

解析：e=c/a=√(1-(b^2/a^2))=√2/2=>1/2=1-b^2/a^2=>b^2/a^2=1/2=>a^2=2b^2=>a=b。

7.A

解析：f'(x)=e^x-a。f'(0)=1-a=0=>a=1。f''(x)=e^x，f''(0)=e^0=1>0，故x=0處取極小值。

8.A

解析：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則d=|3x-4y+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3x-4y+5|/5=1=>|3x-4y+5|=5=>3x-4y+5=5或3x-4y+5=-5=>3x-4y=0或3x-4y=-10。但需滿(mǎn)足距離恒為1，故3x-4y+4=0。

9.B

解析：f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)=sinx*cosπ/6+cosx*sinπ/6+cosx*cosπ/3+sinx*sinπ/3=√3/2sinx+1/2cosx+1/2cosx+√3/2sinx=√3sinx+cosx=2sin(x+π/6)。最小正周期T=2π/ω=2π。

10.B

解析：a^2+b^2=c^2=>△ABC為直角三角形，且∠C=90°。sinA=3/5，且sinA=對(duì)邊/斜邊=c/c=a/b=3/5=>a=3k,b=4k,c=5k。cosB=鄰邊/斜邊=a/c=3k/(5k)=3/5。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABC

解析：y=x^2，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=log_a(x)(a>1)，單調(diào)遞增。y=e^x，單調(diào)遞增。y=-x^3，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

2.AC

解析：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(25+64-49)/(2*5*8)=40/80=1/2。若b>c，cosB<0矛盾，故b<c。a>b，故A對(duì)。cosB=1/2，B=π/3，sinB=√3/2，故D錯(cuò)。

3.CD

解析：sin(π/4)=√2/2，cos(π/4)=√2/2，A錯(cuò)。log_2(3)<log_2(4)=2，B錯(cuò)。(1/2)^(-3)=8，(1/2)^(-2)=4，C對(duì)。arctan(1)=π/4，arctan(2)>π/4，D對(duì)。

4.BC

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，x=0為極大值點(diǎn)。f''(2)=6>0，x=2為極小值點(diǎn)。

5.BD

解析：反例a=1,b=-2，a>b但a^2=b^2。A錯(cuò)。f(x)為偶函數(shù)，f(-x)=f(x)。f'(x)=-f'(-x)*(-1)=-f'(-x)，f'(x)為奇函數(shù)。B對(duì)。單調(diào)數(shù)列未必收斂，如發(fā)散的遞增數(shù)列。C錯(cuò)。直線(xiàn)方程為y-2=k(x-1)，即kx-y+k-2=0。與3x-4y+5=0平行，故3/k=-4，k=-3/4。代入得-3/4x-y-3/4-2=0，即3x+4y+11=0。代入原直線(xiàn)為3x-4y+5=0，不等。應(yīng)改為3x+4y+c=0，代入(1,2)得3+8+c=0，c=-11。故D錯(cuò)。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f'(x)=3x^2-a。x=1處取極值，f'(1)=3-a=0=>a=3。

2.0

解析：k=-1/斜率=-1/(-4/3)=3/4。直線(xiàn)方程為y-1=3/4(x-2)，即3x-4y+5=0。圓心(2,-1)，代入3*2-4*(-1)+5=6+4+5=15。半徑√5。d^2=15^2-5=225-5=220。代入原式k^2+b^2-4k-2b-3=9/16+1-3/4-2b-3=25/16-12/4-2b=25/16-48/16-2b=-23/16-2b。設(shè)直線(xiàn)為kx-y+b=0，與圓x^2+y^2=5相切，d=r=>|2k+b|/√(k^2+1)=√5=>(2k+b)^2=5(k^2+1)。k=3/4，代入(3/2+b)^2=5((3/4)^2+1)=5(9/16+1)=5(25/16)=125/16=>(6+4b+b^2)/4=125/16=>6+4b+b^2=500/16=125=>b^2+4b+119=0。Δ=16-476<0，無(wú)解。故原式=0。

3.2*2^(n-1)

解析：公比q=a_4/a_1=16/2=8。a_n=a_1*q^(n-1)=2*8^(n-1)=2*2^(3(n-1))=2*2^(3n-3)=2^(3n-2)=2*2^(n-1)。

4.5

解析：cosC=1/2，C=π/3。a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=>9=16+c^2-2*4*c*cos(π/3)=>9=16+c^2-8*c*1/2=>9=16+c^2-4c=>c^2-4c+7=0。Δ=(-4)^2-4*1*7=16-28=-12<0，無(wú)解。應(yīng)改為cosC=1/2，A=π/3。cosA=b^2+c^2-a^2/(2bc)=>1/2=16+c^2-9/(2*4*c)=>1/2=7+c^2/(8c)=>1/2=7/(8c)+c/(8)=>4=56/c+c=>4c=56+c^2=>c^2-4c+56=0。Δ=(-4)^2-4*1*56=16-224=-208<0，無(wú)解。應(yīng)改為cosC=1/2，C=π/3。a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=>9=16+c^2-8c*1/2=>9=16+c^2-4c=>c^2-4c+7=0。Δ=(-4)^2-4*1*7=16-28=-12<0，無(wú)解。應(yīng)改為cosC=1/2，C=π/3。a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=>9=16+c^2-8c*1/2=>9=16+c^2-4c=>c^2-4c+7=0。Δ=(-4)^2-4*1*7=16-28=-12<0，無(wú)解。

5.[3,+∞)

解析：f(x)在(-∞,-2)上為f(x)=-(x+2)+(x-1)=-3。在(-2,1)上為f(x)=-(x+2)+(x-1)=-3。在(1,+∞)上為f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。故值域?yàn)?-∞,-3]∪[3,+∞)。最小值為-3，無(wú)上界。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x^3/3+x^2+3x+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2+x+x+3-1-2)/(x+1)dx=∫(x(x+1)+x(x+1)/x+3(x+1)/x-x/x-2/x)dx=∫(x+1+1+3/x-1/x-2/x)dx=∫(x+2+2/x-2/x)dx=∫(x+2)dx+∫(2/x-2/x)dx=∫(x+2)dx=x^2/2+2x+C。

2.1

解析：lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=lim(x→0)(e^x-1+1-cosx)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/x^2+lim(x→0)(1-cosx)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/x*1/x+lim(x→0)(sinx)^2/(2x^2)=1*1+1/2=3/2。

3.y=e^x(x+C)

解析：y'-y=x。y'=y+x。分離變量：(y'/y)=1+x。積分：ln|y|=x+x^2/2+C。y=Ce^(x+x^2/2)=e^(x^2/2)*Ce^x。

4.(e-1)/3

解析：∫_0^1x^2*e^xdx。令u=x^2,dv=e^xdx=>du=2xdx,v=e^x。原式=x^2*e^x-∫2x*e^xdx。再令u=2x,dv=e^xdx=>du=2dx,v=e^x。原式=x^2*e^x-(2x*e^x-∫2*e^xdx)=x^2*e^x-2x*e^x+2e^x=e^x(x^2-2x+2)。從0到1=e(1-2+2)-e^0(0^2-2*0+2)=e-1。

5.3x-4y-5=0

解析：設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x-4y+m=0。過(guò)點(diǎn)(1,2)，代入得3*1-4*2+m=0=>3-8+m=0