第四講下球坐標中的分離變量法第1頁，共30頁。球坐標系柱坐標系2025/8/312第2頁，共30頁。分離變量歐勒型方程2025/8/313第3頁，共30頁。球函數(shù)方程進一步分離變量：2025/8/314第4頁，共30頁。2025/8/315第5頁，共30頁。締合勒讓德方程2025/8/316第6頁，共30頁。本征函數(shù)即為締合勒讓德函數(shù)：如果問題具有軸對稱，可選z軸為對稱軸，則問題與無關，本征函數(shù)簡化為勒讓德函數(shù)：l=0,1,2,…2025/8/317第7頁，共30頁。二、球函數(shù)Clm可任取，一般取其滿足：2025/8/318第8頁，共30頁。2025/8/319第9頁，共30頁。2025/8/3110第10頁，共30頁。締合勒讓德函數(shù)正交歸一關系2025/8/3111第11頁，共30頁。前幾個球函數(shù)：2025/8/3112第12頁，共30頁。z軸對稱:m=0球?qū)ΨQ:l=m=0三、拉普拉斯方程的通解2025/8/3113第13頁，共30頁。四、球坐標系中亥姆霍茲方程的分離變量類似于拉普拉斯方程的分離變量球貝塞爾函數(shù)諾誒函數(shù)2025/8/3114第14頁，共30頁。例1在均勻外電場E0中置入半徑為r0的導體球，取球心為坐標原點，導體球上接有電池，使球與地保持電勢差為u0，求球內(nèi)、外的電勢。設導體球置入前坐標原點的電勢為零．五、球形域上的定解問題2025/8/3115第15頁，共30頁。除球面上有自由電荷分布外，球內(nèi)、外均無自由電荷分布，故u1與u2均滿足拉普拉斯方程如圖選取坐標系，原點在球心、極軸沿E0方向的球坐標系．解：球坐標系2025/8/3116第16頁，共30頁。1、定解問題2025/8/3117第17頁，共30頁。2、根據(jù)對稱性得通解形式2025/8/3118第18頁，共30頁。3、根據(jù)邊界條件求系數(shù)2025/8/3119第19頁，共30頁。外場電池感應2025/8/3120第20頁，共30頁。

例2半球的球面保持一定溫度u0cos

，半球底面保持零度，試求這個半球的穩(wěn)定溫度分布，設球半徑為r0如圖選取坐標系，原點在球心解：球坐標系2025/8/3121第21頁，共30頁。1、定解問題2025/8/3122第22頁，共30頁。2、將u作奇延拓，將半球問題轉(zhuǎn)化為全球問題因為Pl(x)定義在區(qū)間[-1,1],即在區(qū)間[0,]。目前的區(qū)間為[0,/2]，所以要作奇延拓。以

=/2為對稱點，cos正好是奇延拓u0cosq2025/8/3123第23頁，共30頁。球坐標系cos關于點

=/2為點對稱，故cos正好是從[0,/2]到[0,]的奇延拓2025/8/3124第24頁，共30頁。2、根據(jù)對稱性得通解形式3、根據(jù)邊界條件求系數(shù)2025/8/3125第25頁，共30頁。2025/8/3126第26頁，共30頁。例3在上例中，若半球底面絕熱，求這個半球里的穩(wěn)定溫度分布。1、定解問題2025/8/3127第27頁，共30頁。2、將u作偶延拓，將半球問題轉(zhuǎn)化為全球問題因?qū)?shù)為零，應以

=/2作偶延拓。以/2為對稱點，|cos|為偶延拓u0cosq2025/8/3128第28頁，共30頁。球坐標系|cos|關于點

=/2