集合、區(qū)間與充要條件專題集合、區(qū)間與充要條件1.1集合

重點(diǎn)難點(diǎn)理解集合與元素的概念以及它

們之間的關(guān)系，了解空集、有

限集和無限集的含義，掌握常

用數(shù)集的表示符號，掌握集合

的表示法，理解集合之間的關(guān)

系，掌握集合的運(yùn)算，理解區(qū)

間的概念和表示法，掌握充要

條件的含義.正確判斷并表示集合與元

素之間的關(guān)系，理解空集

的概念及性質(zhì)，理解集合

的相等，能識別集合的子

集和真子集，掌握集合之

間的運(yùn)算，區(qū)間的理解與

應(yīng)用，判斷兩個條件之間

充分和必要的關(guān)系.易錯點(diǎn)集合與元素之間關(guān)系的判斷，集合之間關(guān)系的判斷和表示，集

合的交集、并集、補(bǔ)集，將集合表示成對應(yīng)的區(qū)間，區(qū)間的表

示法和運(yùn)算，條件的判斷.

知識點(diǎn)1

集合與元素的概念以及它們之間的關(guān)系1.

（1）集合：一般地，由某些確定的對象組成的整體稱為集合，簡稱為集.（2）元素：組成集合的對象稱為集合的元素.2.

集合常用大寫英文字母表示，如A，B，C，…；集合的元素常用小寫英文字

母表示，如a，b，c，….3.

元素與集合之間有屬于和不屬于兩種關(guān)系，如果a是集合A的元素，那么就說

a屬于A，記作a∈A，讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，那么就說

a不屬于A，記作a?A，讀作“a不屬于A”.4.

組成集合的對象必須是確定的；同一個集合中的元素必須是互不相同的.

注：集合中的元素有確定性、互異性和無序性三個特征.知識點(diǎn)2

集合的分類1.

有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集.2.

空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作?，空集也是有限集.3.

無限集：含有無限個元素的集合稱為無限集.4.

由數(shù)組成的集合稱為數(shù)集.數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及記法如下表所示.數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR知識點(diǎn)3

集合的表示法1.

列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，中間用逗號隔開，并用花括號

“{

}”把它們括起來，這種表示集合的方法稱為列舉法.注：用列舉法表示集合時，當(dāng)集合中的元素很少且不為空集時，遵循“不重不

漏”的原則；當(dāng)集合為元素很多的有限集或無限集時，可以在花括號內(nèi)只寫出幾

個代表元素，其他元素用省略號表示，但寫出的元素必須要讓人明白省略號表示

了哪些元素.2.

描述法：利用元素的特征性質(zhì)來表示集合的方法稱為描述法.（1）用描述法表示集合時，在花括號“{

}”中畫一條豎線，豎線的左側(cè)是集合

的代表元素及取值范圍，豎線的右側(cè)是元素所具有的特征性質(zhì).如果集合的元素

是實(shí)數(shù)，那么“∈R”可略去不寫.（2）集合的簡單形式指可以省略豎線及其左側(cè)的代表元素，用描述性語言來敘

述集合的特征性質(zhì)，如{奇數(shù)}，{三角形}.（3）由數(shù)組成的集合稱為數(shù)集；由點(diǎn)組成的集合稱為點(diǎn)集；方程（組）或不等

式（組）的所有解組成的集合稱為方程（組）或不等式（組）的解集.注：有些集合適宜用列舉法表示，有些集合適宜用描述法表示，有些集合兩種方

法都適用，要根據(jù)具體問題進(jìn)行具體分析.知識點(diǎn)4

集合之間的關(guān)系1.

子集的概念及性質(zhì)（1）子集的概念：一般地，如果集合B的每一個元素都是集合A的元素，則稱

集合B是集合A的子集，記作B?A（或A?B），讀作“B包含于A”（或“A

包含B”）.（2）子集的性質(zhì)：①任何一個集合都是它本身的子集，即A?A.

②對于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.

③空集是任何集合的子集，即??A.

④集合A的子集的個數(shù)為2n（n為集合A中元素的個數(shù)）.⑤在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面內(nèi)封閉曲線的內(nèi)部表示集合，這種圖稱為Venn圖.

可用Venn圖表示集合之間的關(guān)系.如圖所示的Venn圖表示集合B是集合A的子集，即集合B中的任何一個元素都是

集合A中的元素，即B?A，x∈B?x∈A.

⑥如果集合B中存在不屬于集合A的元素，那么集合B就不是集合A的子集，記

作B?A（或A?B），讀作“B不包含于A”（或“A不包含B”）.2.

真子集的概念及性質(zhì)（1）真子集的概念：一般地，如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有

一個元素不屬于集合B，則稱集合B是集合A的真子集，記作B?A（或

A?B），讀作“B真包含于A”（或“A真包含B”）.（2）真子集的性質(zhì)：①對于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.

②空集是任何非空集合的真子集，即??A（其中A≠?）.③集合A的真子集的個數(shù)為2n－1（n為集合A中元素的個數(shù)）.④集合A的非空真子集的個數(shù)為2n－2（n為集合A中元素的個數(shù)）.3.

子集和真子集的區(qū)別（1）當(dāng)A?B時，可以得到A＝B或A?B；當(dāng)A?B時，可以得到A?B，但

A≠B.

（2）??A；??A（其中A≠?）.4.

集合的相等一般地，如果集合A的元素與集合B的元素完全相同，則稱集合A與集合B相

等，記作A＝B.

注：若A＝B，則它們所含的元素完全相同，即集合A中的元素都屬于集合B，

同時集合B中的元素也都屬于集合A，與元素的順序無關(guān).當(dāng)集合A，B均為有限

集時，只要元素的個數(shù)相等且元素相同，那么A＝B；當(dāng)集合A，B均為無限集

時，觀察這兩個集合的代表元素是否一致，若代表元素以及它所滿足的條件均一

致，則A＝B.

知識點(diǎn)5

集合的運(yùn)算1.

交集的概念及性質(zhì)（1）交集的概念：一般地，對于給定的集合A和集合B，由既屬于A又屬于B的

所有元素組成的集合，稱為集合A與集合B的交集，記作A∩B，讀作“A交

B”，寫作A∩B＝{x｜x∈A且x∈B}.當(dāng)兩個集合的交集不為空集時，可以用

Venn圖中的陰影部分表示；當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，這兩個集合的交集為空

集，如圖所示.（2）交集的性質(zhì)：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?，

A∩B?A，A∩B?B.

注：交集是由兩個集合的所有公共元素組成的集合，解決交集運(yùn)算時可利用數(shù)軸

或Venn圖.2.

并集的概念及性質(zhì)（1）并集的概念：一般地，對于給定的集合A與集合B，由集合A與集合B的所

有元素組成的集合稱為集合A與集合B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”，

寫作A∪B＝{x｜x∈A或x∈B}.兩個集合的并集可以用Venn圖中的陰影部分

表示，如圖所示.（2）并集的性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A，

A?A∪B，B?A∪B.

注：并集是由兩個集合的所有元素組成的集合，兩個集合中相同的元素只能出現(xiàn)

一次.3.

全集一般地，在研究某些集合時，如果這些集合是一個給定集合的子集，那么這

個給定的集合稱為全集，通常用字母U來表示.在研究數(shù)集時，通常把實(shí)數(shù)

集R作為全集.4.

補(bǔ)集的概念及性質(zhì)（1）補(bǔ)集的概念：一般地，如果集合A是全集U的一個子集，那么由集合U中

不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A在全集U中的補(bǔ)集，記作

UA，

讀作“A在U中的補(bǔ)集”，寫作

UA＝{x｜x∈U且x?A}.集合A在全集U中的

補(bǔ)集可以用Venn圖中的陰影部分表示，如圖所示.（2）補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪

UA＝U，A∩

UA＝?，

U（

UA）＝A，

U?＝U，

UU＝?.注：當(dāng)全集U為實(shí)數(shù)集R時，集合A的補(bǔ)集

UA可以簡寫為

A.

例1

下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）.A.

－1?ZB.0∈N*D.π?R【考查目標(biāo)】本題考查元素與集合的關(guān)系.【解析】

－1是最大的負(fù)整數(shù)；0是最小的自然數(shù)，但不是正整數(shù)；分?jǐn)?shù)屬于有

理數(shù)；π是實(shí)數(shù).【答案】

C【解題技巧】

1.元素與集合的關(guān)系包括屬于和不屬于，若集合中含有某元素，則

這個元素屬于這個集合；組成集合的對象是確定的，所以對于任何一個對象是否

屬于集合，也一定是確定的.2.

掌握元素與集合的關(guān)系，并會用∈和?來表示：a是集合A中的元素時，用

“a∈A”表示；a不是集合A中的元素時，用“a?A”表示.符號“∈”與

“?”的左側(cè)是元素，右側(cè)是集合.

∈∈?∈∈?∈例2

用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?（1）方程x2－x－2＝0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；【答案】

（1）{x∈R｜x2－x－2＝0}或{－1，2}.【解析】

（1）中元素的特征性質(zhì)是方程的解，可以求出方程的解后用列舉法表

示，也可以用描述法表示，只要元素x∈R且滿足x2－x－2＝0即可.（2）偶數(shù)集；【答案】（2）{偶數(shù)}或{x｜x＝2k，k∈Z}.【解析】（2）中的元素是整數(shù)，元素的特征性質(zhì)是2的倍數(shù)，可以寫成{x｜x＝

2k，k∈Z}.（3）不等式3x－1≥2的解集；【答案】（3）{x｜x≥1}.【解析】（3）中的元素x是實(shí)數(shù)，且滿足不等式3x－1≥2，求解后用描述法表

示即可.（4）直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合；【答案】（4）{（x，y）｜xy＝0}.【解析】（4）中的元素是直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示，特

征性質(zhì)是縱、橫坐標(biāo)的乘積為0，即xy＝0.

【答案】（5）{（3，2）}.【解析】（5）中元素的特征性質(zhì)是方程組的解，可求出方程組的解后用列舉法

表示.【考查目標(biāo)】本題考查集合的表示法.【解題技巧】根據(jù)元素的特征性質(zhì)來確定選用列舉法還是描述法.適合用列舉法

表示的集合中的元素較少，且可以一一列舉出來或具有很強(qiáng)的規(guī)律性；適合用描

述法表示的集合中的元素具有共同特征，常用于無限集.變式訓(xùn)練2（1）用列舉法表示下列集合.①正整數(shù)集；解：①{1，2，3，…}，②集合A＝{x｜（x－2）（x＋4）＝0}；解：②{－4，2}，③集合B＝{x∈N｜－3＜2x－1＜3}；解：③{0，1}，④一次函數(shù)y＝x＋1與y＝－2x＋6的圖像的交點(diǎn)組成的集合.

（2）用描述法表示下列集合.①所有三角形構(gòu)成的集合；解：①{三角形}，②在直角坐標(biāo)系中，第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；解：②{（x，y）｜x＜0且y＞0}，③二次函數(shù)y＝x2＋2的函數(shù)值組成的集合；解：③{y｜y≥2}，④不超過11的正奇數(shù)組成的集合.解：④{x｜x＝2k＋1，0≤k≤5，k∈Z}.例3

寫出下列每對集合之間的關(guān)系.（1）Z與Q；【解析】

（1）有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，根據(jù)集合之間的關(guān)系及真子集的概念，

可判斷出Z?Q.

（2）集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x∈N｜x＜5}；【解析】

（2）集合B＝{0，1，2，3，4}，集合B中的元素0不在集合A中，集

合A中的元素都在集合B中，根據(jù)真子集的概念，可判斷出A?B.

（3）集合M＝{x｜x＜3}，集合N＝{x｜x＜2}；【解析】

（3）畫數(shù)軸后利用數(shù)形結(jié)合，可判斷出小于3的數(shù)不一定小于2，但小

于2的數(shù)一定小于3，根據(jù)真子集的概念可得M?N.

（4）集合C＝{x｜x2＝4}，集合D＝{x｜｜x｜＝2}.【解析】

（4）集合C＝{－2，2}，集合D＝{－2，2}，根據(jù)集合相等的概念，

可判斷出C＝D.

【考查目標(biāo)】本題考查集合之間的關(guān)系.【解題技巧】解題關(guān)鍵是正確判斷兩個集合中元素之間的關(guān)系.當(dāng)集合是無限集

時，可以通過畫數(shù)軸后利用數(shù)形結(jié)合加以判斷，從而得到兩個集合之間的關(guān)系.

子集和真子集的區(qū)別是真子集一定是子集，但子集不一定是真子集.變式訓(xùn)練3下列說法正確的是（D）.A.

???B.

{x｜ln

x≤0}?{x｜－1≤x≤1}C.

{x｜x2－x－2＜0}?{x｜｜x－1｜＜2}D.

若{1，0}＝{1，m2－1}，則m＝±1D例4

（2023年安徽省職教高考真題）已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B

＝{－2，1}，則A∩B＝（）.A.{－2，1}B.{－1，0}C.{－2，－1}D.{0，1}【考查目標(biāo)】本題考查集合的運(yùn)算.【解析】因?yàn)榧螦＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{－2，1}，所以A∩B＝

{－2，1}.【答案】

A【解題技巧】集合的運(yùn)算包括交集、并集、補(bǔ)集，正確理解這三種運(yùn)算的定義是

解題的關(guān)鍵.集合的交集實(shí)質(zhì)上是指兩個集合的公共部分；并集是由兩個集合的

所有元素組成的集合，但要注意集合中元素的互異性；在求補(bǔ)集時，一定要注意

全集，全集因題而異.變式訓(xùn)練4（1）（2024年安徽省職教高考真題）已知集合A＝{－2，－1，0}，集合B＝

{－1，2}，則A∪B＝（A）.A.{－2，－1，0，2}B.{－2，－1，0}C.{－1，2}D.{－1}【解析】由題意可知，A∪B＝{－2，－1，0，2}.A（2）（2025年安徽省職教高考真題）已知集合A＝{3，6，9}，集合B＝

{1，3}，則A∩B＝（C）.A.{3}B.{1，3}C.{3，6，9}D.{1，3，6，9}A（3）（2020年安徽省職教高考真題）設(shè)全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{3，

4}，則

UA＝（C）.A.{1，2，3，4}B.{3，4}C.{1，2}D.

?C（4）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≤1}，集合B＝{x｜0＜x≤2}，求：①A∩B；解：①A∩B＝{x｜0＜x≤1}.②A∪B；解：②A∪B＝{x｜x≤2}.③（

UA）∩（

UB）；解：③因?yàn)?/p>

UA＝{x｜x＞1}，

UB＝{x｜x≤0或x＞2}，所以（

UA）∩

（

UB）＝{x｜x＞2}.④（

UA）∪（

UB）.解：④因?yàn)?/p>

UA＝{x｜x＞1}，

UB＝{x｜x≤0或x＞2}，所以（

UA）∪

（

UB）＝{x｜x≤0或x＞1}.

一、選擇題1.

下列命題中正確的個數(shù)有（A）個.①空集沒有子集；②任何一個集合至少有兩個子集；③任何一個集合必有一個真

子集；④空集是任何集合的真子集；⑤空集記作{?}.A.0B.1C.2D.3【解析】空集只有一個子集，是它本身，故①②錯；空集沒有真子集，故③錯；

空集是任何非空集合的真子集，故④錯；空集記作?，故⑤錯.A2.

下列各語句描述的對象：①大于5小于20且能被3和2同時整除的實(shí)數(shù)；②方程

x2＋2x＋6＝0的實(shí)數(shù)解；③

π的近似值；④某學(xué)校校園內(nèi)所有高一年級的學(xué)生.

其中能夠組成集合的是（C）.A.

①④B.

①③C.

①②④D.

③④3.

已知集合A＝{x｜x2＋x＝0}，則－1與集合A的關(guān)系為（A）.A.

－1∈AB.

－1?AC.

－1?AD.

－1?A【解析】由題意得集合A＝{x｜x2＋x＝0}＝{0，－1}，故－1∈A.

4.

下列命題正確的是（D）.A.

A∪B?BB.

（1，2）?{1，2，3}C.{（1，2）}＝{1，2}D.

A∩B?A∪BCAD5.

已知集合A＝{1，x，x2＋3}.若2∈A，則實(shí)數(shù)x的值為（C）.A.

－1B.0C.2D.3【解析】∵x是實(shí)數(shù)，∴x2＋3≥3，∴當(dāng)2∈A時，x＝2.6.

（2025屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谌温?lián)考）若集合M＝{x｜x＝0}，集合N＝{y｜y＝0}，則M∩N＝（B）.A.{（0，0）}B.{0}C.{（x，y）｜x＝0或y＝0}D.

?【解析】由題意，得M＝N＝{0}，則M∩N＝{0}.CB7.

已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{1，m}.若B?A，則m的值為（

D）.A.0B.0或1C.1或2D.0或2【解析】∵集合A＝{0，1，2}，集合B＝{1，m}，B?A，∴m＝0或m＝2.D8.

設(shè)集合A，集合B，集合C均為非空集合，則下列說法正確的是（C）.A.

若A∩B＝B∩C，則A＝CB.

若A∪B＝B∪C，則A＝CC.

若A∩B＝B∪C，則C?BD.

若A∪B＝B∩C，則C?BC【解析】A∩B＝B∩C時，A＝C不一定成立，如集合A＝{1，2，3}，集合B

＝{1}，集合C＝{1，2}，滿足A∩B＝B∩C，但A≠C，A項(xiàng)錯誤；A∪B＝

B∪C時，A＝C不一定成立，如集合A＝{1}，集合B＝{1，2，3}，集合C＝

{1，2}，滿足A∪B＝B∪C，但A≠C，B項(xiàng)錯誤；因?yàn)镃?（B∪C），

A∩B＝B∪C，所以C?（A∩B），又因?yàn)锳∩B?B，所以C?B，C項(xiàng)正

確；A∪B＝B∩C時，C?B不一定成立，如集合A＝{1}，集合B＝{1，2，

3}，C＝{1，2，3，4}，滿足A∪B＝B∩C，但B?C，D項(xiàng)錯誤.9.

（2021年安徽省職教高考真題）已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，

1}，則A∪B＝（C）.A.{0，1}B.{－1，0}C.{－1，0，1}D.{－1，1}10.

（2019年安徽省職教高考真題）已知集合A＝{1，2m＋1}，集合B＝{3，

1}，若A＝B，則m＝（B）.A.0B.1C.2D.311.

設(shè)集合A＝{1，m＋2}，集合B＝{m2，1}.若A＝B，則m＝（C）.A.2或－1B.

－1C.2D.1

CBC12.

設(shè)全集U＝{x∈N｜x＜5}，集合A＝{3，4}，則

UA＝（D）.A.{1，2，3，4}B.{3，4}C.{1，2}D.{0，1，2}【解析】因?yàn)槿疷＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{3，4}，所以

UA＝{0，1，

2}.13.

（2025屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖几呷茁?lián)考）已知全集U＝

{x∈N*｜x≤2}，集合A＝{1}，則

UA＝（D）.A.{0}B.{0，1}C.{0，2}D.{2}【解析】由題意，得全集U＝{x∈N*｜x≤2}＝{1，2}，又集合A＝{1}，所以

UA＝{2}.DD14.

（2024屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉诎舜温?lián)考）集合A與集合B的差集

可表示為A－B＝{x｜x∈A且x?B}，若集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝

{1，4}，則A－B＝（A）.A.{2，3}B.{1，3}C.{1，3，4}D.{1，2，3}【解析】由題意可知，A－B＝{2，3}.15.

（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第六次聯(lián)考）已知集合A＝{－1，0，

1}，集合B＝{1，｜m｜}，若B?A，則實(shí)數(shù)m＝（A）.A.0B.1C.1或0D.

－1【解析】因?yàn)榧螦＝{－1，0，1}，集合B＝{1，｜m｜}，且B?A，則｜m｜＝0，所以m＝0.AA16.

集合A＝{x｜x（x2－4）＝0，x∈R}的非空真子集的個數(shù)為（B）.A.4B.6C.7D.8【解析】因?yàn)閤（x2－4）＝x（x－2）（x＋2）＝0，x∈R，解得x＝0或x＝

2或x＝－2，所以集合A＝{－2，0，2}，故集合A的非空真子集有{－2}，{0}，

{2}，{－2，0}，{－2，2}，{0，2}，個數(shù)為6.B二、填空題17.

已知全集U＝{x∈N｜x≤10}，集合A＝{x∈N*｜x≤5}，集合B＝{0，

1，2，3}，則A∩B＝

，A∪B＝

，

UA

＝

，

UB＝

?.【解析】因?yàn)槿疷＝{x∈N｜x≤10}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，

10}，集合A＝{x∈N*｜x≤5}＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{0，1，2，3}，所

以A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，

UA＝{0，6，7，8，9，

10}，

UB＝{4，5，6，7，8，9，10}.18.

已知集合A＝{a，0，－1}＝{4，b，0}，則a＝

，b＝

?.19.

若3∈{1，a，a2－6}，則a＝

?.

{1，2，3}{0，1，2，3，4，5}{0，6，7，8，9，10}{4，5，6，7，8，9，10}4－1－3

21.

若{0，1，2}?A?{0，1，2，3，4}，則滿足條件的集合A有

個.22.

若集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2}，集合B＝{（x，y）｜x－y＝4}，則

A∩B＝

?.

－113{（3，－1）}23.

設(shè)集合A＝{x｜x≤1}，集合B＝{x｜x＞a}，若要使A∩B≠?，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是

.（用集合表示）【解析】結(jié)合數(shù)軸和A∩B≠?，可得a＜1.{a｜a＜1}三、解答題24.

若集合A＝{x｜ax2－2x＋3＝0}中只有一個元素，求實(shí)數(shù)a的值.