PAGE1試卷第=page4242頁(yè)，共=sectionpages4343頁(yè)1、第八章立體幾何初步（19題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記知識(shí)點(diǎn)1：棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱知識(shí)點(diǎn)2：棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐知識(shí)點(diǎn)3：棱臺(tái)（1）棱臺(tái)的定義定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形（3）棱臺(tái)的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)知識(shí)點(diǎn)4：圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱知識(shí)點(diǎn)5：圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐知識(shí)點(diǎn)6：圓臺(tái)（1）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)知識(shí)點(diǎn)7：空間幾何體的直觀圖（1）空間幾何體的直觀圖的概念直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.直觀圖是把空間圖形畫(huà)在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形.（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫(huà)法（斜二測(cè)畫(huà)法）（1）畫(huà)軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，畫(huà)直觀圖時(shí)作出與之對(duì)應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使（或）（2）畫(huà)線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行或在軸，軸上的線段.（3）取長(zhǎng)度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變.在軸上或平行于軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半.（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過(guò)程中的輔助線，就得到了直觀圖.方法歸納：設(shè)一個(gè)平面多邊形的面積為，利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為，則有.知識(shí)點(diǎn)8：空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫(huà)軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn),畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們分別畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn),且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫(huà)底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫(huà)側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡(jiǎn)記為：①畫(huà)軸；②畫(huà)底面；③畫(huà)側(cè)棱；④成圖.知識(shí)點(diǎn)9：斜二測(cè)畫(huà)法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長(zhǎng)度不變．知識(shí)點(diǎn)10：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積（1）正方體、長(zhǎng)方體的表面積正方體、長(zhǎng)方體的表面積就是各個(gè)面的面積的和長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體的表面積：棱長(zhǎng)為的正方體的表面積：.（2）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長(zhǎng).如圖:棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖由若干個(gè)三角形拼成如圖棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖由若干個(gè)梯形拼成如圖（3）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱的表面積：棱錐的表面積：棱臺(tái)的表面積：知識(shí)點(diǎn)11：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（1）棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.（2）棱錐的體積①棱錐的高：錐體的頂點(diǎn)到底面之間的距離，即從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即理解.（3）棱臺(tái)的體積①棱臺(tái)的高：臺(tái)體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，此點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng)②棱臺(tái)的體積：(,分別為上下底面面積，為臺(tái)體的高)知識(shí)點(diǎn)12：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積（1）圓柱的表面積①圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形.圓柱的底面半徑為,母線長(zhǎng)為,那么這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)為圓柱的母線長(zhǎng)，故圓柱的側(cè)面積為.②圓柱的表面積：.（2）圓錐的表面積①圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形.圓錐的底面半徑為,母線長(zhǎng)為,那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面周長(zhǎng)，半徑為圓錐的母線長(zhǎng)，故圓錐的側(cè)面積為②圓錐的表面積：（3）圓臺(tái)的表面積①圓臺(tái)的側(cè)面積：圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán).圓臺(tái)的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長(zhǎng)為,故圓臺(tái)的側(cè)面積為②圓臺(tái)的表面積：知識(shí)點(diǎn)13：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積（1）圓柱的體積：（2）圓錐的體積：（3）圓臺(tái)的體積：知識(shí)點(diǎn)14：球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:知識(shí)點(diǎn)15：異面直線（1）異面直線的概念不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫(huà)法畫(huà)異面直線時(shí),為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)，常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交知識(shí)點(diǎn)16：直線與平面平行(1)直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)表述：圖形語(yǔ)言直線與平面的平行關(guān)系(空間問(wèn)題)轉(zhuǎn)化為直線間的平行關(guān)系(平面問(wèn)題)即線線平行線面平行(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行符號(hào)表述：，，簡(jiǎn)記：線線平行線面平行注意：①定理中三個(gè)條件缺一不可②簡(jiǎn)記：線面平行，則線線平行③定理的作用：判斷直線與直線平行的重要依據(jù)④定理的關(guān)鍵：尋找平面與平面的交線知識(shí)點(diǎn)17：平面與平面平行的判定定理（1）兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.（定理簡(jiǎn)述：線面平行，則面面平行。）（2）符號(hào)語(yǔ)言（3）圖形語(yǔ)言（4）定理應(yīng)用線線平行面面平行知識(shí)點(diǎn)18：平面與平面平行的性質(zhì)定理（1）平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.（2）符號(hào)語(yǔ)言（3）圖形語(yǔ)言（4）定理應(yīng)用面面平行線線平行知識(shí)點(diǎn)19：異面直線所成角的概念已知兩條異面直線，，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)分別作直線，，我們把直線QUOTEa'與QUOTEb'所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）知識(shí)點(diǎn)20：異面直線所成角的范圍由異面直線所成角的定義得，異面直線所成的角是銳角或直角，即.注意：①異面直線所成角的大小不能是，若兩條直線所成角是，則這兩條直線平行，不可能異面.②空間兩直線所成的角的范圍是.知識(shí)點(diǎn)21：直線與平面垂直（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)P叫垂足.（2）符號(hào)語(yǔ)言：對(duì)于任意，都有.（3）圖形語(yǔ)言：（4）應(yīng)用：①若直線與平面垂直，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，從而可判斷直線與平面內(nèi)的直線互相垂直，即“若,,則”,簡(jiǎn)述為“若線面垂直，則線線垂直”因此直線與平面垂直的定義不僅是直線與平面垂直的判定方法，也是證明直線與直線垂直的重要且常用的方法.②重要結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.知識(shí)點(diǎn)22：直線與平面垂直的判定定理（1）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡(jiǎn)記：線線垂直線面垂直（2）符號(hào)語(yǔ)言：，，，，（3）圖形語(yǔ)言：如圖知識(shí)點(diǎn)23：直線與平面所成角（1）直線與平面所成角的定義如圖，一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.（2）說(shuō)明：①為斜線②與的交點(diǎn)為斜足③直線為在平面上的射影④直線與射影所成角(角)為直線與平面上所成角⑤當(dāng)直線與平面垂直時(shí)：；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)：⑥直線與平面所成角取值范圍：.（3）直線與平面所成角的求解步驟①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；③算：一般借助三角形的相關(guān)知識(shí)計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)24：二面角（1）二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．（2）符號(hào)語(yǔ)言：①二面角.②在,內(nèi)分別取兩點(diǎn)，(,),可記作二面角;③當(dāng)棱記作時(shí)，可記作二面角或者二面角.知識(shí)點(diǎn)25：二面角的平面角（1）定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn),以點(diǎn)為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直與直線的射線,,則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）說(shuō)明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度；②二面角的大小與垂足在上的位置無(wú)關(guān)一個(gè)二面角的平面角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的大小是相等的；③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個(gè)條件缺一不可，前兩個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個(gè)要素表明平面角所在的平面與棱垂直；④二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，；當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，⑤當(dāng)兩個(gè)半平面垂直時(shí)，，此時(shí)的二面角稱為直二面角.知識(shí)點(diǎn)26：二面角的平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（一般取特殊點(diǎn)），過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來(lái)找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角.(4)轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角（或其補(bǔ)角）.(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法（該方法我們將在選擇性必修第一冊(cè)中學(xué)到).知識(shí)點(diǎn)27：平面與平面垂直（1）定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.（2）符號(hào)語(yǔ)言:（3）圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)28：平面與平面垂直的判定定理（1）定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號(hào)（圖形）語(yǔ)言:，（3）應(yīng)用：線面垂直面面垂直.知識(shí)點(diǎn)29：平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(2)符號(hào)（圖形）語(yǔ)言：，，.(3)應(yīng)用：①面面垂直線面垂直②作平面的垂線.0303題型歸納題型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例題1：（23-24高一下·浙江·期中）下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．每個(gè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．所有棱長(zhǎng)都相等的四棱柱是正方體C．以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由平面圖形旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)體、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類【分析】根據(jù)題意，舉出反例可得AB錯(cuò)誤，由圓柱、圓錐的定義分析CD，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，如圖：在三棱錐中，有，，該每個(gè)面都是等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，底面為菱形的直四棱柱，其側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，該四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，但不是正方體，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，C正確；對(duì)于D，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐，D錯(cuò)誤．故選：C．例題2：（多選）（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體B．有兩個(gè)面平行，其余四個(gè)面都是平行四邊形的幾何體叫平行六面體C．棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形D．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類、判斷幾何體是否為棱柱【分析】根據(jù)棱柱的定義以及分類即可結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，底面是矩形的直棱柱是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，有兩個(gè)面平行，其余四個(gè)面都是平行四邊形的幾何體不一定是平行六面體.例如正方體中，取分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，且,則幾何體滿足有兩個(gè)面平行，其余四個(gè)面都是平行四邊形，但其不是平行六面體，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于D，底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體，由兩個(gè)面互相平行，其余各面均為四邊形，且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行的幾何體是棱柱.故有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱.如：

,故D錯(cuò)誤.對(duì)于C,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,故C正確，故選：ABD例題3：（23-24高一下·新疆烏魯木齊·期中）下列關(guān)于空間幾何體的說(shuō)法：①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；②棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行；③棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形；④圓柱的任意兩條母線互相平行.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】②③④【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類、圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析【分析】根據(jù)棱錐、棱柱和圓柱的結(jié)構(gòu)特征依次判斷即可求解.【詳解】對(duì)于①，各個(gè)面都是三角形的幾何體還可能是八面體；故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行；故②正確；對(duì)于③，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形；故③正確；對(duì)于④，由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，圓柱的任意兩條母線互相平行，故④正確；故答案為：②③④.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·天津·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是該圓柱的母線B．直四棱柱是長(zhǎng)方體C．將一個(gè)等腰梯形繞著較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個(gè)圓錐D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類、圓錐的結(jié)構(gòu)特征辨析【分析】要理解旋轉(zhuǎn)體，棱柱、圓錐、正棱錐的概念，正棱錐是底面是多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐．【詳解】解：A．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線與軸線平行是該圓柱的母線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是長(zhǎng)方體，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．將一個(gè)等腰梯形繞著較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，正確，符合題意，故選：D．2．（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）我們熟知的五面體有三棱柱、三棱臺(tái)、四棱錐等．《九章算術(shù)》中將有三條棱互相平行且不全相等，有一個(gè)面為矩形的五面體稱之為“芻甍”，對(duì)于“芻甍”下列判斷正確的是（

）A．三棱臺(tái)體不是“芻甍”B．“芻甍”有且僅有兩個(gè)面為三角形C．存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“芻甍”D．“芻甍”存在兩個(gè)互相平行的面【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類【分析】如圖，根據(jù)“芻甍”的定義，結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷即可.【詳解】如圖，，四邊形為矩形，A：三棱臺(tái)體是一個(gè)由一個(gè)三角形底面和一個(gè)平行的三角形頂面組成的五面體，三個(gè)側(cè)面是梯形.在三棱臺(tái)體中，有三對(duì)平行的棱（每對(duì)連接底面和頂面的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），而不是只有三條平行的棱，所以三棱臺(tái)體不是“芻甍”，故A正確；B：根據(jù)定義，三條棱互相平行且不全相等，不可能所有四個(gè)非矩形面都是梯形.所以“芻甍”必須有且僅有兩個(gè)面為三角形，故B正確；C：根據(jù)定義，三條棱互相平行且不全相等，不可能有兩個(gè)面為平行四邊形.所以不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“芻甍”，故C錯(cuò)誤；D：根據(jù)定義，三條棱互相平行且不全相等，如圖，“芻甍”不存在兩個(gè)互相平行的面，故D錯(cuò)誤.故選：AB.3．（多選）（23-24高一下·重慶璧山·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．棱柱是有且僅有兩個(gè)平面平行，其他平面為平行四邊形的多面體B．圓柱是由一個(gè)四邊形繞著其中一條邊旋轉(zhuǎn)得到的C．棱臺(tái)的所有側(cè)棱交于同一點(diǎn)D．用一個(gè)平面去截圓錐，這個(gè)平面和圓錐的底面之間的部分是圓臺(tái)【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類、圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征辨析【分析】根據(jù)圓柱、棱臺(tái)、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)判斷BCD，通過(guò)舉反例說(shuō)明A錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，由如圖所示多面體可知A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由圓柱的定義，是由一個(gè)長(zhǎng)方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)得到的圖形，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征值知，棱臺(tái)的各條側(cè)棱所在的直線一定相交于一點(diǎn)，故C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)截面與圓錐底面不平行時(shí)，底面與截面之間的部分不是圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.題型二表面路徑最短問(wèn)題例題1：（2024·湖南郴州·三模）已知圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為為圓臺(tái)的一條母線（點(diǎn)在圓臺(tái)的上底面圓周上），為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面一周爬行到點(diǎn)，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題、圓臺(tái)的展開(kāi)圖【分析】根據(jù)題意得到圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，再確定螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值，求解即可.【詳解】圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，母線長(zhǎng)為，所以，解得：，將圓臺(tái)所在的圓錐展開(kāi)如圖所示，且設(shè)扇形的圓心為O.線段就是螞蟻經(jīng)過(guò)的最短距離，設(shè)，圓心角是，則由題意知①，②，由①②解得，，，∴，，則.故選：C.例題2：（24-25高二上·上海寶山·期末）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長(zhǎng)為40公里，是母線上一點(diǎn)，且公里.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路.這條鐵路從出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則上坡段鐵路的長(zhǎng)度為公里.【答案】32【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題【分析】先展開(kāi)圓錐的側(cè)面，確定觀光鐵路路線，再根據(jù)實(shí)際意義確定下坡段的鐵路路線，最后解三角形得結(jié)果.【詳解】沿母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，如圖：

記為上的任意一點(diǎn)，作，垂足為，連接，由的長(zhǎng)為，得，由兩點(diǎn)間線段最短，知觀光鐵路為圖中線段，而，則，上坡即到山頂?shù)木嚯x越來(lái)越小，下坡即到山頂?shù)木嚯x越來(lái)越大，因此上坡段的鐵路，即圖中的線段，由，得.故答案為：32【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，確定鐵路對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.例題3：（23-24高一下·安徽·期中）（1）如圖1，底面半徑為1cm，高為3cm的圓柱，在點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱，由點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)（π取3）；（2）如圖2，在長(zhǎng)方體中，M是CC1的中點(diǎn)，，，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到點(diǎn)M，求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題、圓柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題意，把圓柱側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)A的母線剪開(kāi)，然后展開(kāi)成為矩形，由此分析可得答案；（2）根據(jù)題意，沿長(zhǎng)方體的一條棱剪開(kāi)，分3種情況討論，求出AM的值，比較可得答案.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，把圓柱的側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)A的母線剪開(kāi)，然后展開(kāi)成為矩形，如圖所示，連接AB，則AB就是為螞蟻爬行的最短距離，因?yàn)?，所以，所以螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為；（2）根據(jù)題意，沿長(zhǎng)方體的一條棱剪開(kāi)，有三種剪法，①如圖1，以DC為軸展開(kāi)，此時(shí)，②如圖2.以BC為軸展開(kāi)，此時(shí)，，③如圖3、以BB1為軸展開(kāi)，此時(shí)，綜上，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·上海·期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題【分析】將繞翻折到與共面，連接，則的長(zhǎng)度即為的最小值，利用勾股定理計(jì)算可得.【詳解】將繞翻折到與共面，平面圖形如下所示：連接，則的長(zhǎng)度即為的最小值，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的最小值?故答案為：.2．（23-24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）正三棱錐中，，過(guò)點(diǎn)A作一截面與側(cè)棱分別交于點(diǎn)，，則截面周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱錐的展開(kāi)圖【分析】將三棱錐的側(cè)面沿,,剪開(kāi)，得到如圖所示的五邊形，連接，分別交,于,，可得截面周長(zhǎng)的最小值為線段的長(zhǎng).【詳解】將三棱錐的側(cè)面沿,,剪開(kāi)，得到如圖所示的五邊形，連接，分別交,于,，再將展開(kāi)圖圍成三棱錐的側(cè)面，得到，即為周長(zhǎng)最小的截面三角形，由此可得截面周長(zhǎng)的最小值等于線段的長(zhǎng).正三棱錐中，，所以，又，所以等腰中，，即截面周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.

3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題【分析】補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊即可求解【詳解】在正方體的右側(cè)補(bǔ)一個(gè)同樣大小的正方體，得到如圖所示的長(zhǎng)方體，由對(duì)稱性可知，故．故答案為：【點(diǎn)睛】此類線段長(zhǎng)度之和的最值問(wèn)題，一般通過(guò)展開(kāi)或者補(bǔ)形，將它轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊來(lái)解決．題型三空間幾何體的截面圖及應(yīng)用例題1：（24-25高三上·天津南開(kāi)·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則平面截該正方體的外接球得到的截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算【分析】連接，再根據(jù)直角三角形中的關(guān)系可得點(diǎn)到的距離等于圓心到平面的距離，再根據(jù)垂徑定理求解截面圓的半徑即可.【詳解】如圖，連接，由題意易知，，故四邊形為平行四邊形.設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，在Rt中，，故點(diǎn)到的距離為，故點(diǎn)到的距離為，因此圓心到平面的距離為.由題易知球的半徑，故平面截球得到的截面圓的半徑，故截面圓的面積.故選：D例題2：（多選）（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是的中點(diǎn)，用一個(gè)平面截該正方體，截面面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則B．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．則經(jīng)過(guò)點(diǎn)．則經(jīng)過(guò)的一個(gè)三等分點(diǎn)【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀【分析】根據(jù)正方體的截面的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則截面為等邊三角形，面積為，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則截面為菱形，，設(shè)，則，，所以菱形的面積為，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，則截面為正六邊形，不經(jīng)過(guò)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，交于，則截面為，由于是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，則，所以，所以是的三等分點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決正方體截面問(wèn)題，關(guān)鍵是要根據(jù)已知的點(diǎn)的位置準(zhǔn)確想象出截面的形狀，然后利用平面幾何知識(shí)（如三角形、菱形面積公式，相似三角形性質(zhì)等）進(jìn)行計(jì)算和推理.對(duì)于判斷點(diǎn)是否在截面上或點(diǎn)之間的位置關(guān)系，常通過(guò)延長(zhǎng)線、連線等方法構(gòu)建幾何圖形，利用中點(diǎn)、平行等條件得出結(jié)論.例題3：（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分別是BB1和A1C1的中點(diǎn)，則平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀【分析】延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，得到的四邊形是平面截“塹堵”所得截面圖形，根據(jù)圖形特征，將四邊形分為和，可得所求面積.【詳解】延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則∈平面，連接，與交于點(diǎn)，連接，得到的四邊形是平面截“塹堵”所得截面圖形，由題意解三角形可得，，，∴中邊上的高，中邊上的高.∴截“塹堵”所得截面圖形的面積.故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·上海普陀·階段練習(xí)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為4，過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為8，則該圓錐底面半徑的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的結(jié)構(gòu)特征辨析、圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算【分析】依據(jù)題意作出圓錐的軸截面，再分析其軸截面三角形的頂角是否大于等于，結(jié)合三角函數(shù)即可得解.【詳解】如圖，是圓錐的軸截面，設(shè)圓錐的底面圓半徑為.若,所得截面面積最大值為,則,故不符合題意；若，此時(shí)所得截面面積得最大值為，符合題意，此時(shí)有，解得，又，則.故選：D.2．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則平面截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，即可得到截面圖形，再利用相似驗(yàn)證即可.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則五邊形為平面截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形，不妨設(shè)，又點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，，，所以，又，所以，又，所以，又，即，解得，又，即，解得，符合題意，即五邊形為平面截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形.故選：C3．（多選）（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體，過(guò)點(diǎn)的平面將四面體的體積平分，則下列命題正確的是（

）A．截面一定是銳角三角形 B．截面可以是等邊三角形C．截面可能為直角三角形 D．截面為等腰三角形的有6個(gè)【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】正棱錐及其有關(guān)計(jì)算、棱錐中截面的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正四面體的幾何特征，以及余弦定理和三角形的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)的截面交底面于點(diǎn)，且，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的平面將正四面體的體積平分，即平分的面積，可設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，可得，解得，且，對(duì)于A中，在中，可得，在中，可得，在中，可得，則，即，同理可得，，即在中，任意的兩邊的平方和大于第三邊，所以為銳角三角形，所以A正確；對(duì)于B中，若截面為等邊三角形，則滿足，若，即，可得，此時(shí)，可得，所以截面不是等邊三角形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，要使得平面平分三棱錐的體積，即平分的面積，此時(shí)為的中點(diǎn)，此時(shí)，則中，邊取得最小值，且，且，可得，此時(shí)的最大角為銳角，所以不能為直角三角形，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，當(dāng)過(guò)點(diǎn)截面過(guò)底面的一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊的中點(diǎn)時(shí)，如圖（1）所示，得到截面，,，此時(shí)，此時(shí)三個(gè)三角形都為等腰三角形，且滿足把正四面體的體積平分；如圖（2）所示，在的邊長(zhǎng)上分別取，使得，連接，使得恰好平分的面積，此時(shí)截面恰好平分正四面體的體積，且為等腰三角形，綜上可得，截面為等腰三角形的有6個(gè)，所以D正確.故選：AD.

題型四立體圖形的直觀圖例題1：（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）如圖，按斜二測(cè)畫(huà)法所得水平放置的平面四邊形的直觀圖為梯形其中以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積為（

）

A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則還原出原圖形，進(jìn)而確定旋轉(zhuǎn)體的形狀，再根據(jù)相關(guān)特征計(jì)算幾何體體積即可.【詳解】解：由題意，所以，如圖，原圖形中，，所以直角梯形的邊AD為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺(tái)，，故選：D.

例題2：（多選）（23-24高一下·河北·期中）如圖所示，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的，，，則在直觀圖中，以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．的面積為C．邊上的高為 D．邊上的高為【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】在軸上取，即，所以A正確；在圖①中，過(guò)B作軸，交x軸于D，在軸上取，過(guò)點(diǎn)作軸，并使，如圖②所示：于點(diǎn)D，則為原圖形中邊上的高，且，，，所以C正確；在直觀圖中作于點(diǎn)，，，所以D錯(cuò)誤；，所以B正確．故選：ABC．例題3：（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形（如圖），則中邊長(zhǎng)與的邊長(zhǎng)相等的邊上的高為

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】由斜二測(cè)畫(huà)法的特點(diǎn)可知平行于軸的邊長(zhǎng)不變，在直觀圖中由正弦定理求出，然后求出原圖中的長(zhǎng)度即可求解.【詳解】由于用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則中邊長(zhǎng)與的邊長(zhǎng)相等的邊為，在中，，，所以，由正弦定理得：，所以，所以原圖中邊上的高為：，故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角.已知是斜邊的中點(diǎn)，且，則的邊上的高為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】在直觀圖中軸，可知原圖形中軸，故，求直觀圖中的長(zhǎng)即可求解.【詳解】因?yàn)橹庇^圖是等腰直角，，所以，根據(jù)直觀圖中平行于軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，所以的邊上的高.故選：C.2．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對(duì)角線的長(zhǎng)度為（

）A． B．3 C．2 D．5【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)法畫(huà)平面圖形的直觀圖、斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算、由直觀圖還原幾何圖形【分析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形再結(jié)合勾股定理求出對(duì)角線即可.【詳解】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，如圖，由斜二測(cè)法則知，，所以．故選：A．3．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形由斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，其中，，則原圖形面積是.

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)法畫(huà)平面圖形的直觀圖、由直觀圖還原幾何圖形【分析】由直觀圖還原為原圖，分別求得邊長(zhǎng)從而得到面積.【詳解】

如圖1，設(shè)與交點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以?的平面圖如圖2所示：

則，.故答案為：.題型五簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積例題1：（24-25高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為π且半徑為2的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)等于扇形弧長(zhǎng)可求出底面圓半徑，進(jìn)而求得圓錐的高，利用體積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，則，由題意得，，解得，∴，∴圓錐的體積為.故選：A.例題2：（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】分析可知點(diǎn)在底面的投影為的斜邊的中點(diǎn)，結(jié)合球的性質(zhì)求得外接球的半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，即，則，可知的外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，

又因?yàn)?，可知點(diǎn)在底面的投影為的外接圓圓心，可得，則三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，可得，解得，所以外接球的表面積為，的面積為；的面積為；的面積為；所以三棱錐的側(cè)面積為，所以三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側(cè)面積之比為.故選：A.例題3：（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知圓錐（是底面圓的圓心，是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為1，、為底面圓周上任意兩點(diǎn).有以下三個(gè)結(jié)論：①三角形面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為③四面體外接球表面積的最小值為.以上正確的結(jié)論是.【答案】②【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】首先確定的最大值，再結(jié)合三角形面積公式，即可判斷①；利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化，再集合三角形面積公式，即可判斷②；首先表示四面體外接球的半徑，再判斷有無(wú)最值.【詳解】對(duì)于①：如圖，由條件可知，，點(diǎn)是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，，所以是鈍角，，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值是，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：，，當(dāng)時(shí)，的最大值是，所有三棱錐的最大值是，故②正確；對(duì)于③：設(shè)外接圓的半徑為，四面體SOPQ外接球的半徑，中，根據(jù)正弦定理可得，得，，所以，則外接球的半徑也無(wú)最小值，所以四面體SOPQ外接球表面積無(wú)最小值，故③錯(cuò)誤.

故答案為：②鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）已知三棱錐滿足，，，且其體積為，若點(diǎn)（正投影在內(nèi)部）到，，的距離相等，則三棱錐的表面積為（

）A．18 B．21 C．24 D．27【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】棱錐表面積的有關(guān)計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】由題意可得點(diǎn)在底面射影為內(nèi)切圓圓心，利用等面積法求內(nèi)切圓半徑，得出側(cè)面斜高即可求解.【詳解】由，，知為直角三角形，設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為，由題意得為的內(nèi)心，

，得，內(nèi)切圓半徑為．點(diǎn)到三邊的距離均為，．故選：C2．（24-25高三上·河南·開(kāi)學(xué)考試）如圖所示是一個(gè)無(wú)蓋的瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺(tái)組成，圓柱的底面圓的半徑為1，圓臺(tái)的下底面圓的半徑為2，圓柱和圓臺(tái)的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為，則瓶子的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求組合體的體積【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的側(cè)面積和體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓柱和圓臺(tái)的高為，圓臺(tái)的母線為，則.瓶子的側(cè)面積，解得.瓶子的體積.故選：A3．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）長(zhǎng)為，寬為1的矩形，以它的對(duì)角線所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】求旋轉(zhuǎn)體的體積、錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，求出，，然后結(jié)合圓錐體積公式利用割補(bǔ)法求解即可.【詳解】如圖，是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，

設(shè)、、繞直線旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積分別為，、，則有，，所求體積．故答案為：題型六內(nèi)切球問(wèn)題之獨(dú)立截面法例題1：（24-25高二上·湖北荊州·階段練習(xí)）若某圓臺(tái)有內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺(tái)與其內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、由線面角的大小求長(zhǎng)度、圓臺(tái)表面積的有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)圓臺(tái)的內(nèi)切球的性質(zhì)以及線面夾角可得，且，以及內(nèi)切球的半徑，再結(jié)合圓臺(tái)和球的面積公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，取圓臺(tái)的軸截面，作，垂足為，設(shè)內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點(diǎn)，可知，，由題意可知：母線與底面所成角為，則，可得，即，，可得，可知內(nèi)切球的半徑，可得，，所以.故選：C.例題2：（24-25高二上·山東濰坊·期中）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，母線長(zhǎng)為.若該圓臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)球，則球的半徑的最大值為；若該圓臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)正方體，且底面在圓臺(tái)的下底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，以為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長(zhǎng)度為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征辨析【分析】求出圓臺(tái)的高，再利用軸截面圖形求出球半徑最大值；把圓臺(tái)還原成圓錐，利用軸截面求出正方體的最大棱長(zhǎng)，再確定球與正方體的交線即可得解.【詳解】依題意，圓臺(tái)的軸截面是上下底邊長(zhǎng)分別為，母線長(zhǎng)為的等腰梯形，圓臺(tái)的高，即等腰梯形的高，由，得，圓臺(tái)內(nèi)的最大球球心在圓臺(tái)上下底面圓心所連線段上，最大球的截面大圓在等腰梯形內(nèi)，圓心在線段上，當(dāng)該圓與等腰梯形的腰相切時(shí)，，以為直徑的圓同梯形的腰相交，所以球的半徑的最大值為；

把圓臺(tái)還原成圓錐，則圓臺(tái)軸截面等腰梯形兩腰延長(zhǎng)即得圓錐的軸截面等腰，正方體上底面的外接圓為圓臺(tái)平行于底面的截面圓，又圓臺(tái)的高大于其上底面圓直徑，因此正方體的棱長(zhǎng)小于，其對(duì)角面為等腰的內(nèi)接矩形，如圖，設(shè)，則，，交于點(diǎn)，則，由，解得，因此正方體最大棱長(zhǎng)為，此時(shí)以為球心，半徑為的球與正方體表面交線是該正方體共點(diǎn)的個(gè)正方形面與球的大圓構(gòu)成的以直角為加以圓心角，半徑為的段圓弧組合而成，交線長(zhǎng)為.故答案為：；

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.例題3：（23-24高一下·福建龍巖·期中）“圓錐容球”是指圓錐形的容器里放了一個(gè)球，且球與圓錐的側(cè)面及底面均相切（即圓錐的內(nèi)切球）.已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，高為，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為.（容器壁的厚度忽略不計(jì)）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)相切的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】作圓錐的軸截面圖，如圖，

由圖，為等邊三角形，則，又，所以，所以在正中，，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，則在上，且，，在中，，所以，解得，所以外接球表面積．故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（22-23高二上·安徽宣城·開(kāi)學(xué)考試）如圖，正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為分別為，的中點(diǎn)，8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】該十面體及內(nèi)切球的正投影為等腰梯形與內(nèi)切圓，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，求出即得解.【詳解】解：該十面體及內(nèi)切球的正投影為等腰梯形與內(nèi)切圓，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，如圖所示，，所以，可得，故該內(nèi)切球的表面積為.故選：A2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）與圓臺(tái)的上下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若某圓臺(tái)的上底面圓的半徑為1，且該圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑為2，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓臺(tái)表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】利用圓臺(tái)軸截面是其內(nèi)切球截面大圓的外切等腰梯形，結(jié)合已知求出圓臺(tái)下底面圓半徑，進(jìn)而求出側(cè)面積.【詳解】依題意，圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是圓臺(tái)內(nèi)切球的截面大圓，圓臺(tái)上下底面圓心分別是梯形上下底的中點(diǎn)，令圓切腰于，則，過(guò)作于，則，由，得，解得，因此圓臺(tái)母線，所以圓臺(tái)側(cè)面積.故答案為：3．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺(tái)的內(nèi)切球(與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺(tái)的內(nèi)切球)的表面積為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓臺(tái)表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、球的表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】利用已知條件求得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺(tái)的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處,設(shè)球O與母線切于M點(diǎn),所以,所以(R為球O的半徑),所以與全等,所以,同理，所以，，所以，所以圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑，內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.題型七內(nèi)切球問(wèn)題之等體積法例題1：（2024·吉林·三模）點(diǎn)M、N為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，T為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A．1 B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正切公式、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合等體積法可得，，進(jìn)而可得當(dāng)，與圓相切時(shí)，最大，利用相切以及銳角三角函數(shù)和二倍角公式即可求解?！驹斀狻吭O(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)該正四面體的內(nèi)切球的球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，顯然在線段上，顯然該正四面體內(nèi)切球的半徑為，如圖所示，

由正弦定理可得，故，由等體積法可得，解得，則，由球的性質(zhì)可知，當(dāng)，與圓相切時(shí)，最大，如圖所示，，，

由圓的切線長(zhǎng)定理可知：，在直角三角形中，，最大時(shí)，最小，因?yàn)?，所以此時(shí)為的中點(diǎn)，即有，正四面體的內(nèi)切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，所以，因此，，于是有．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等體積法得等體積法可得，，由球的性質(zhì)得當(dāng)，與圓相切時(shí)，最大，根據(jù)，最大時(shí)，最小，利用二倍角公式求解.例題2：（23-24高二下·浙江寧波·期末）已知四棱錐的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱錐內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個(gè)面均相切），則，該內(nèi)切球的表面積為.【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、球的表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)內(nèi)切球在等邊三角形內(nèi)的“正投影”求得內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切球的表面積，利用等體積法，即可求解.【詳解】由于平面平面，，，.為直角三角形，底面為矩形，所以四棱錐的內(nèi)切球在的“正投影”是的內(nèi)切圓，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，所以內(nèi)切球的半徑為1，其表面積為．設(shè)，則平面平面，且交線為,平面,所以平面，同理平面，平面,故,故,由余弦定理可得，進(jìn)而可得，由等體積法可得化簡(jiǎn)可得，故（舍去），故答案為：7，鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）已知矩形中，，沿著對(duì)角線將折起，使得點(diǎn)不在平面內(nèi)，當(dāng)時(shí)，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】根據(jù)題意分析可得四面體的外接球的球心為的中點(diǎn)，再利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可知，即為該四面體的外接球的球心，故外接球的半徑；因?yàn)?，，平面，可得平面，平面，則，且，，平面，可得平面，平面，則，故該四面體的四個(gè)面都是直角三角形，設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)閮?nèi)切球與四面體的四個(gè)面都相切，故滿足，則，解得；因此該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積的比值為.故選：C.

2．（23-24高三上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知球O是棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、求空間向量的數(shù)量積【分析】利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，以及正四面體中內(nèi)切球球心到頂點(diǎn)的距離，從而可得，再根據(jù)即可求解.【詳解】如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正四面體中，設(shè)四面體內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，取中點(diǎn)為，則,,所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?因?yàn)闉榍騉的一條直徑，所以,所以，因?yàn)椋裕?，故答案?.題型八外接球問(wèn)題之補(bǔ)形法例題1：（24-25高二上·安徽宣城·開(kāi)學(xué)考試）在四面體中，已知點(diǎn)，分別為棱，中點(diǎn)，且，，若，，則該四面體外接球半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】根據(jù)四面體的對(duì)棱性質(zhì)，結(jié)合長(zhǎng)方體面對(duì)角線的性質(zhì)，即可將四面體的外接球問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題，即可得半徑.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的面對(duì)角線特點(diǎn)，由對(duì)棱，且對(duì)棱中點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，，則可構(gòu)造長(zhǎng)方體使得四面體的頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合，由長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，如下圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為則，，所以外接球的半徑，即四面體的外接球半徑為.故選：A例題2：（23-24高一下·遼寧本溪·期末）正六面體部分頂點(diǎn)連線，面的中心連線完美的勾勒出正四面體，正八面體，而正四面體的外接球恰好是正方體的外接球，立體幾何中有好多類似的事實(shí)存在：若四面體，則該四面體外接球的體積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】根據(jù)給定條件，把四面體置于長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可得解.【詳解】在四面體中，，則四面體的四個(gè)頂點(diǎn)可為一長(zhǎng)方體兩個(gè)相對(duì)面的成異面直線的兩條對(duì)角線的端點(diǎn)，此長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，設(shè)此長(zhǎng)方體共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，則，于是，四面體的外接球半徑，有，解得，所以該四面體外接球的體積.故答案為：例題3：（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知正四面體中，是棱上一點(diǎn)，過(guò)作平面，滿足，，若、到平面的距離分別是3和9，則正四面體的外接球被平面截得的截面面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】采用補(bǔ)體法將正四面體放入正方體中，根據(jù)題意求出正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求得其外接球的半徑，根據(jù)勾股定理求出截面圓的半徑，即可求解截面面積.【詳解】如圖所示，將正四面體放入一個(gè)正方體中，

因?yàn)?、到的距離分別為3、9，距離之和為12，即正方體的棱長(zhǎng)為12，因?yàn)榍蛐氖钦襟w的中心，故球心到平面的距離為，又球的直徑，所以，所以所截得的截面圓的半徑，故球被平面所截得的圓的面積．故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，，，兩兩垂直，且，，，E是棱BC的中點(diǎn)，過(guò)E作四面體外接球O的截面，則所得截面圓的面積的最大值與最小值之差是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】把四面體放到長(zhǎng)方體中，根據(jù)球的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)所得截面圓的面積為，半徑為r．因?yàn)?，，兩兩垂直，故可將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖所示，易得外接球半徑．過(guò)E作球O的截面，當(dāng)所得截面圓的面積最大時(shí)，截面為過(guò)球心的圓面，，當(dāng)所得截面圓的面積最小時(shí)，截面為與最大截面垂直的圓面．在內(nèi)，，所以，即，，所以．故選：B．2．（2024·黑龍江·二模）已知三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，，則三棱錐的外接球半徑為；點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可擴(kuò)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球半徑得三棱錐的外接球半徑；由動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，求長(zhǎng)度.【詳解】三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，，如圖所示，則有，，把三棱錐擴(kuò)成長(zhǎng)方體，則有，解得，則長(zhǎng)方體外接球半徑，所以三棱錐的外接球半徑；點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，由，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：三組對(duì)棱分別相等的四面體(三棱錐)——補(bǔ)形為長(zhǎng)方體(四面體的棱分別是長(zhǎng)方體各面的對(duì)角線).3．（23-24高一下·天津紅橋·期末）已知三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)在球面上，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)，，則此球的半徑是.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而可得兩兩垂直，可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方體，利用正方體的性質(zhì)求外接球的半徑.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，在中，因?yàn)椋瑒t，由余弦定理可得，即，解得（負(fù)值已舍去），可知，即，同理可得，，所以兩兩垂直，可以把三棱錐轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，即.故答案為：.題型九外接球問(wèn)題之單面定球心法例題1：（24-25高三上·甘肅張掖·期中）在三棱錐中，平面，，，則該棱錐的外接球半徑為（

）.A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】根據(jù)給定條件，求出外接圓半徑，球心到平面的距離，再利用球的截面圓性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】令的外接圓圓心為，球心為，則平面，而平面，于是，又球心在線段的中垂面上，此平面與平面平行，取中點(diǎn)則，在中，，，則，的外接圓半徑，所以該棱錐的外接球半徑.故選：A

例題2：（24-25高三上·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）已知正三棱錐的外接球?yàn)榍?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圖形面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】作出輔助線，設(shè)該球半徑為，利用勾股定理求出，求出，從而確定球心到過(guò)點(diǎn)的截面圓的距離，故截面圓半徑，得到截面面積的取值范圍.【詳解】作平面，則是等邊的中心，設(shè)是正三棱錐外接球的球心，點(diǎn)在上，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則.設(shè)該球半徑為，則.由，可得，故.在中，，解得.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，在中，，所以，設(shè)球心到過(guò)點(diǎn)的截面圓的距離為，可知，截面圓半徑，所以截面圓的面積的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑例題3：（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知正三棱錐的外接球?yàn)榍蚴乔蛏先我庖稽c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的結(jié)構(gòu)特征辨析【分析】對(duì)于正三棱錐，底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心.要求的取值范圍，需要先求出外接球的半徑以及球心到點(diǎn)的距離，的取值范圍就是球心到點(diǎn)的距離加減外接球半徑.【詳解】因?yàn)榈酌媸钦切危?根據(jù)正三角形外接圓半徑公式（其中為正三角形的邊長(zhǎng)），可得.

設(shè)正三棱錐的高為，頂點(diǎn)在底面的射影為.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，在上，且.對(duì)于正三角形，，則.在中，，，根據(jù)勾股定理.

設(shè)外接球半徑為，球心在高上.根據(jù)，將，代入可得：.展開(kāi)得.移項(xiàng)化簡(jiǎn)得，解得.

因?yàn)?設(shè)球心到點(diǎn)的距離為，在中，，，根據(jù)勾股定理.

的最小值為，最大值為.，.所以的取值范圍是.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·浙江·期中）已知一圓柱的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，高為3，在該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)取得最大值時(shí)正四面體的高（

）A． B． C． D．2【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正棱錐及其有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】根據(jù)題意可得該圓柱的內(nèi)切球的半徑為，設(shè)內(nèi)切球?yàn)榍?，?dāng)正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時(shí)，棱長(zhǎng)最大，所以等價(jià)于已知球的半徑為，結(jié)合正四面體的幾何性質(zhì)求內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)即可.【詳解】由題意可知：圓柱的底面圓直徑和母線長(zhǎng)都是3，則該圓柱的內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)檎拿骟w在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，可知正四面體的外接球在該圓柱內(nèi)，若取得最大值，即正四面體的外接球取到最大，此時(shí)正四面體的外接球?yàn)樵搱A柱的內(nèi)切球，如圖，球即為該圓柱的內(nèi)切球，該正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為（為等邊的中心），則球心在上，且，由題意可知：，則，，在中，，即，整理可得：，解得或(舍)，所以的最大值為，此時(shí)正四面體的高.故選：D.2．（23-24高一下·四川南充·階段練習(xí)）已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，球O為其外接球，若點(diǎn)是正四棱錐的表面上的一點(diǎn)，為球表面上的一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正棱錐及其有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題【分析】求出外接球的半徑，則的最大值為.【詳解】設(shè)，連接，則平面，依題意可得，，所以，則球心在直線上，連接，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，又為球表面上的一點(diǎn)，點(diǎn)是正四棱錐的表面上的一點(diǎn)，，所以的最大值為.故選：D3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）現(xiàn)有10個(gè)直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長(zhǎng)為的正四面體盒子中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正棱錐及其有關(guān)計(jì)算、直線與球、平面與球的位置關(guān)系【分析】依題意先求得取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的正四面體的高，進(jìn)而可得棱長(zhǎng)．【詳解】先證明如下引理：如下圖所示，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，于點(diǎn)，平面，交于于點(diǎn)，所以，顯然點(diǎn)為重心，所以，由勾股定理得，所以正四面體的高等于其棱長(zhǎng)的倍；則點(diǎn)也為正四面體的外接球球心，設(shè)外接球球心為，則在中，，，由勾股定理得，，則；如圖，10個(gè)半徑為1的小球放進(jìn)棱長(zhǎng)為的正四面體中，成三棱錐形狀，有3層，則從上到下每層的小球個(gè)數(shù)依次為：1，，個(gè)，當(dāng)取最小值時(shí)，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面體底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于每層正三角狀頂點(diǎn)的所有上下相鄰小球的球心連線為一個(gè)正四面體，設(shè)第三層最中間小球與底面線切于點(diǎn)，為正四面體的高，且都在同一直線上，則該正四面體的棱長(zhǎng)為，可求得其高，，，所以正四面體的高，則可求得其棱長(zhǎng)的最小值為，故選：D．題型十證明三點(diǎn)共線（三線共點(diǎn)）問(wèn)題例題1：（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，為空間四邊形，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且，．求證：(1)、、、四點(diǎn)共面；(2)、必相交且交點(diǎn)在直線上．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)（線）共面問(wèn)題、空間中的點(diǎn)共線問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)中位線及等比分點(diǎn)可得平行，進(jìn)而可證四點(diǎn)共面；（2）結(jié)合面面位置關(guān)系可得證.【詳解】（1）連接、，，由，分別為，中點(diǎn)，則，又，，則，，、、、四點(diǎn)共面.（2）由，，易知，又，分別為，中點(diǎn)，即，，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，四邊形是梯形，因此直線、不平行，設(shè)它們交點(diǎn)為，平面，同理平面，又平面平面，因此，即、必相交且交點(diǎn)在直線上．例題2：（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．求證：

(1)直線和在同一平面上；(2)直線、和交于一點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)證明見(jiàn)詳解.【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)（線）共面問(wèn)題、空間中的線共點(diǎn)問(wèn)題【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，利用平行關(guān)系的傳遞性得到∥即可;（2）易得與相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則能得到平面，平面，結(jié)合平面平面，即可得證；【詳解】（1）如圖，連結(jié).

∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴.∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴四點(diǎn)共面，即和共面．（2）證明：正方體中，∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴且∵四邊形為平行四邊形，∴，且∴∥且∴與相交，設(shè)交點(diǎn)為P，∵，平面，∴平面；又∵，平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴三線交于點(diǎn)P.例題3：（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，，分別在，上，且.

(1)求證：；(2)設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)共線問(wèn)題、平行公理【分析】（1）由中位線性質(zhì)和線段成比例即可得證.（2）利用兩個(gè)平面內(nèi)的公共點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，即可得證.【詳解】（1）、分別是、的中點(diǎn)，，，，.（2）因?yàn)?，，平面，所以平面，同理平?所以是平面與平面的公共點(diǎn)，又平面平面，所以，所以三點(diǎn)共線鞏固訓(xùn)練1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知與所在平面相交，并且交于一點(diǎn).若，求證:共線.【答案】證明見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)共線問(wèn)題【分析】先證明平面與平面相交于,再根據(jù)線面關(guān)系證明在直線上,即可證明三點(diǎn)共線.【詳解】因?yàn)?所以平面平面,因?yàn)槠矫?平面,且,所以,即三點(diǎn)位于同一直線上.2．（23-24高二上·四川樂(lè)山·階段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且．求證：(1)四邊形EFGH為梯形；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)（線）共面問(wèn)題、空間中的線共點(diǎn)問(wèn)題、平面的基本性質(zhì)及辨析【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到平行關(guān)系及比例關(guān)系，進(jìn)而得到，且，故四邊形為梯形；（2）由（1）得到相交于一點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，而平面平面，所以，證明出結(jié)論.【詳解】（1）由題意，作圖如下：連接、，因?yàn)榭臻g四邊形中，分別是的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，所以，且，所以，且，故四邊形EFGH為梯形.（2）由（1）知四邊形EFGH為梯形，且是梯形的兩腰，所以相交于一點(diǎn).設(shè)交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫妫云矫?，同理平面，而平面平面，所以，故點(diǎn)是直線的公共點(diǎn)，即直線相交于一點(diǎn).3．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，分別為上的點(diǎn)且．求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．

【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)（線）共面問(wèn)題、空間中的點(diǎn)共線問(wèn)題、空間中的線共點(diǎn)問(wèn)題【分析】由題意可證平面，平面，進(jìn)而，即可證明.【詳解】因?yàn)?，且平面，所以平面，同理平面，從而M在兩個(gè)平面的交線上，因?yàn)槠矫妗善矫?，所以成立．所以點(diǎn)三點(diǎn)共線．題型十一由平面基本性質(zhì)做截面圖例題1：（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正方體棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【分析】如圖，確定四邊形為經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面，結(jié)合梯形的面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】正方體中，平面，則平面與平面的唯一交線與平行.取BC中點(diǎn)，連接，則四邊形即為經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面，梯形中，，則梯形的高為，所以梯形的面積為，故選：A.例題2：（23-24高一下·河南三門峽·期末）在正四棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，則平面截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【分析】作出輔助線，得到五邊形C1QNMF即為平面【詳解】直線分別與相交于點(diǎn)T,E，連接C1T,C1E，分別與交于點(diǎn)連接FM,QN，故五邊形C1QNMF即為平面其中分別是的中點(diǎn)，故AM=AN=BT=BM=2，BTCT=22+4=MN=A同理可得QN=MF=22又D1Q=B故平面截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為22×3+4故選：A例題3：（24-25高二上·上?！て谥校┤鐖D，已知，，，分別是正方體的棱，，，的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn).(1)求證：點(diǎn)在直線上；(2)作出過(guò)、、三點(diǎn)的截面；（寫(xiě)出作圖過(guò)程并保留作圖痕跡）【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)圖形見(jiàn)詳解【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)共線問(wèn)題、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【分析】（1）通過(guò)證明在平面與平面的交線上,來(lái)證得在直線上.（2）取的中點(diǎn)P，連接，易證，則即為所求截面.【詳解】（1）平面平面,由于平面所以平面,同理平面,所以平面，所以,即點(diǎn)在直線上.（2）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，故共?則即為所求截面.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·黑龍江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在棱長(zhǎng)為12的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，平面與直線交于點(diǎn)，則（

）

A．10 B．15 C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、平面的基本性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算、判斷正方體的截面形狀【分析】分別在棱上取點(diǎn)，使得，易證，，則平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形.再計(jì)算即可．【詳解】分別在棱上取點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)正方體特征及平行公理，易證，，則平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形.由題中數(shù)據(jù)，知道，，可得.故選：A.

2．（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過(guò)，，作正方體的截面，則這個(gè)截面的形狀是，截面的面積是．【答案】等腰梯形/【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【分析】根據(jù)線線平行及邊長(zhǎng)判斷截面是等腰梯形，再計(jì)算可得面積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，，，因?yàn)椋?，故，且．則截面為梯形，且為等腰梯形，，可得梯形的高為，所以梯形的面積為．故答案為：等腰梯形；.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在正方體中，已知，Q是棱上的動(dòng)點(diǎn)（可與D、重合）.當(dāng)Q是中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出過(guò)A，Q，的截面；【答案】作圖見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，易證，則四邊形即為所求截面，如圖陰影部分，題型十二異面直線所成角例題1：（24-25高二上·吉林·期末）如圖，在正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，異面直線MN與所成角為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】連結(jié)，BD，根據(jù)題中條件，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】連結(jié)，BD，因?yàn)樵谡襟w中，M，N分別為的中點(diǎn)，所以，因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.故選：B例題2：（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）已知P是一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，是母線，，該圓錐的底面半徑是1．B、C分別在圓錐的底面上，則異面直線與所成角的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】過(guò)作交底面圓錐于點(diǎn)，則為異面直線與所成角，結(jié)合余弦定理與余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍，從而得所求最值.【詳解】如圖，過(guò)作交底面圓錐于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則為異面直線與所成角，所以，又，所以，即，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故異面直線與所成角的最小值為.故答案為：.例題3：（24-25高二上·山東東營(yíng)·開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，.記的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則異面直線與的夾角的余弦值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、余弦定理解三角形【分析】先求出中的長(zhǎng)度，同理可求的長(zhǎng)度，根據(jù)余弦定理可求線線角的余弦值.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：中，若為的中點(diǎn)，則.證明：由余弦定理可得，，而，，故.在三棱錐中，連接，取的中點(diǎn)為，連接，在中，，，故，即即.同理，，，因?yàn)?，故且，故或其補(bǔ)角即為所成的角，而，故所求角的余弦值為，故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】令分別是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接，化為求直線與所成角，即，應(yīng)用余弦定理求其余弦值即可.【詳解】令分別是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接，由正四棱柱的性質(zhì)及題設(shè)，易知且，則為平行四邊形，所以，直線與所成角即為直線與所成角，即，若，則，，，.故選：D2．（24-25高二上·廣東廣州·期中）在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、余弦定理解三角形【分析】連接MD，取MD中點(diǎn)E，連接EN，CE，所以，所以直線AM和夾角即為，分別求得各個(gè)邊長(zhǎng)度，結(jié)合余弦定理，即可求得答案.【詳解】連接MD，取MD中點(diǎn)E，連接EN，CE，因?yàn)锳BCD為正四面體，且棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镋，N分別為MD，AD中點(diǎn)，所以，且，所以直線和夾角即為，在中，，所以在中，由余弦定理得，所以直線和夾角的余弦值為.故答案為：.3．（25-26高二上·上?！卧獪y(cè)試）已知空間四邊形ABCD中，，M、N分別為BC和AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成的角為．求的值．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】首先利用平行直線的轉(zhuǎn)化，將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，再利用