第1章信號與系統的基本概念1.1引言1.2自變量的變換1.3基本連續(xù)時間信號1.4基本離散時間信號1.5系統實例1.6系統的基本性質1.7本章小結習題1.1引言

人們相互問訊，發(fā)布新聞，廣播或傳遞數據、圖像，其目的都是要把某些消息借一定形式的信號傳送出去。很久以來，人們曾尋求各種方法，以實現信號的傳輸。例如，我國古代利用烽火傳送邊疆警報。另外，還有利用擊鼓鳴金的方法報送時刻或傳達命令，這是聲信號的傳輸。19世紀初，人們開始研究如何利用電信號傳送消息。1837年，莫爾斯(F．B．Morse)發(fā)明了電報，他用點、劃、空適當組合的代碼表示字母和數字，這種代碼稱為莫爾斯電碼。1876年，貝爾(A．G．Bell)發(fā)明了電話，直接將語音信號轉變?yōu)殡娦盘栄貙Ь€傳送。19世紀末，人們又致力于研究用電磁波傳送無線電信號。隨著信號傳輸、信號交換理論與應用的發(fā)展，出現了所謂“信號處理”的新課題。信號處理可以理解為對信號進行某種加工或變換。信號處理的應用已遍及許多科學技術領域，例如，從月球探測器發(fā)來的信號可能被淹沒在噪聲之中，但是，利用信號處理技術進行增強，就可以在地球上得到清晰的月球圖像。石油勘探、地震測量以及核試驗監(jiān)測儀所得數據的分析都依賴于信號處理技術的應用。此外，在心電圖、腦電圖分析，語音識別與合成，圖像數據壓縮以及經濟形勢預測(如股票市場分析)等各種領域中都廣泛采用了信號處理技術。信號傳輸、信號交換和信號處理相互聯系密切(也可認為交換是屬于傳輸的組成部分)，但又各自形成了相對獨立的學科體系。它們共同的理論基礎之一是信號基本性能的研究(信號分析)，包括信號的描述、分解、變換、檢測、特征提取以及為適應指定要求而進行的信號設計。

“系統”是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。在信息科學與技術領域中，常常利用通信系統、控制系統和計算機系統進行信號的傳輸、交換與處理。實際上，往往需要將多種系統共同組成一個綜合性的復雜整體，例如宇宙航行系統。信號與系統之間有著十分密切的聯系。離開了信號，系統將失去意義。信號作為待傳輸消息的表現形式，可以看做運載消息的工具，而系統則是為傳送信號或對信號進行加工處理而構成的某種組合。研究系統所關心的問題是，對于給定信號形式與傳輸、處理的要求，系統能否與其相匹配，它應具有怎樣的功能和特性。

隨者科學技術的發(fā)展，人工系統的規(guī)模日益龐大，內部結構也越來越復雜，人們致力于研究將系統理論用于系統工程設計，以期使較復雜的系統最佳地滿足預定的要求，以此為背景，出現了一門邊緣技術科學，這就是系統工程學。

目前，隨著電子信息技術的發(fā)展，信號與系統的基本理論知識顯得越來越重要，已經成為電子信息類科學必不可少的重要工具。1.1.1信號及其分類

信號是消息的表現形式，消息則是信號的具體內容。信號可以描述范圍極為廣泛的物理現象，在一般情況下，信號都可以描述為某一自變量的函數并用波形表示。

時域信號可以表示為時間的函數，如電路中電容兩端的電壓變化為uC(t)=e－0.5t，t∈［0,+∞)，這是一個在時間上和幅度上都連續(xù)的信號，如圖1.1所示。圖1.1電路中電容兩端的電壓變化如果我們只能得到某些采樣點的值，則信號便不是連續(xù)曲線了，自變量也不是在時間上連續(xù)的，而是一個個離散的點，通常用x［n］表示，n=…－3,－2,－1,0,1,2,3,…。

x［n］可以表示自變量本來就是離散的現象，例如有關人口統計學中的一些數據、股票市場的指數等。圖1.2給出了近94年的道瓊斯工業(yè)平均（DoeJonesIndustrialAverage）指數值。也有一些離散信號是由本來連續(xù)的時間信號經過采樣而得到的，這時離散信號x［n］則代表了一個自變量是連續(xù)變化的連續(xù)時間信號在一系列離散時刻點上的樣本值。圖1.2近94年道瓊斯工業(yè)平均指數值可見，根據信號的自變量可以將其分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。從其他角度，信號還可以有其他的分類。

1.確定性信號與隨機信號

確定性信號可以表示為確定的函數表達式，例如圖1.1所示的電容兩端的電壓變化為uC(t)=e－0.5t。隨機信號在某一時刻的值不確定，只能用其統計特性描述，如均值、方差等。本書只研究確定性信號。

2.周期信號與非周期信號

周期信號以一定的周期不斷重復，而且無始無終，我們熟悉的正弦信號、余弦信號都是周期信號，它們都可以表示為f(t)=f(t+T)，而非周期信號不具備上述特性。

3.一維信號與多維信號

根據自變量的個數可以將信號分為一維和多維信號，例如語音信號、電壓信號等一般為一維信號，而圖像為二維信號。如圖1.3所示的二維圖像信號，每一個像素的灰度值都是橫縱坐標的函數，即f(x,y)。

4.因果信號與非因果信號

如果信號f(t)在t<0時有f(t)=0，則該信號稱為因果信號；否則為非因果信號。顯然，周期信號為非因果信號。圖1.3圖像信號1.1.2系統的表示方法及其分類

所謂系統，是指由若干相互聯系、相互作用的單元組成的具有一定功能的有機整體。

我們接觸到的系統很多，如通信系統、計算機系統、自動控制系統、生態(tài)系統、經濟系統、社會系統等等。這些系統又由很多子系統組成，它們都可以完成特定的功能。實際上，很多復雜整體往往需要多種系統共同組成，如宇宙航行系統。因此，“系統”一詞的意義是十分廣泛的，既可以表示通信系統、電力系統、機械系統等物理系統，又可以表示政治結構、經濟組織、生產管理等非物理系統，還可以表示計算機網絡、交通運輸網、水利灌溉網以及交響樂隊等人工系統等。系統理論研究包括系統分析與系統綜合兩個方面。在給定系統的條件下，研究系統對于輸入激勵信號所產生的輸出響應，這是系統分析問題；系統綜合則是按某種需要先提出對于給定激勵的響應，而后根據此要求設計系統。分析與綜合二者關系密切，但又有各自的體系和研究方法，分析是綜合的基礎。本書著重討論系統分析。從系統的功能上看，系統表現為對輸入信號的作用結果，即在系統的作用下，輸入信號轉變?yōu)檩敵鲂盘?。輸出信號一般與輸入信號不同，這種不同反映了系統的作用。因此，系統的描述方法也是基于輸入、輸出信號的，例如，描述連續(xù)系統輸入、輸出關系的微分方程和描述離散系統輸入、輸出關系的差分方程分別為(1.1)式中：e(t)、x［n］為系統的輸入信號，也叫系統的激勵函數；r(t)、y［n］為系統的輸出信號，也稱系統的響應。

系統的特性是由輸入、輸出信號來表征的，因此，系統也可以由輸入、輸出信號之間的關系來描述，如后面章節(jié)將要提及的某一系統的系統函數：(1.2)及(1.3)就是用系統的輸入及輸出信號經過一系列的計算得來的，其中R(jω)、

R(s)及Y(z)是輸出信號的一種表示，E(jω)、E(s)及X(z)是輸入信號的一種表示。

另外，系統還可以用系統框圖進行表示，即將系統方程中的相加、倍乘（標量乘法運算）、積分（或微分）和延時用框圖的形式來表示，如圖1.4所示。

圖1.4中，相加、倍乘和積分表示微分方程描述的系統的基本單元；相加、倍乘和延時表示差分方程描述的系統的基本單元。圖1.4四種基本單元方框圖雖然也可以不采用積分單元而用微分運算構成基本單元，但是在實際應用中考慮到抑制突發(fā)干擾（噪聲）信號的影響，往往選用積分單元。

如果一階微分方程的表達式分別為(1.4)和(1.5)則容易導出式(1.4)和式(1.5)相應的方框圖分別如圖1.5和圖1.6所示。圖1.5與方程(1.4)對應的方框圖圖1.6與方程(1.5)對應的方框圖從系統的功能、用途等方面可以有很多系統分類方法，如根據系統中的信號是連續(xù)的還是離散的，可以將系統分為連續(xù)時間系統與離散時間系統；根據系統的性質可以將系統分為線性系統和非線性系統、時變系統和非時變系統、因果系統與非因果系統等等。關于系統的性質，將在1.6節(jié)詳述。1.2自變量的變換

信號與系統中的一個重要概念是關于信號的變換。例如，在飛機控制系統中對應于駕駛員動作的信號，經機械系統變換為飛機推力和控制飛機翼面位置改變的信號，進而再經過該機體的動力學和運動學原理變換為飛機速度和航向上的變化。本節(jié)所涉及到的變換是最基本、最簡單的變換，即時間軸的變換?？紤]自變量經適當變換后的信號，如圖1.7所示，x［－n］就是將x［n］以n=0為軸反轉而得到的；又如圖1.8，f(－t)也是從信號f(t)以t=0為軸反轉得到。這樣，如果f(t)是一個錄制在磁帶上的聲音信號的話，那么f(－t)就代表同樣一盤磁帶倒過來放音(即從末尾向前倒放)的結果。自變量變換的第二個例子如圖1.9中的三個信號，即f(t)、f(2t)和f(t/2)這三個信號是與自變量的線性尺度變換聯系著的。倘若我們再一次把f(t)想象為一盤磁帶的話，那么f(2t)就是這盤磁帶以兩倍的速度放音的結果，而f(t/2)則代表原磁帶將放音速度降低一半。圖1.7離散時間信號x［n］及x［－n］圖1.8連續(xù)時間信號f(t)及f(－t)圖1.9連續(xù)信號的線性尺度變換舉例自變量變換的第三個例子如圖1.10所示，這里信號x［n］和x［n－n0］在形狀上是完全一樣的，但在位置上互相有一個移位，類似地，f(t－t0)也是f(t)經時間移位后的結果。這種形式關聯的信號可以在聲納、地震信號處理以及雷達等應用中找到。配置在不同地點的幾臺接收機觀察經由某一媒介（水、巖石、空氣等）傳來的同一臺發(fā)射機發(fā)來的信號，由于各個接收點與發(fā)射機的距離不等而造成傳播時間上的差別就形成了信號間的不同時移。圖1.10離散信號的時移舉例自變量的變換除了用來說明諸如聲納信號的時移和聲音磁帶的倒放等物理現象外，在研究信號具有的某些重要性質上也是十分有用的。

對一個已知信號f(t)，通過自變量變換可求得一個形式如f(at+b)的信號，這里a和b是給定的數，a既可以是正數也可以是負數，因此，f(at+b)涵蓋了反褶、線性尺度變換及時移的情況。

例1.1

已知信號f(t)的波形如圖1.11(a)所示，試畫出

f(－3t－2)的波形。圖1.11例1.1的波形解(1)首先考慮移位的作用，求得f(t－2)波形如圖1.11

(b)所示。

(2)將f(t－2)作尺度倍乘，求得f(3t－2)波形如圖1.11(c)

所示。

(3)將f(3t－2)反褶，給出f(－3t－2)波形如圖1.11(d)所示。如果改變上述運算的順序，例如先求f(3t)或先求f(－t)，最終也會得到相同的結果。

1.3基本連續(xù)時間信號

1.3.1單位階躍信號

單位階躍函數u(t)在數學上定義為(1.6)這里，單位階躍的意思是指當t≥0時，u(t)的幅度為1，如圖1.12所示。圖1.12單位階躍信號注意：本書中u(0)=1,在有些書中，u(0)定義為0。若K是任意非0實數，則在t≥0時，Ku(t)是幅度為K的階躍函數。對于任意連續(xù)時間信號f(t)，在t≥0時，乘積f(t)u(t)=f(t)；在t<0時，乘積f(t)u(t)=0。因此，用u(t)乘以任意信號f(t)就消去了f(t)在t<0時的非0值。1.3.2單位沖激信號

單位沖激信號δ(t)也稱為德耳塔(Delta)函數或狄拉克(Dirac)函數，定義為

δ(t)=0,t≠0

(1.7)

(1.8)

第一個條件(即式(1.7))表明δ(t)在所有t

不為0時取0，第二個條件(即式(1.8))說明沖激下的面積為1。因此δ(t)有單位面積。下面分析矩形脈沖如何演變?yōu)闆_激函數。圖1.13給出了寬為τ、高為的矩形脈沖，當保持矩形脈沖面積τ·

=1

不變，脈寬τ趨近于零時，脈沖幅度必趨于無窮大，此極限情況即為單位沖激函數δ(t)：(1.9)沖激函數用箭頭表示，如圖1.14所示。它表明，δ(t)只在t=0點有一“沖激”，在t=0點以外，函數值都是零。圖1.13矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數圖1.14沖激函數δ(t)如果矩形脈沖的面積不是固定為1，而是E，則表示一個脈沖強度為E倍單位值的δ函數，即Eδ(t)。

沖激函數還具有以下的性質:(1.10)(1.11)以上性質說明單位沖激函數為偶函數，它的積分等于單位階躍函數。反之，階躍函數的微分即為沖激函數:(1.12)一個一般函數與沖激信號相乘時，有(1.13)1.3.3周期信號

設T為一確定的正實數，如果

f(t+T)=f(t),－∞<t<∞

(1.14)

則連續(xù)時間信號f(t)稱為一個周期為T的周期信號。注意，如果信號f(t)的周期為T，則當q為整數時，qT也是周期信號f(t)的周期。最小的正數T是信號f(t)的基本周期。正弦信號和余弦信號僅在相位上相差π/2，經常統稱為正弦信號。一般寫作:

f(t)=Ksin(ωt+θ),－∞<t<∞

(1.15)

式中:K為振幅；ω為角頻率，單位為rad/s；θ為相位，單位為rad；頻率f=ω/2π，單位為Hz(每秒的周期數)。f(t)的波形如圖1.15所示。

正弦信號是很有用的信號，傅里葉級數告訴我們，很多周期信號都可以表示成不同頻率的正弦信號的加權和的形式。圖1.15正弦信號1.3.4復指數信號

如果指數信號的指數因子為一復數，則稱之為復指數信號，其表示式為

f(t)=Kest

(1.16)

式中:

s=σ+jω

式中：σ為復數s的實部;ω是其虛部。根據歐拉公式：(1.17)(1.18)將式(1.16)展開，可得(1.19)此結果表明，一個復指數信號可分解為實、虛兩部分。其中，實部包含余弦信號，虛部則為正弦信號。指數因子實部σ表征了正弦與余弦函數振幅隨時間變化的情況。若σ<0，正弦及余弦信號是衰減振蕩的，如圖1.16所示；若σ>0，正弦及余弦信號是增長振蕩的，如圖1.17所示。指數因子的虛部ω則表示正弦與余弦信號的角頻率。兩個特殊情況是：當σ=0，即s為虛數時，正弦、余弦信號是等幅振蕩的；而當σ=0和ω=0同時成立，即s等于零時，復指數信號實部和虛部都與時間無關，稱為直流信號。圖1.16衰減振蕩的信號圖1.17增長振蕩的信號雖然實際上不能產生復指數信號，但是它概括了多種情況，可以利用復指數信號來描述各種基本信號，如直流信號、指數信號、正弦或余弦信號以及增長或衰減的正弦與余弦信號。利用復指數信號可使許多運算和分析得以簡化。在信號分析理論中，復指數信號是一種非常重要的基本信號。1.4基本離散時間信號

1.4.1抽樣

獲得離散時間信號最常用的方法之一就是對連續(xù)時間信號抽樣。如圖1.18所示，設想連續(xù)時間信號x(t)被施加到每T秒閉合一次的電子開關上。如果閉合的時間遠小于T，則輸出可以看做是定義在離散點tn=nT(n=…,－1,0,1,…)的函數，得到的離散時間信號稱為連續(xù)時間信號x(t)的抽樣形式，T為抽樣間隔。若兩個相鄰抽樣點tn=nT和tn+1=(n+1)T

之間的持續(xù)時間T是一個常量，則這種抽樣稱為均勻抽樣。在實際應用中，有時使用非均勻抽樣，但本書不予討論。為了與前面介紹的離散時間信號的表示方法一致，圖1.18所示的均勻抽樣信號用

x［n］表示。在這種情況下，用整數變量n表示時間瞬時值nT。通過對抽樣過程的定義，我們可以獲得n為任意整數時x［n］的值：(1.20)圖1.18抽樣過程很大一類離散時間信號都是通過對連續(xù)時間信號的抽樣來得到的。但必須說明的是，抽樣僅僅是獲得離散信號的方式之一，離散時間信號源更一般的例子有數字計算機系統的輸入、輸出信號以及各種直接給出的時間序列等。因此，不能把離散信號狹義地理解為僅是連續(xù)信號的抽樣。1.4.2單位階躍序列

單位階躍序列定義如下：(1.21)單位階躍序列可以通過對連續(xù)時間階躍函數進行抽樣得到。單位階躍序列如圖1.19所示。圖1.19單位階躍序列1.4.3單位脈沖序列

單位脈沖序列也稱為單位脈沖函數、單位樣值信號或單位序列。首先應該注意到，不能對單位沖激函數δ(t)進行抽樣，因為δ(0)沒有定義。但是，存在和單位沖激函數對應的離散時間信號，即單位脈沖序列δ［n］，其定義如下：(1.22)單位脈沖序列如圖1.20所示。這里再一次強調，δ［n］不是通過對δ(t)的抽樣得到的，利用信號的時移可知δ［n］=u［n］－u［n－1］。圖1.20單位脈沖序列1.4.4周期離散信號

若存在一個正整數r，使得對于所有的n，有下式成立：

x［n+r］=x［n］(1.23)

則稱離散時間信號x［n］是周期的。當且僅當存在一個正整數r，使得x［n］的值每隔時間r重復出現時，x［n］是周期的離散信號,這里r即是周期。使信號重復出現的最小的r稱為基本周期。例如，我們來分析離散時間正弦函數的周期性，信號由下式給定：

x［n］=Acos(Ωn+θ)

(1.24)

離散正弦函數x［n］=Acos(Ωn+θ)的圖形如圖1.21所示。Ω取了兩個不同值，圖1.21(a)對應于Ω=π/3和θ=0的情況，相應的周期為r=2πq/Ω=6q，基本周期為6；當Ω=1和θ=0時，如圖1.21(b)所示。注意，在第二種情況下，信號包絡是周期的，但信號本身并不是周期的。圖1.21離散正弦函數x［n］=Acos(Ωn+θ)的圖形1.4.5離散時間的矩形信號

設L為正的奇整數，長度為L的離散時間矩形脈沖函數

pL［n］，定義如下：(1.25)離散時間矩形脈沖如圖1.22所示。圖1.22離散時間矩形脈沖

1.5系統實例

1.5.1連續(xù)系統實例

1.RC電路

RC電路如圖1.23所示。RC電路可看做是一個單輸入、單輸出的連續(xù)時間系統，輸入e(t)為并聯電路的電流i(t)，輸出r(t)為電容兩端的電壓uC(t)。根據基爾霍夫電流定律,有

iC(t)+iR(t)=i(t)

(1.26)

式中：iC(t)為流過電容的電流;iR(t)為流過電阻的電流。圖1.23RC電路由圖1.23可得(1.27)和(1.28)則系統的輸入、輸出關系可用如下關系式表示：

2.平面上的汽車

在水平平面上的一輛汽車，如圖1.24所示。輸出r(t)是汽車相對某個參考點的位置，輸入e(t)是加在汽車上的驅動力或制動力。依照牛頓第二運動定律，

r(t)和e(t)的關系有如下二階線性微分方程；(1.29)式中:M為汽車的質量；kf為摩擦系數。如果路面有顯著的變化，例如，從鋪過的路面到未鋪過的路面，kf也將變化。若設v(t)=dr(t)/dt，v(t)表示汽車的速度，可得如下描述系統的微分方程:圖1.24具有驅動或制動力的汽車

3.物體-彈簧-阻尼器系統

在很多振動系統中，最簡單的模型是物體-彈簧-阻尼器系統，如圖1.25所示。物體-彈簧-阻尼器系統是許多實際結構和設備的精確表示，例如，加速計(一種測試加速度的設備)、地震儀以及振動吸收器(一種用來吸收振動的裝置)等。其他的系統，如機械工具或在彈性支架上的壓縮機，都能用物體-彈簧-阻尼器系統作簡化分析。這個系統也能夠粗略地演示一些與振動有關的現象，它是研究振動的基礎。圖1.25物體-彈簧-阻尼器系統物理上，質量為M的物體，被一根彈性系數為K的彈簧和一個阻尼系數為D的阻尼器所支撐，外力e(t)加到物體上時，將導致物體作上下運動，位移用r(t)表示，即相對于平衡點的測量值。在無外力時,r(t)=0。當物體高于它的平衡點時，r(t)>0，當物體低于平衡點時，r(t)<0。物體的運動受彈簧的限制(如果物體向下運動，壓縮彈簧，彈簧將作用于物體使它向上運動)，阻尼將要消耗能量，它的機械能轉換為熱能，這會使系統發(fā)熱。例如，汽車里的減振器包含一個阻尼器。

物體-彈簧-阻尼器系統的輸入、輸出微分方程為(1.30)

4.單擺系統

研究一個如圖1.26所示的長度為L、質量為M的單擺。這里，輸入e(t)是作用在重物M上的力，力的方向與其運動方向相切。Mgsinθ(t)是重力沿切線方向的力，輸出r(t)定義為單擺與垂直直線之間的夾角θ(t)。

根據力學定律，輸入和輸出符合如下二階微分方程：(1.31)式中：g為萬有引力常數；I是慣性力矩，I=M(L2)。由于sinθ(t)的作用，該輸入、輸出微分方程是一非線性微分方程。由于系統是非線性的，就不可能像前兩個例子那樣根據e(t)而計算得到。如果角度θ(t)的幅值|θ(t)|很小，則sinθ(t)近似等于θ(t)，非線性微分方程式(1.31)就近似為線性微分方程：(1.32)由于當|θ(t)|很小時，式(1.33)是對系統一個很好的近似，故稱之為小信號模型。比較上述各個系統，我們發(fā)現，這些很不相同的物理系統，聯系它們輸入、輸出關系的方程卻基本上是一樣的，它們都是一階、二階線性微分方程:(1.33)和(1.34)式中：e(t)為輸入；r(t)為輸出；a、b和c都是常數。可見，需要有分析式(1.33)及式(1.34)所代表的一類系統的方法。1.5.2離散系統實例

1.銀行還貸系統

銀行貸款的償還問題可以作為一個離散時間系統的模型：當n=0,1,2,…時，輸入

x［n］是第n個月償還的貸款總量，輸出y［n］是第n個月后貸款的差額，n是時間序號，表示月數，輸入x［n］和輸出y［n］都是離散時間信號，是n的函數。初始值y［0］是貸款的總數。通常情況下，每個月償還的數目x［n］是一個固定值，即x［n］=c,n=1,2,3,…,這里c是常數。在這個例子中，x［n］是允許每月變化的(即每月償還的數目可以不同)。貸款償還過程可以用以下的差分方程來描述：(1.35)式中:I為用十進制形式表示的年利率。例如，若年利率為10%，則I等于0.1。在式(1.35)中，(I/12)y［n－1］項是貸款在第n個月的利息。式(1.35)是一階線性差分方程，它是一個研究貸款償還過程的系統輸入、輸出差分方程。若允許利率I是n的函數，式(1.35)就描述了一個可變利率的貸款償還問題，利率是可以逐月變化的。

2.一階微分方程的數字仿真

下面研究一階微分方程的一種簡單數字仿真，將時間分解為長度為T的離散間隔，并且用一階后向差分(1.36)來近似在t=nT時刻的dy(t)/dt。這時，若y［nT］用y［n］表示，x［nT］用x［n］表示，那么可得離散時間模型為(1.37)可以發(fā)現，一階線性差分方程的模型為(1.38)式中：x［n］為輸入;y［n］為輸出；p和q均為常數。1.6系統的基本性質

1.6.1線性

系統的線性性質包括疊加性和齊次性。

1.疊加性

疊加性是指假設系統在加入輸入之前，是無能量的(零狀態(tài))，如果系統兩個輸入之和e1(t)+e2(t)的響應等于系統分別加入輸入e1(t)、e2(t)的響應之和，則系統就稱是可疊加的。更準確地說，如果r1(t)是輸入e1(t)的響應，r2(t)是e2(t)的響應，則e1(t)+e2(t)的響應等于r1(t)+r2(t)，如圖1.27(a)所示。圖1.27系統的線性性質

2.齊次性

齊次性是指假設系統在加入輸入之前是零狀態(tài)的，對任意輸入e(t)和任意標量實數a，輸入ae(t)的響應等于輸入e(t)的響應r(t)的a倍，如圖1.27（b）所示。

如果系統同時滿足疊加性和齊次性，則稱系統是線性的，也就是說，在零狀態(tài)條件下，對于任意輸入e1(t)、e2(t),如果r1(t)是輸入e1(t)的響應，r2(t)是輸入e2(t)的響應，則輸入a1e1(t)+a2e2(t)的響應等于a1r1(t)+a2r2(t),如圖1.28所示。若系統不是線性的，則叫做非線性系統。以上定義對于離散系統同樣適用。圖1.28系統的線性性質線性是一個非常重要的性質。如果系統是線性的，在研究系統的特性時，可以將復雜的輸入信號分解成a1e1(t)+a2e2(t)+…級數和的形式，再研究e1(t)、e2(t)…的輸出信號，然后將其求和。這樣的分析思想是下面各章分析線性系統的基礎。1.6.2時不變性

給定一個實數t1和一個連續(xù)時間信號e(t)，回顧以前的討論，在t1>0時，e(t－t1)等于把e(t)向右平移t1；若t1<0，等于把e(t)向左平移t1。現在，研究一連續(xù)時間系統，輸入為e(t)，輸出為r(t)。對于任意輸入e(t)和任意時間t1，若平移后的輸入e(t－t1)其響應等于r(t－t1)，其中，r(t)是零狀態(tài)條件下e(t)的響應，則系統稱為時不變的。所以，在時不變系統中，對輸入e(t)平移后信號的響應等于e(t)響應的平移(假設無初始能量)。這一特性示于圖1.29。時不變特性往往表現為系統的元件參數及系統結構不隨時間變化。若系統不是時不變的，則稱系統是時變的。對于一個離散系統，時不變特性定義與連續(xù)系統類似，只是平移時間為整數n。圖1.29系統的時不變性質若系統既是線性的又是時不變的，則稱為線性時不變系統(LinearTimeInvariantSystem)，這類系統以后簡記為LTI系統。對于連續(xù)線性時不變系統，其描述方程為線性常系數微分方程。對于離散線性時不變系統，其描述方程為線性常系數差分方程。雖然實際中大多數系統不是線性時不變的，但許多非線性系統和時變系統經過合理近似以后，可以簡化為線性時不變系統進行分析。實踐表明，有關LTI系統的理論和方法在系統中非常有用，故本書重點研究線性時不變系統的問題。1.6.3因果性

因果系統是指系統在t0（或n0）時刻的響應只與t=t0（或n=n0）和t<t0（或n<n0）時刻的輸入有關；否則，即為非因果系統。也就是說，激勵是產生響應的原因，響應是激勵引起的后果，這種特性稱為因果性。

例如，如果系統模型為

r1(t)=e1(t－1)

則此系統是因果系統；如果系統模型為

r2(t)=e2(t+1)

則此系統為非因果系統。雖然因果系統是很重要的，但這并不能說明所有具有實際意義的系統都是僅由因果系統構成的。比如在圖像處理中，自變量不是時間，一個像素的值可能是由其周圍若干像素的值運算得到的，因此，是非因果的。另外，在一些數據處理系統中，其自變量雖是時間，但待處理的數據早已記錄并保存起來了，如語音、地球物理學及氣象學中的信號處理往往都是這樣的。在股票市場分析和人口統計學的研究中，關注的是某個數據的慢變化趨勢，但在這個總的變化趨勢中還包含有一些高頻起伏。在這種情況下，為了僅僅保留總的變化趨勢而采用的辦法，就是在某一范圍內對這些數據取平均值以平滑掉這些高頻起伏部分，即

這個系統就是一個非因果系統。