第4章電力系統(tǒng)潮流分析與計算4.1

潮流計算方程——節(jié)點功率方程4.2

高斯—賽德爾迭代法4.3

牛頓—拉夫遜法4.4

PQ

解耦法4.5

潮流計算的手工計算方法

電力系統(tǒng)潮流計算是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析與控制的基礎(chǔ)，同時也是安全性分析、穩(wěn)定性分析、電磁暫態(tài)分析的基礎(chǔ)(穩(wěn)定性分析和電磁暫態(tài)分析需要首先計算初始狀態(tài)，而初始狀態(tài)需要進(jìn)行潮流計算)。其根本任務(wù)是根據(jù)給定的運行參數(shù)，例如節(jié)點的注入功率，計算電網(wǎng)各個節(jié)點的電壓、相角以及各支路的有功功率和無功功率的分布及損耗。

潮流計算的本質(zhì)是求解節(jié)點功率方程，系統(tǒng)的節(jié)點功率方程是節(jié)點電壓方程乘以節(jié)點電壓。要計算各支路的功率潮流，首先根據(jù)節(jié)點的注入功率計算節(jié)點電壓，即求解節(jié)點功

率方程。節(jié)點功率方程是一組高維的非線性代數(shù)方程，需要借助迭代的計算方法來完成。簡單輻射型網(wǎng)絡(luò)和環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的潮流估算是以單支路的潮流計算為基礎(chǔ)。

本章主要介紹電力系統(tǒng)節(jié)點功率方程的形成，潮流計算的數(shù)值計算方法，包括高斯迭代法、牛頓拉夫遜法以及PQ解耦法等。介紹單電源輻射型網(wǎng)絡(luò)和雙端電源環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的潮

流估算方法。

4.1潮流計算方程———節(jié)點功率方程

4.1.1支路潮流所謂潮流計算就是計算電力系統(tǒng)的功率在各支路的分布、各支路的功率損耗以及各節(jié)點的電壓和各支路的電壓損耗。由于電力系統(tǒng)可以用等值電路來模擬，從本質(zhì)上講，電力系統(tǒng)的潮流計算首先是根據(jù)各個節(jié)點的注入功率求解電力系統(tǒng)各節(jié)點的電壓，當(dāng)各節(jié)點的電壓相量已知時，就很容易計算出各支路的功率損耗和功率分布。

假設(shè)支路的兩個節(jié)點分別為k

和l

，支路導(dǎo)納為ykl

，兩節(jié)點的電壓已知，分別為?Uk和?U

l

，如圖4-1所示。圖4-1支路功率及其分布

從節(jié)點k

流向節(jié)點

l的復(fù)功率為(變量上面的“-”表示復(fù)共扼)

從節(jié)點l流向節(jié)點k

的復(fù)功率為:.

功率損耗為

因此，潮流計算的第一步是求解節(jié)點的電壓和相位，根據(jù)電路理論，可以采用節(jié)點導(dǎo)納方程求解各節(jié)點的電壓。.

4.1.2節(jié)點功率方程

根據(jù)電路理論，求系統(tǒng)各節(jié)點的電壓，需要利用系統(tǒng)的節(jié)點導(dǎo)納方程。

如圖4-2所示的電網(wǎng)絡(luò)，有N

個節(jié)點，假如已知各節(jié)點的注入電流源的電流，以及各支路的支路導(dǎo)納，根據(jù)節(jié)點導(dǎo)納方程求出電網(wǎng)各節(jié)點電壓

．

其中．圖4-2電網(wǎng)絡(luò)示意圖

為電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣，Y

kk(k=1，2，…N)為自導(dǎo)納，是所有與k節(jié)點連接支路導(dǎo)納之和，Ykl

(k

≠l)為互導(dǎo)納，是所有連接k

和l節(jié)點的支路導(dǎo)納之和的負(fù)值。

U

=[U1

，U2

，…，UN

]T

為各個節(jié)點的電壓相量，

IS=[IS1，IS2，…，ISN

]T為注入到各節(jié)點的總電流。

1.節(jié)點功率方程

計算各節(jié)點電壓，需要系統(tǒng)參數(shù)及節(jié)點導(dǎo)納矩陣以及節(jié)點注入電流源的電流。而電力系統(tǒng)中節(jié)點的注入電流未知，已知的是各節(jié)點注入功率。因此需要將節(jié)點電壓方程轉(zhuǎn)化為

節(jié)點功率方程。

式(4-4)中第k(k=1，2，…，N

)個節(jié)點的方程可以表示為．

式(4-5)兩端乘以Uk

，得到

如果電力系統(tǒng)中各節(jié)點注入的復(fù)功率已知，那么就可以用式(4-6)求解各節(jié)點電壓。然而實際情況并非如此，已知的條件是:有些節(jié)點注入的復(fù)功率S已知，有一些節(jié)點的電壓幅值和注入有功功率已知，有些節(jié)點電壓和相角已知。根據(jù)這三種不同的情況，電力系統(tǒng)中各節(jié)點分為三種類型:PQ節(jié)點、PU

節(jié)點和Uδ

節(jié)點。.

所謂PQ

節(jié)點，就是該節(jié)點注入的復(fù)功率S

是已知的，這樣的節(jié)點一般為中間節(jié)點或者是負(fù)荷節(jié)點。

PV

節(jié)點，指該節(jié)點注入節(jié)點的有功功率P

和電壓幅值U已知，這樣的節(jié)點通常是發(fā)電機(jī)節(jié)點。

Vδ

節(jié)點指的是該節(jié)點的電壓幅值和相角是已知的，這樣的節(jié)點通常是平衡節(jié)點，在每個局部電網(wǎng)中只有一個這樣的節(jié)點。

當(dāng)然，PQ節(jié)點和PV

節(jié)點在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化，例如，當(dāng)發(fā)電機(jī)節(jié)點無法維持該節(jié)點電壓，運行于功率極限時，發(fā)電機(jī)節(jié)點的有功功率和無功功率變成了已知量，而電壓幅值則未知，此時，該節(jié)點由PV

節(jié)點轉(zhuǎn)化為PQ

節(jié)點。再比如某負(fù)荷節(jié)點運行要求電壓不能越限，當(dāng)該節(jié)點的電壓幅值達(dá)到極限，或電力系統(tǒng)調(diào)壓要求該節(jié)點的電壓恒定，此時該負(fù)荷節(jié)點就由PQ

節(jié)點轉(zhuǎn)化為PV

節(jié)點。

假如全系統(tǒng)有N個節(jié)點，其中有M個PQ

節(jié)點，N-M-1個PV

節(jié)點，1

個平衡節(jié)點，每個節(jié)點有四個參數(shù):電壓幅值U

和相位角δ(用極坐標(biāo)表示電壓，如果用直角坐標(biāo)表示電壓相量則是e和f)、注入有功功率PS和無功功率QS

，任何一個節(jié)點的四個參數(shù)中總有兩個是已知的，因此N個節(jié)點，有2N

個未知變量，N

個復(fù)數(shù)方程(即2N個實數(shù)方程，實部和虛部各N

個)，通過求解該復(fù)數(shù)方程可得到另外2N個參數(shù)。這就是潮流計算的本質(zhì)。

但在實際求解過程中，由于求解的對象是電壓，因此，實際上不需要2N

個功率方程，對于M

個PQ

節(jié)點，有2M個功率方程(M

個實部有功功率方程，M

個虛部無功功率方程)；對于N-M-1個PV

節(jié)點，由于電壓有效值U已知，因此只有N-M-1個有功功率方程；對于平衡節(jié)點，由于電壓和相角已知，不需要功率方程。因此總計有2M+N-M-1=N+M-1個功率方程。如果電壓相量用極坐標(biāo)表示，即?Uk=Uk

∠δ

k

，則M個PQ

節(jié)點有2M個未知數(shù)(M個電壓有效值，M

個電壓相角)，N-M-1個PV節(jié)點有N-M-1個未知數(shù)(電壓有效值已知，未知數(shù)為電壓相角)，平衡節(jié)點沒有未知數(shù)，因此未知數(shù)的個數(shù)也是N+M-1個，與方程數(shù)一致。如果復(fù)電壓用直角坐標(biāo)表示，?Uk=ek+jfk

，則有2(N-1)個未知數(shù)，還需要增加N-M-1個電壓方程，即?U2

k=e2k+f2k

。

2.用直角坐標(biāo)表示的電力系統(tǒng)節(jié)點功率方程

對于PQ節(jié)點，已知注入節(jié)點的功率P

和Q

，將Ykm

=G

km+jBkm

和?Uk

=ek+jfk

代入節(jié)點功率方程的復(fù)數(shù)表達(dá)式中，可以得到有功功率和無功功率兩個方程．

式(4-7)中PSk

和QSk

為注入到節(jié)點k

的凈功率，即注入功率和消耗功率的代數(shù)和。PGk

、QGk表示注入的功率，PLk

和QLk

為消耗的功率。

對于PV節(jié)點，除了有功功率方程外，因為已知該節(jié)點的電壓幅值，還有一個電壓方程:．

式(4-7)可以抽象地表示為

式(4-8)可以抽象地表示為

因此，對于一個具有N

個節(jié)點的電力系統(tǒng)，其中M

個PQ

節(jié)點，N-M-1個PV

節(jié)點，1個平衡節(jié)點，有方程如下..

N

個節(jié)點中，平衡節(jié)點的電壓幅值和相角已知，即其橫分量和縱分量已知，因此平衡節(jié)點不參與計算。剩余N-1個節(jié)點的電壓的橫分量和縱分量未知，共2N-2個未知數(shù)。2M

個PQ

節(jié)點方程，2

(N-M-1)個PV節(jié)點方程，共計2N-2個方程。

解式(4-11)，可得到N

個節(jié)點的電壓相量，根據(jù)各個節(jié)點的電壓相量和已知注入的功率，可以計算出各個支路的潮流分布，及各個支路的功率損耗。

3.極坐標(biāo)表示的節(jié)點功率方程

對于PQ節(jié)點，已知注入節(jié)點的功率P

和Q

，將Ykm

=G

km+jBkm

和?Uk

=Uk

∠δk代入節(jié)點功率方程的復(fù)數(shù)表達(dá)式中，可得到實部和虛部兩個方程

式(4-12)中，U

表示電壓幅值，相角δkm=δk

-δm

。．

對于PV

節(jié)點，節(jié)點的電壓幅值已知，只有有功功率方程而沒有無功功率方程。同樣，式(4-12)可以抽象的表示為

因此，對于一個具有N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，其中M個PQ

節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點，有方程如下..

除了平衡節(jié)點外，N-1個節(jié)點中，有M

個PQ

節(jié)點的電壓幅值和相角都是未知數(shù)，N-M-1個PV節(jié)點的相角為未知數(shù)，因此共有2M+N-M-1=N+M-1個未知數(shù)，2M+N-M-1=N+M-1個方程。

式(4-14)中，可以把N-1個有功功率方程放在一起，M

個無功功率方程放在一起，即

求解式(4-15)，就可以得到各節(jié)點的電壓幅值和相角，進(jìn)而可以計算出各支路潮流分布和功率損耗。.

4.1.3小結(jié)

潮流計算是計算電力網(wǎng)各個支路的功率潮流分布和功率損耗，同時也計算各支路的電壓損耗。首先要求出電力網(wǎng)各節(jié)點的電壓相量，根據(jù)電網(wǎng)絡(luò)理論，節(jié)點電壓通常采用節(jié)點導(dǎo)納方程來求解，已知電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣和各節(jié)點注入電流源的電流，然而通常電力系統(tǒng)各節(jié)點的注入電流是未知的，已知的是各個節(jié)點的注入功率，因此需要將節(jié)點電壓方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點功率方程。

實際電力系統(tǒng)的節(jié)點注入功率并非都已知，有的已知注入有功功率P和無功功率Q稱為PQ

節(jié)點；有的已知注入有功功率P

和節(jié)點電壓有效值U，稱為PV

節(jié)點；有的已知節(jié)點電壓U

和相角δ，稱為平衡節(jié)點或Uδ

節(jié)點。無論哪種類型節(jié)點，每一個節(jié)點均含有4個參量P、Q、U、δ(或e

、f

)并已知其中的兩個，因此可以利用節(jié)點功率方程(4-6)求解出另外兩個參量。假設(shè)系統(tǒng)有N

個節(jié)點，必然有2N

個未知數(shù)，同樣有2N

個節(jié)點功率方程式(4-12中的實部和虛部各N

個)。

實際上求解的目標(biāo)是電壓，對于PV節(jié)點和Vδ

節(jié)點來說，前者電壓有效值已知，后者電壓相量已知，因此不存在2N個未知數(shù)，當(dāng)然也不需要2N

個方程。假設(shè)系統(tǒng)有N

個節(jié)點，M個PQ

節(jié)點，N-M-1個PU節(jié)點1個平衡節(jié)點，對于直角坐標(biāo)表示的節(jié)點電壓來說，有2(N-1)個未知數(shù)，2M+N-M-1個功率方程，只需要補充N-M-1個電壓方程就可以了；對于極坐標(biāo)表示的電壓來說，只有N-1個δ的未知數(shù)，M

個U的未知數(shù)，因此只需要N+M-1個功率方程。

潮流計算是求解一組非線性代數(shù)方程組，即

其中，X代表系統(tǒng)狀態(tài)，包括電壓U和相角δ；C代表參數(shù)，包括電導(dǎo)G和電納B；

U表示系統(tǒng)激勵，即注入的功率。

求解式(416)多維非線性代數(shù)方程組，需要利用計算機(jī)進(jìn)行輔助迭代計算，即先選定一個初值，然后不斷迭代，逐漸逼近真實解。采用的方法有高斯—賽德爾迭代法，牛頓—拉夫遜法和PQ解耦法。.

4.2高斯—賽德爾迭代法4.2.1基本原理為了便于理解n

維方程組的迭代求解方法，先從一元非線性方程的求解開始。假設(shè)有一維方程f(x)=0，高斯法的基本原理是先將方程轉(zhuǎn)化為

x

=g(

x)(4-17)

圖4-3高斯賽德爾疊代法的計算流程

上述解方程的方法稱為高斯賽德爾迭代法。迭代求解的過程可以這樣來理解：

x

=g(x)的解可以認(rèn)為是兩曲線y=x

和y=g(x)交點的橫坐標(biāo)x*，首先選定一個初值x

[0]，g

(x[0])與斜線y

=x

的交點橫坐標(biāo)即為迭代后的新解x[1]，g

(x[1])與斜線y

=x

交點的橫坐標(biāo)即為迭代后的新解x

[2]，如此圍繞交點往復(fù)循環(huán)，不斷地逼近方程的真實解，如圖4-4所示。圖4-4高斯賽德爾迭迭代法的幾何解釋

高斯賽德爾迭代法可以推廣到n維非線性代數(shù)方程組，假設(shè)n

維方程組為

首先將式(4-20)轉(zhuǎn)化為.

選定一組初始值X[0]=[x[0]1，x

[0]2，…，x[0]n]T

，代入式(4-21)，得到一組新值X[1]=g

(

X[0])，不斷迭代，循環(huán)往復(fù)，第k次迭代結(jié)果為

X[k+1]=g

(X[k])(4-22)

其中第j

個方程為

直到相鄰兩次迭代結(jié)果的最大誤差不超過允許的誤差為止，即.

為了提高高斯———賽德爾迭代法的收斂速度，賽德爾提出將已經(jīng)迭代出的新值代替舊值參與迭代計算，如在第

k次迭代中，第j個方程為

第1至j-1個元素已經(jīng)迭代出k+1次的值，因此代替第k

次的值參與第

j個元素的迭代，就可以提高收斂速度。.

4.2.2電力系統(tǒng)潮流計算的高斯—賽德爾迭代法

電力系統(tǒng)潮流計算需要求解節(jié)點功率方程，其中第m(m=1，2，…，N

)個節(jié)點功率方程為

將式(4-26)變換為x=g(x)的形式，可以得到如下方程.

根據(jù)高斯賽德爾迭代法，首先選定電壓相量的初值，對于PQ節(jié)點，不僅需要給定電壓幅值的初值，還要給出相角的初值(設(shè)為零)。

假如第m

個節(jié)點為PQ

節(jié)點，第k

次迭代公式為(第m

個節(jié)點以前的節(jié)點第k

次迭代已經(jīng)完畢，因此用

k+1次的值取代k

次的值，而在第m

個節(jié)點以后的節(jié)點尚未進(jìn)行第k次迭代).

對于PV

節(jié)點，選定的電壓初值為給定的電壓，相角初值設(shè)為零，注入該節(jié)點的無功功率未知，因此第k

次疊代時，首先按照下式計算注入PV節(jié)點(假設(shè)第m個節(jié)點是PV節(jié)點)的無功功率

在迭代過程中，任意節(jié)點的電壓和無功功率必須滿足不等約束條件.

如果在迭代過程中，PQ

節(jié)點的電壓幅值超出允許范圍，則該節(jié)點電壓幅值就固定為允許電壓的上限(如果超出上限)或下限(如果越過下限)，PQ

節(jié)點就變?yōu)镻V

節(jié)點繼續(xù)進(jìn)行迭代。同樣，對于PV

節(jié)點來說，如果在迭代過程中，無功功率Q

超出了允許范圍，則PV節(jié)點就變?yōu)镻Q

節(jié)點繼續(xù)進(jìn)行迭代。高斯賽德爾迭代法的計算過程如下：

第一步：設(shè)置初始值，對于PQ節(jié)點，由于其電壓相量的幅值和相角均未知，因此初始電壓相量的幅值可以設(shè)定為各點的額定電壓，相角選擇為零；對于PV節(jié)點，由于其電壓相量的幅值已知，因此初始電壓相量的幅值設(shè)定為已知電壓，初始相角設(shè)定為零。

第二步:對于PQ

節(jié)點，直接將設(shè)定的初始值代入，用式(4-28)求出下一次迭代的電壓值，判斷是否越限。如果越限，則取其限值(越過上限用上限值，越過下限則用下限值)，

該節(jié)點在下一次迭代過程中轉(zhuǎn)化為PV

節(jié)點;對于PV

節(jié)點，利用式(4-29)求出注入的無功功率，判斷無功功率是否越限。如果越限則采用上限值或者下限值，下一次迭代時該節(jié)點轉(zhuǎn)化為PQ

節(jié)點，將求得的注入無功功率和已知的有功功率代入式(4-28)求解下一次迭代的電壓相量值。

第三步:判斷誤差是否滿足要求，用第

k次迭代的結(jié)果和k-1次迭代的結(jié)果進(jìn)行比較，如果其最大的誤差滿足事先設(shè)定的誤差要求，則輸出計算結(jié)果;如果不滿足要求，則返回第二步繼續(xù)迭代。其計算流程圖如圖4-5所示。圖4-5高斯—賽德爾迭代法求解電力系統(tǒng)潮流的計算流程圖

4.3牛頓—拉夫遜法

4.3.1牛頓—拉夫遜法的基本原理先考慮一個一元非線性方程f

(x)=0的求解問題，假設(shè)x0是該方程的近似解，與真實解之間的誤差為Δx

，那么有

f

(x

0+Δx)=0(4-30

)將式(4-30)展開成一階泰勒級數(shù)

f(x

0

+Δx)≈f

(x

0

)+f'(x

0

)Δ

x=0(4-31)

圖4-6牛頓拉夫遜法計算流程

一元非線性方程迭代求解過程的幾何意義如圖4-7所示。圖4-7牛頓拉夫遜法的幾何解釋

上述求解一元非線性代數(shù)方程的方法可以推廣到n

維非線性代數(shù)方程的求解。非線性代數(shù)方程式(4-20)可以表示為矩陣形式

F(X)=0(4-33)

假定X

0

是該方程組的近似解，與真實解之間的誤差為ΔX，在X

0

處展成一階泰勒級數(shù)

其中，

J稱為雅克比矩陣。式(4-34)稱為修正方程，由修正方程可得到修正值ΔX.

式(4-34)計算過程與一維方程的牛頓法求解類似，首先給定初始值X[0]=[x[0]1，x[0]2，…，x

[0]n]T

，并計算出在初始值處的雅克比矩陣J0

，利用式(4-36)計算初始值的修正值ΔX

[0]=-J

-10

F(X[0])，根據(jù)這個差值可以得到修正后的解X[1]=X

[0]+ΔX[0]。如此循環(huán)往復(fù)，在第k次迭代時，計算雅克比矩陣Jk

，根據(jù)式(4-36)計算修正值ΔX

[k

]=-J-1k

F(X

[k])，得到第k+1次修正后的解：X[k

+1]=X

[k]+ΔX[k]，重復(fù)上述過程，直到誤差滿足要求為止。

可見，牛頓拉夫遜法的關(guān)鍵在于求解雅克比矩陣J，由于直角坐標(biāo)表示和極坐標(biāo)表示電壓相量的節(jié)點功率方程有所不同，因此其雅克比矩陣也有很大的差異。

4.3.2基于直角坐標(biāo)的牛頓—拉夫遜法

假設(shè)系統(tǒng)有N個節(jié)點，其中M

個PQ節(jié)點，N-M-1個PV

節(jié)點，1個平衡節(jié)點，則M個PQ

節(jié)點方程為(假設(shè)1號節(jié)點至M號節(jié)點為PQ

節(jié)點)

.

N-M-1個PV節(jié)點的方程為(假設(shè)第M+1號節(jié)點至第N-1號節(jié)點為PV

節(jié)點)：

其中，

ΔUk

只代表一個函數(shù)，并非代表電壓差;PSk和QSk

為注入到節(jié)點k

的凈功率，即注入到該節(jié)點的發(fā)電功率減去該節(jié)點的負(fù)荷功率。.

PQ

節(jié)點的方程是有功功率和無功功率方程，

PV

節(jié)點方程是有功功率方程和電壓方程，平衡節(jié)點為參考節(jié)點，電壓已知，沒有方程，但其電壓參與節(jié)點功率計算。未知變量是除了平衡節(jié)點外的各節(jié)點電壓相量的橫分量和縱分量，共有2(N-1)個未知數(shù)，

2(N-1)個方程。

直角坐標(biāo)下牛頓—拉夫遜法的修正方程為.

其中，..

基于直角坐標(biāo)的牛頓—拉夫遜法求解潮流計算的步驟如下：

第一步：設(shè)定初值，對于PQ

節(jié)點，其電壓幅值的初值設(shè)定為該點的額定電壓，相角設(shè)定為零，因此，電壓實部設(shè)定為額定電壓，虛部設(shè)定為零。對于PV

節(jié)點，電壓幅值已知，因此該節(jié)點的電壓相量實部設(shè)定為已知的電壓幅值，虛部設(shè)定為零。

第二步：求出PQ

節(jié)點有功功率和無功功率增量ΔP

(k)、

ΔQ(k)，以及PV節(jié)點的有功功率和電壓幅值的增量ΔP

(

k)和ΔU(k)(公式(4-38))，同時求出相應(yīng)的雅克比矩陣J(k)。

第三步：求解修正方程式(4-39)，得到電壓的實部和虛部的修正值Δe(k)和Δf(k)，據(jù)此修正設(shè)定的電壓初始值。

第四步：判斷誤差是否滿足要求，如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則就令k=k+1，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。

4.3.3基于極坐標(biāo)的牛頓—拉夫遜法

假設(shè)系統(tǒng)有N個節(jié)點，其中M

個PQ

節(jié)點，

N-M-1個PV

節(jié)點，

1個平衡節(jié)點。則M

個PQ

節(jié)點方程為(假設(shè)第1號節(jié)點至第M

號節(jié)點為PQ

節(jié)點).

N

-M-1個PV

節(jié)點只包含有功功率方程(假設(shè)第M+1號節(jié)點至N-1號節(jié)點為PV

節(jié)點)

其中PSk

和QSk

為注入到節(jié)點k

的凈功率，即注入到該節(jié)點的發(fā)電功率減去該節(jié)點負(fù)荷功率。PQ

節(jié)點既有有功功率方程，也有無功功率方程，未知數(shù)為電壓幅值和相角;而PV節(jié)

點則只有有功功率方程，未知數(shù)只有電壓的相角。因此，極坐標(biāo)下的節(jié)點功率方程共有2M+(N-1-M)=N+M-1個未知數(shù)和方程。.

把上述方程順序調(diào)整一下:N-1個有功功率方程放在一起，

M

個無功功率方程放在一起，方程可以寫為.

極坐標(biāo)下牛頓—拉夫遜法的修正方程為:.

式(4-43)中，為使雅克比矩陣的各元素具有相似性，并為PQ解耦法作鋪墊，將雅克比矩陣中對電壓的偏導(dǎo)乘以電壓值，電壓增量除以電壓值，經(jīng)過上述處理后修正方程不變。將式(

4-43)中的矩陣分為兩部分:

ΔU/U=[ΔU1/U

1

，…，

ΔU

m

/U

m

]T

，并非是矩陣相除;分塊矩陣N為(N-1)×(N

-1)階矩陣，

H為(N

-1)×M

階矩陣，

M

為M×(N-1)階矩陣，

L

為M×M

階矩陣。上述分塊矩陣的元素分別表示如下..

基于極坐標(biāo)下的牛頓拉夫遜法的潮流計算過程如下：

第一步：設(shè)定初值，對于PQ

節(jié)點，電壓幅值的初值設(shè)定為該點的額定電壓，相角設(shè)定為零；對于PV

節(jié)點，電壓幅值已知，只設(shè)定相角的初值，一般設(shè)為零。

第二步：求出

PQ節(jié)點有功功率和無功功率增量ΔP

(k)、ΔQ(k

)，以及PV

節(jié)點的有功功率和電壓幅值的增量ΔP

(k)ΔU(k)，同時求出雅克比矩陣J(k)。

第三步：求解修正方程式(4-43)，得到電壓幅值和相角的修正量ΔU(k)和Δδ

(k

)，據(jù)此修正設(shè)定的電壓初始值。

第四步：判斷誤差是否滿足要求，即

‖Δδ

(k)‖<ε1

、‖ΔU(k)‖<ε2

。如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則令k=k+1，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)疊代。

4.4PQ解耦法

通過上面的分析和論述，可以發(fā)現(xiàn)，牛頓—拉夫遜法的收斂速度很快，但計算量很大，因為每一次迭代都必須重新計算雅克比矩陣，并求解修正方程。因此，為了減少計算量，根據(jù)基于極坐標(biāo)的牛頓—拉夫遜法的特點，建立PQ解耦法的潮流計算方法。

觀察基于極坐標(biāo)下的牛頓—拉夫遜法潮流計算的電壓修正方程中的雅克比矩陣，根據(jù)電力系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運行時的實際情況，可知，Gkj?Bkj，δkj≈0，

Psk?U2

kBkk

，

Qsk?U2

kBkk

，因此，我們可以近似的認(rèn)為：

Nkk=Lkk

≈U2

k

Bkk

;Nkj=Lkj≈UkUj

Bkj;

Hkk

=Mkk

≈0;Hkj=Mkj≈0

這就是說，各個節(jié)點電壓相角的變化主要與注入凈有功功率的變化有關(guān)，各個節(jié)點電壓幅值的變化主要與注入的凈無功功率的變化有關(guān)：

ΔP=-NΔδ；

ΔQ=-L

ΔU

/U

，將這兩個修正方程可以表示為：.

式(4-45)進(jìn)一步表示為

式(4-46)可簡寫為

ΔP/U=-B(UΔδ

)

(4-47)

其中，矩陣B

為全系統(tǒng)除了平衡節(jié)點以外的節(jié)點電納矩陣。注：ΔP/U

和UΔδ表示不是很嚴(yán)謹(jǐn)，它們僅代表由ΔPk

/Uk

和Uk

Δδk

組成的列向量。

同理可得

ΔQ

/U=-B′

(ΔU

)(4-48)

其中，矩陣B′

為所有PQ節(jié)點以外的節(jié)點電納矩陣。注：

ΔQ/U僅代表由ΔQk

/Uk

組成的列向量。

求解修正方程式(4-47)和(4-48)時，只需提前將節(jié)點電納矩陣B

和B′利用高斯消去法變換成上(或下)三角矩陣，并記錄變換過程就可以了。與牛頓拉夫遜法相比，PQ

解耦法每一步的迭代過程都大大減少了工作量。

PQ解耦法的潮流計算步驟如下：

(1)準(zhǔn)備工作，形成全系統(tǒng)(平衡節(jié)點除外)的節(jié)點電納矩陣B

，以及其子矩陣———全部PQ節(jié)點的節(jié)點以外電納矩陣B′，然后利用高斯消去法形成上(或者下)三角矩陣并記錄變換過程。

(2)賦初值U(0)和δ(0)，將全系統(tǒng)PQ節(jié)點的電壓幅值設(shè)置為額定電壓，全系統(tǒng)電壓節(jié)點的相角(平衡節(jié)點除外)設(shè)置為0。令迭代次數(shù)k=0。

(3)根據(jù)設(shè)置的電壓和相角初始值計算[ΔP/U](k)以及[ΔQ/U](k)，根據(jù)節(jié)點導(dǎo)納矩陣的上/下三角矩陣求解修正方程式(4-47)和(4-48)，得到Δδ(k)和ΔU(k)。并根據(jù)修正值修正設(shè)定的電壓初始值。

(4)判斷誤差是否滿足要求，即

|Δδ

(k))|<ε1

、|ΔU(k)|<ε

2

。如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則令k=k+1，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。

PQ

解耦法簡化了每一步迭代的計算量，迭代得到的修正值與牛頓—拉夫遜法的修正值相比誤差要大，因此，雖然每一步的迭代計算量減少了，但代價是增加了迭代次數(shù)。PQ解耦法最終的計算精度不受影響，因為計算精度取決于最終的誤差要求ε

1

和ε

2

，如果誤差要求和牛頓拉夫遜法一樣的，則二者最終計算結(jié)果精度相同。

4.5潮流計算的手工計算方法

大約半個多世紀(jì)以前，數(shù)字計算機(jī)還沒有出現(xiàn)，潮流計算都是采用手工的計算方法。雖然潮流計算的本質(zhì)是解電力系統(tǒng)的節(jié)點功率方程，然而手工計算方法是不可能采用解節(jié)點功率方程的方法來進(jìn)行潮流計算的。手工潮流計算是根據(jù)一條簡單支路的電壓和功率傳輸關(guān)系，將較為復(fù)雜的電力系統(tǒng)分解為若干條簡單支路來進(jìn)行潮流計算的。

因此任何復(fù)雜的潮流計算都是從一條簡單支路的潮流分布和電壓降落的計算開始的。對于環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，首先將其解開為雙端電源網(wǎng)絡(luò)，然后將雙端電源從功率分點解開，成為兩個輻射形網(wǎng)絡(luò)，對其進(jìn)行近似的潮流估算。

圖4-8簡單支路示意圖

.

因此首端(節(jié)點1)的電壓為

流過節(jié)點1的復(fù)功率為.

兩端電壓的關(guān)系可以由圖4-9所示的相量圖中得到(以?U

2

為參考相量)，

φ

為末端電壓和電流的夾角，稱為功率因數(shù)角。從相量圖中，不難得到阻抗Z

引起的電壓降落的橫分量和縱分量分別為.

可得首端(節(jié)點1)的電壓幅值和相角分別為

如果已知首端(節(jié)點1)的電壓和流入的功率，求末端的電壓和流出的功率，其基本原理同上，讀者可自行推導(dǎo)分析。.圖4-9兩端電壓相量示意圖

.

由于潮流計算通常是在電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行條件下，此時節(jié)點電壓與平均額定電壓差別不大，因此，在手工近似計算中，將上述的疊代過程只進(jìn)行一次。即先設(shè)定未知電壓為

平均額定電壓，利用式(4-51)，根據(jù)末端的功率計算支路的功率損耗，然后利用式(4-53)計算出首端功率，再利用首端功率和首端電壓計算系統(tǒng)的電壓損耗，最后計算出末端電壓。

通過這樣處理，輻射形網(wǎng)絡(luò)就化簡為若干簡單支路的級聯(lián)，可以利用簡單支路的潮流和電壓計算方法逐