試題試題2023年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學一模考試幾何圖形壓軸題匯總越秀區(qū)2023年一模25.如圖，已知是等邊三角形，，點D為的中點，點E，F(xiàn)分別為邊，上的動點（點E不與B，C重合），且．（1）求的取值范圍；（2）若，求的長；（3）求的最小值．海珠區(qū)2023年一模24.如圖1，中，，邊上找一點，以為半徑作圓．分別交，于點，．是的切線．且，，（1）證明：（2）求的面積；（3）如圖2，過點作的平行線交點于點，為劣弧上一動點，連接，在上取點，使得，連接交于，求的最大值．荔灣區(qū)2023年一模24.如圖，四邊形中，，，連接，總有．（1）求的度數(shù)；（2）點F是線段的中點，連接．①寫出線段之間的數(shù)量關系，并給出證明；②延長相交于點N，連接，若，求線段長度的最小值．天河區(qū)2023年一模24.已知，如圖，在中，，，，過作，點在射線上、連接，交邊于點．（1）當時，求的長；（2）當時，求的長；（3）當為等腰三角形時，求的長．番禺區(qū)2023年一模25.（1）如本題圖①，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．（2）如本題圖②，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連結交于點G．若，求的長．（3）如本題圖③，在四邊形中，，對角線平分，點E為上一點，．若，求的長．花都區(qū)2023年一模24.如圖1，已知，在射線上分別截取點B、C，使．（1）求證：；（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個半圓，點D為半圓上的一個動點，連接交于點E．①當時，求的長．②在線段上取一點F，連接交于點G，若，當點D在半圓上從點B運動到點C時，求點G經(jīng)過的路徑長．黃埔區(qū)2023年一模24.如圖，為的直徑，弦于點，為劣弧上一動點，與的延長線交于點，、相交于，連接、、，（為常數(shù)，且）．（1）求證：；（2）求的值（用含的式于表示）；（3）設，．①求與的數(shù)量關系；②當，且時，求的值．白云區(qū)2023年一模25.如圖，在正方形中，的半徑，在上，F(xiàn)為上的一動點．過點F作的切線交于點P，交于點Q，交的延長線于點M．（1）當點F為線段的中點時，求證：；（2）將沿直線翻折后得，當與相似時，求的長．（3）連接、，，交于點E．求證：．從化區(qū)2023年一模25.在平行四邊形中，的平分線交邊于點，交的延長線于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，，連接、，當時，求證：；（3）在（2）的條件下，當，時，求線段的長．南沙區(qū)2023年一模24.定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．（1）如圖①，等腰直角四邊形，，．①若，于點，求的長；②若，，求的長；（2）如圖②，在矩形中，，點是對角線上的一點，且，過點作直線分別交邊，于點，，要使四邊形是等腰直角四邊形，求的長．增城區(qū)2023年一模24.在四邊形中，，；（1）如圖1，已知，直接寫出的度數(shù)；（2）如圖2，已知，，，連接，求的長度；（3）如圖3，已知，，請判斷四邊形的面積是否有最小值？如果有，請求出它的最小值；如果沒有，請說明理由．試題試題2023年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學一?？荚噹缀螆D形壓軸題匯總越秀區(qū)2023年一模25.如圖，已知是等邊三角形，，點D為的中點，點E，F(xiàn)分別為邊，上的動點（點E不與B，C重合），且．（1）求的取值范圍；（2）若，求的長；（3）求的最小值．【答案】（1）（2）（3）取得最小值是，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件求解即可；（2）過點D作，過點F作，證明即可求解；（3）連接，過點F作，過點C作且，證明，再結合題中條件即可求得答案．【小問1詳解】解：∵是等邊三角形，，∴，∴；【小問2詳解】解：過點D作，過點F作，如圖所示，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設，∵，∴，∵點D為的中點，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴，∵，∴

∵∴，，，∵，∴，即，解得：，即；【小問3詳解】解：連接，過點F作，過點C作且，在和中，∵是等邊三角形，點D為的中點，∴∵，，∴，∴，設，由（2）知，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，當且僅當B、F、K三點共線時取等號，即取得最小值，過點K作交的延長線于點M，∵，，∴，，∴，在中，，∴，即取得最小值是．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題關鍵．海珠區(qū)2023年一模24.如圖1，中，，邊上找一點，以為半徑作圓．分別交，于點，．是的切線．且，，（1）證明：（2）求的面積；（3）如圖2，過點作的平行線交點于點，為劣弧上一動點，連接，在上取點，使得，連接交于，求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）如圖所示，連接，由切線的性質得到，再根據(jù)等邊對等角得到，由三角形內角和定理得到，即可證明；（2）如圖所示，連接，過點A作于N，交于M，由勾股定理得；由（1）得，則，，證明，求出，由直角三角形斜邊上的中線的性質得到，則；同理可證，求出，由勾股定理得，則；（3）過點F作于Q，由（2）得M是的中點，，則，可得都在以M為圓心，以為直徑的圓上，再導角證明，即點F也在以為直徑的上，證明，得到；證明，求出，則，故當最大時，才有最大值；如圖所示，過點M作于G，先求出，則，由，得到，則的最大值為．【小問1詳解】證明，如圖所示，連接，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，連接，過點A作于N，交于M，∵為的直徑，∴，在中，由勾股定理得；由（1）得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，點M為的中點，在，，∴，∴，同理可證，∴，即，又∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴；【小問3詳解】解：過點F作于Q，由（2）得M是的中點，∴在中，，∴∴都在以M為圓心，以為直徑圓上，∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴點F也在以為直徑的上，∵，∴，又∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴當最大時，才有最大值，如圖所示，過點M作于G，∴，在中，，∵點F在劣弧上，，∴，∴的最大值為．【點睛】本題主要考查了切線的性質，四點共圓，直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，相似三角形的性質與判定，垂徑定理等等，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．荔灣區(qū)2023年一模24.如圖，四邊形中，，，連接，總有．（1）求的度數(shù)；（2）點F是線段的中點，連接．①寫出線段之間的數(shù)量關系，并給出證明；②延長相交于點N，連接，若，求線段長度的最小值．【答案】（1）；（2）①，理由見解析；②線段長度的最小值為2．【解析】【分析】（1）由已知求得，推出，利用三角形內角和定理即可求解；（2）①延長至點P，使，連接，延長至點Q，使，由三角形中位線定理得到，，推出和是等邊三角形，證明，據(jù)此即可得到；②證明是等邊三角形，推出是定角，點N在以為弦，所對圓周角為的一段弧上，當在同一直線上時，有最小值為，解直角三角形即可求解．【小問1詳解】解：連接，∵，，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：①，理由如下，延長至點P，使，連接，延長至點Q，使，連接，∵，點F是線段的中點，∴，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，和中，，∴，∴，∴；②由①得，，∴，，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴是定角，∴點N在以為弦，所對圓周角為的一段弧上，如圖，∴在中，有，∴當在同一直線上時，有最小值為，∵，，∴，，∴，∴，∴線段長度的最小值為2．【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．天河區(qū)2023年一模24.已知，如圖，在中，，，，過作，點在射線上、連接，交邊于點．（1）當時，求的長；（2）當時，求的長；（3）當為等腰三角形時，求的長．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得，進而證明，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，即可進行解答；（2）根據(jù)題意可得，，通過證明得出，即可求解；（3）分兩種情況進行討論：①當時，過點B作于點F，交于點G，通過證明，即可求解；②當時，過點B作于點Q，通過證明即可求解．【小問1詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：．【小問2詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【小問3詳解】①當時，過點B作于點F，交于點G，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：．②當時，過點B作于點Q，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，設，則，∵，∴中，根據(jù)勾股定理可得：，即，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），∴．由于，所以不存在的情形；綜上：或．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點，正確畫出圖形，證明三角形相似．番禺區(qū)2023年一模25.（1）如本題圖①，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．（2）如本題圖②，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連結交于點G．若，求的長．（3）如本題圖③，在四邊形中，，對角線平分，點E為上一點，．若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由得，因而，所以平分；（2）先證明，其中，再由相似三角形的對應邊成比例求出的長；（3）根據(jù)角平分線的特點，在上截取，連結，構造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性質求出的長．【詳解】（1）證明：如圖1，平分，，，，，，，，平分．（2）如圖2，，；，，；，，，（3）在上取一點F，且，連接和∵平分∴，又∵，，∴∴∵∴∵∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴∴長為【點睛】此題重點考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，解第（3）題時，應注意探究題中的隱含條件，通過適當添加輔助線構造全等三角形和相似三角形；此題難度較大，屬于考試壓軸題．花都區(qū)2023年一模24.如圖1，已知，在射線上分別截取點B、C，使．（1）求證：；（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個半圓，點D為半圓上的一個動點，連接交于點E．①當時，求的長．②在線段上取一點F，連接交于點G，若，當點D在半圓上從點B運動到點C時，求點G經(jīng)過的路徑長．【答案】（1）證明見解析；（2）①，②為或【解析】【分析】（1）由已知可知是等邊三角形，進而可得結論；（2）①由為直徑，得出，再解三角形即可；②有兩種情況決定了G的運動路線有可能兩種情況，找到路徑分別求解即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴是等邊三角形，∴．【小問2詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵∴，如圖2，連接，∵是直徑，∴，∴，∴②有兩種不同位置情況，I、當，時，如圖3-1：∵，∴∴，∴，∴點G在的垂直平分線上運動，當點D在半圓上從點B運動到點C時，點G經(jīng)過的路徑即是的的邊的高線，，故此時點D在半圓上從點B運動到點C，點G經(jīng)過的路徑長，II、當，時，如圖3-2：∵，∴∴，∴，∴點G在過A、B、G的圓弧上運動，設圓弧的圓心為O，過O作，則，∴，，，∴長為，故此時點D在半圓上從點B運動到點C，點G經(jīng)過的路徑是半徑為，圓心角為的，長為，綜上所述：當點D在半圓上從點B運動到點C時，點G經(jīng)過的路徑長為或．【點睛】本題主要考查了圓與等邊三角形綜合，解題關鍵是掌握等邊三角形性質，靈活運用三角形全等轉換線段和角的關系，得出點G的運動路線．黃埔區(qū)2023年一模24.如圖，為的直徑，弦于點，為劣弧上一動點，與的延長線交于點，、相交于，連接、、，（為常數(shù)，且）．（1）求證：；（2）求的值（用含的式于表示）；（3）設，．①求與的數(shù)量關系；②當，且時，求的值．【答案】（1）見解析（2）（3）①②【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，得到，進而得到，根據(jù)直徑所對的圓周角等于，得到，進而得到，利用等角的余角相等，即可得證；（2）垂徑定理，得到，證明，推出，在中，利用勾股定理得到，即可得解；（3）如圖，設交于點，連接，過點作于點，過點作于點，則，①先證明，得到，由，得到，再由，得到，再根據(jù)，即可得證；②先推出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，證明，得到，勾股定理求出，即可得解．【小問1詳解】證明：如圖，連接，直徑弦，，，是的直徑，，，，即；【小問2詳解】直徑弦，∴，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，在中，，則，∴，；【小問3詳解】如圖，設交于點，連接，過點作于點，過點作于點，則，①∵直徑弦，∴，又，∴，∴，∵，∴，由（2）知，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②∵，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，由①結論可得，，，∴∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴∴，在中，在中，，∵，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的的判定和性質，相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度大，正確的作出輔助線，是解題的關鍵．白云區(qū)2023年一模25.如圖，在正方形中，的半徑，在上，F(xiàn)為上的一動點．過點F作的切線交于點P，交于點Q，交的延長線于點M．（1）當點F為線段的中點時，求證：；（2）將沿直線翻折后得，當與相似時，求的長．（3）連接、，，交于點E．求證：．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)切線性質，得到，結合判定直線是線段的垂直平分線，得到，利用正方形的性質，運用HL證明即可．（2）根據(jù)題意，設，，則，，，，根據(jù)，得，根據(jù)三角形相似，列出比例式計算即可．（3）在上截取，則，根據(jù)題意，設，，則，，，，根據(jù)，得，根據(jù)平行線分線段成比例定理證明即可．【小問1詳解】∵是的切線，∴，∵，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∵正方形，∴，∴，∴．【小問2詳解】根據(jù)題意，設，，則，，，，∵，∴，解得，∴，，，當時，得，設與的交點為O，根據(jù)折疊的性質，得，∴，∴，∴，解得（舍去），此時，．【小問3詳解】在上截取，則，根據(jù)題意，設，，則，，，，∵，∴，解得，∵正方形，∴，，∴，∴，∴，解得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵正方形，∴，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，切線的性質，平行線分線段成比例定理的逆應用，熟練掌握三角形相似的判定和性質，切線的性質，平行線分線段成比例從化區(qū)2023年一模25.在平行四邊形中，的平分線交邊于點，交的延長線于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，，連接、，當時，求證：；（3）在（2）的條件下，當，時，求線段的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得，，所以，，由是的平分線得，所以，得；（2）延長、交于點，連接，可證得四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，推出和都是等邊三角形，再證明，得出，進而證得結論；（3）如圖3，連接，根據(jù)平行四邊形性質和角平分線性質可得出，過點作于點，可得，利用勾股定理求得，過點作于點，結合勾股定理即可求得答案．【小問1詳解】解：證明：如圖1，四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，；【小問2詳解】證明：如圖2，延長、交于點，連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是菱形，，，，，和都是等邊三角形，，，四邊形是平行四邊形，，，，，在和中，，，，；【小問3詳解】如圖3，連接，四邊形是平行四邊形，試題試題，，，，平分，，，過點作于點，，在中，，，，，，，，，過點作于點，則，，點與點重合，，，．【點睛】此題重點考查平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、含角的直角三角形性質，勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．南沙區(qū)2023年一模24.定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．（1）如圖①，等腰直角四邊形，，．①若，于點，求的長；②若，，求的長；（2）如圖②，在矩形中，，點是對角線上的一點，且，過點作直線分別交邊，于點，，要使四邊形是等腰直角四邊形，求的長．【答案】（1）①；②（2）滿足條件的的長為【解析】【分析】（1）①根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理求出的值；②連接、，交于點，過點C作，交于點E，證明垂直平分，得出，證明，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案；（2）若，則，，推出四邊形表示等腰直角四邊形，不符合條件．若與不垂直，當時，此時四邊形是等腰直角四邊形，當時，此時四邊形是等腰直角四邊形，分別求解即可．【小問1詳解】解：①連接，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴；②連接、，交于點，過點C作，交于點E，如圖所示：則，∵，，∴，∴，∵，，∴、在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【小問2詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，；若時，如圖所示：則四邊形和為矩形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，；∴四邊形不可能是等腰直角四邊形；若與不垂直，當時，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴此時點F不在邊上，不符合題意；若與不垂直，當時，如圖所示：此時四邊形是等腰直角四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述，滿足條件的的長為．【點睛】本題主要考查了矩形的性