直角坐標(biāo)系下三重積分例題試題：直角坐標(biāo)系下三重積分（滿分100分）。一、選擇題（每題5分，共20分）。1.三重積分?_Ωf(x,y,z)dV在直角坐標(biāo)系下的積分順序可以表示為（）。A.∫_a^b∫_c^d∫_e^ff(x,y,z)dzdydxB.∫_a^b∫_c^d∫_e^ff(x,y,z)dxdydzC.∫_a^b∫_c^d∫_e^ff(x,y,z)dydxdzD.以上均可。2.積分區(qū)域Ω由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1圍成，若先對z積分，則z的上下限為（）。A.0≤z≤1B.0≤z≤1-x-yC.0≤z≤1-xD.0≤z≤1-y3.將三重積分?_ΩxdV（其中Ω為立方體0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1）轉(zhuǎn)化為累次積分，結(jié)果為（）。A.∫_0^1∫_0^1∫_0^1xdzdydxB.∫_0^1∫_0^1∫_0^1xdxdydzC.∫_0^1∫_0^1∫_0^1xdydzdxD.以上均正確。4.若積分區(qū)域Ω由x^2+y^2≤1和0≤z≤2圍成，則其直角坐標(biāo)系下的投影平面是（）。A.圓形區(qū)域。B.矩形區(qū)域。C.三角形區(qū)域。D.拋物面區(qū)域。二、填空題（每題5分，共20分）。1.將三重積分?_Ωf(x,y,z)dV（Ω由0≤x≤10≤y≤x0≤z≤y確定）按順序dzdydx寫出累次積分形式：____________________。2.設(shè)Ω為由0≤x≤20≤y≤30≤z≤1圍成的長方體，則?_Ω2dV=______。3.若先對x積分，再對y積分，最后對z積分，區(qū)域Ω由z=0z=1y=0y=zx=0x=y+z圍成，則x的上下限為________。三、計(jì)算題（每題15分，共45分）。1.計(jì)算?_ΩzdV其中Ω由平面x=0y=0z=0及x+y+z=1圍成。2.計(jì)算?_Ω(x+y+z)dV其中Ω為立方體0≤x≤10≤y≤10≤z≤13.計(jì)算?_ΩxydV其中Ω由拋物面z=x^2+y^2和平面z=4圍成。四、應(yīng)用題（15分）。設(shè)物體占據(jù)空間區(qū)域Ω其密度函數(shù)為ρ(x,y,z)=xyz其中Ω由0≤x≤10≤y≤10≤z≤1確定。求該物體的質(zhì)量。答案與解析。一、選擇題。1.D.【解析】直角坐標(biāo)系下積分順序可任意交換，只需調(diào)整上下限。2.B.【解析】在區(qū)域x+y+z=1內(nèi)，z的表達(dá)式為z=1-x-y3.A.【解析】積分順序需與微分順序一致，選項(xiàng)A對應(yīng)dzdydx4.A.【解析】投影到xOy平面為圓x^2+y^2≤1二、填空題。1.∫_0^1∫_0^x∫_0^yf(x,y,z)dzdydx2.12.【解析】積分結(jié)果為2×2×3×1=123.0≤x≤y+z三、計(jì)算題。1.答案(1)/(24)【解析】積分區(qū)域?yàn)樗拿骟w，積分順序?yàn)閦從0到1-x-yy從0到1-xx從0到1∫_0^1∫_0^1-x∫_0^1-x-yzdzdydx=(1)/(24)2.答案(3)/(2)【解析】利用對稱性，?_ΩxdV=?_ΩydV=?_ΩzdV=(1)/(2)總和為3×(1)/(2)=(3)/(2)3.答案0【解析】區(qū)域關(guān)于x=0或y=0對稱，被積函數(shù)xy為奇函數(shù)，積分結(jié)果為0。四、應(yīng)用題。答案(1)/(8)【解析】質(zhì)量M=?_ΩxyzdV=∫_0^1∫_0