第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省九江一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a=(1,k)，b=(k,9)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)A.3 B.±3 C.?3 D.02.已知復(fù)數(shù)z=(1?i)(1?2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的虛部為(

)A.?3 B.3 C.?3i D.3i3.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是(

)A.一定平行 B.一定相交 C.平行或相交 D.以上判斷都不對(duì)4.如圖，一個(gè)水平放置的三角形ABO的斜二測(cè)直觀圖是三角形A′B′O′，若O′B′=3，O′A′=2，則原三角形的面積為(

)A.4 B.6 C.8 D.105.已知sin(π4+α)cosA.23 B.1 C.58 6.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC,BC⊥AB,∠A=π4,AB=2CD=4，E為線段AB的中點(diǎn)，先將梯形挖去一個(gè)以BE為直徑的半圓，再將所得平面圖形以直線AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為(

)A.28π3 B.22π3 C.7π 7.已知平面向量AB、AC、AD，|AB|=|AC|=1，|AB+AC|=1，△BCDA.32 B.2 C.72 8.已知復(fù)數(shù)z滿足1z=12+32i，則z1A.6個(gè) B.4個(gè) C.2024個(gè) D.以上答案都不正確二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1A.直線BC1與直線CD1所成角為60°B.A1C⊥平面C1BD

C.M、O、C1三點(diǎn)共線D.直線A1C1與平面ABC1D1所成角的為π4

10.在△ABC中，內(nèi)角A，B，A.sinA：sinB：sinC=2：3：4 B.△ABC是銳角三角形

C.△ABC的外接圓半徑為16515 D.11.對(duì)于非零向量m=(x,y)，定義變換T(m)=(x+y,x?y)以得到一個(gè)新的向量.現(xiàn)對(duì)于非零向量a=(x1A.存在單位向量e，使得|T(e)|=3|e|

B.對(duì)任意a、b，a?b=12T(a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若關(guān)于x的方程sinx?cosx=k無解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．13.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1.則二面角B?PC?D的大小______．14.已知△ABC中，內(nèi)角A，B(A≠B)是關(guān)于x的方程cos2x?2msinx?2m2+12=0的兩個(gè)根，其中?1<m<?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在棱長(zhǎng)是2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)．

(1)證明：EF//平面AA16.(本小題15分)

已知f(x)=2cos(x+π6)cosx+sin2x?32．

(1)若f(x0)=13，x0∈(π1217.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin2B=sinAsinC，且cosB=45．

(1)求1tanA+1tanC18.(本小題17分)

如圖.在梯形ABCD中，AB=2DC，E、F是DC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，G、H是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，線段BC上一動(dòng)點(diǎn)P滿足BP=λBC(0≤λ≤1),AP分別交EG，F(xiàn)H于M、N兩點(diǎn)，記AB=a,AD=b．

(1)當(dāng)λ=13,|DC|=1,|AD19.(本小題17分)

三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意.1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.當(dāng)△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足條件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ時(shí)，則稱點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，角θ為布洛卡角.如圖，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為θ．

(1)求證：a?PB+b?PC+c?PA=2S△ABCsinθ；

(2)若A=2θ，是否存在常數(shù)λ∈R，使得a2+b2+

答案解析1.【答案】D

【解析】解：a=(1,k)，b=(k,9)，a⊥b，

則k+9k=0?k=0．

故選：D．2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z=?1?3i，由此能求出z的虛部．【解答】

解：復(fù)數(shù)z=(1?i)(1?2i)=1?i?2i+2i2=?1?3i，

∴z的虛部為?3．

3.【答案】C

【解析】解：當(dāng)一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線時(shí)，兩平面平行；

一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線時(shí)，兩平面可能平行，也可能相交．

∴若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是平行或相交．

故選：C．

直接由兩平面平行的判定得結(jié)論．

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：由斜二測(cè)畫法規(guī)則以及O′B′=3，O′A′=2，

可得三角形ABO為直角三角形，且∠AOB為直角，AO=4，BO=3，

故其面積為：12×4×3=6．

故選：B．

根據(jù)直觀圖可得原圖為直角三角形，求出原圖的直角邊長(zhǎng)后可得三角形的面積．5.【答案】D

【解析】解：∵sin(π4+α)cos(π4?α)=13，

∴sin(π4+α)cos[π2?(6.【答案】A

【解析】解：由題意旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體為兩個(gè)同底面的圓柱，圓錐，再去掉一個(gè)球體得到．

由題可得圓柱，圓錐的底面半徑為CB，

則DE⊥AB，DE=CB，

三角形ADE為等腰直角三角形，則DE=CB=12AB=2，

又由題可得圓柱，圓錐的高均為2，

則圓柱，圓錐體積之和為：13π×22×2+π×22×2=323π，

又注意到球體半徑為12EB=17.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閨AB|=|AC|=1，|AB+AC|=1，

所以|AB+AC|2=(AB+AC)2=AB2+2AB?AC+AC2=1，

因?yàn)锳B2=|AB|2=1，AC2=|AC|2=1，

設(shè)∠BAC=θ，0<θ<π，則AB?AC=|AB||AC|cosθ=cosθ，

所以|AB+AC|2=1+2cosθ+1=1，即2+2cosθ=1，解得cosθ=?12，所以θ=2π38.【答案】A

【解析】解：由1z=12+32i，

得z=112+32i=12?32i(12+32i)(12?32i)=12?32i9.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，連接AC，AD1，四邊形ABC1D1是正方體ABCD?A1B1C1D1的對(duì)角面，

則四邊形ABC1D1為矩形，AD1/?/BC1，

所以∠AD1C是直線BC1與直線CD1所成角或其補(bǔ)角，

因?yàn)锳C=AD1=CD1，所以∠AD1C=60°，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以AA1⊥BD，又BD⊥AC，

又因?yàn)锳A1∩AC=A，AA1，AC?平面A1AC，

所以BD⊥平面A1AC，又因?yàn)锳1C?平面A1AC，

所以A1C⊥BD，

同理A1C⊥BC1，又因?yàn)锽D∩BC1=B，所以A1C⊥平面C1BD，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)镺∈AC，AC?平面ACC1A1，所以O(shè)∈平面ACC1A1，

所以O(shè)∈BD，BD?平面C1BD，所以O(shè)∈平面C1BD，

則O是平面ACC1A1和平面C10.【答案】BC

【解析】解：對(duì)A，在△ABC中，a=2，b=3，c=4，由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=2：3：4，所以A正確；

對(duì)B，因?yàn)閍<b<c，所以A<B<C，

由余弦定理可得cosC=22+32?422×2×3=?14<0，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以C為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，所以B不正確；

對(duì)C，由cosC=?14可得sinC=154，所以△ABC外接圓半徑R=c2sinC=81515，所以C不正確；

對(duì)D，由余弦定理得cosA=78，可得sinA=1?cos2A=158，

則11.【答案】BCD

【解析】解：設(shè)單位向量e=(x,y)，則x2+y2=1，|T(e)|=(x+y)2+(x?y)2=2(x2+y2)=2，

而|e|=1，2≠3×1，∴不存在單位向量e，使得|T(e)|=3|e|，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a?b=x1x2+y1y2，

又T(a)=(x1+y1,x1?y1)，T(b)=(x2+y2,x2?y2)，

計(jì)算T(12.【答案】：(?∞,?【解析】解：由題意可知：y=sinx?cosx與y=k沒有交點(diǎn)，

因?yàn)閥=sinx?cosx=2sin(x?π4)，

且sin(x?π4)∈[?1,1]，可得y=2sin(x?π4)∈[?2,13.【答案】2π3【解析】解：如圖過B作BE⊥PC交PC于E，連接DE，BD，AC，

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB，AD，AC?底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，AB=AD，

所以由勾股定理可得PA2+AB2=PA2+AD2，即PB=PD，

又BC=DC，PC=PC，所以△PCB≌△PCD，所以DE⊥PC，

因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PDC=PC，所以∠BED即為二面角B?PC?D的平面角，

因?yàn)镻A=AB=1，由勾股定理可得AC=BD=2，PB=PA2+AB2=2，PC=PA2+AC2=3，

設(shè)PE=x，則EC=3?x，

所以由PB2?PE2=BC2?EC2，

得(2)2?x2=114.【答案】?1【解析】解：因?yàn)閏os2x?2msinx?2m2+12=0的兩個(gè)根，

又方程可化為：sin2x+msinx+m2?34=0，

由韋達(dá)定理有sinA+sinB=?m，sinAsinB=m2?34，

則(sinA+sinB)2=(?m)2，整理可得sin2A+sin2B=32?m15.【答案】證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由棱長(zhǎng)為2，可得A1(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，D(0,0,0)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,1,1)，

可得EF=(?1,0,1)，AD1=(?2,0,2)=2EF，

所以EF/?/AD1，

又AD1?平面AA1D1D，EF?平面AA1D1D，

所以EF/?/平面AA1D1D【解析】(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出AD1，EF的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷EF/?/AD1，再利用線面平行的判定定理證明；

(3)利用CD?EF=0，EF?A16.【答案】cos(2x0+π【解析】(1)f(x)=2cos(x+π6)cosx+sin2x?32

=2?(cosx?32?sinx?12)cosx+sin2x?32

=3?cos2x+12+12sin2x?32

=32cos2x+12sin2x

=sin(2x+π3)，

因?yàn)閒(x0)=13，

則sin(2x0+π3)=13，

因?yàn)閤017.【答案】53；

a+c=【解析】(1)cosB=45，則sinB=35，

由sin2B=sinAsinC，則1tanA+1tanC=cosAsinC+sinAcosCsinAsinC=sinBsinAsinC=sinBsin2B=53；

(2)由題意cosB=45，ac=5，

由sin2B=sinAsinC得：b2=ac，

由余弦定理可得，18.【答案】2+2；

23；

【解析】(1)

由題意AC=AD+DC=12AB+AD，AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(BA+AC)=23AB+13AC

=23AB+13(12AB+AD)=56AB+13AD，

所以AC?AP=(12AB+AD)?(56AB+13AD)=512AB2+13AD2+AB?AD

=512?22+13?12+2?1?22=2+2；

(2)

AC=AD+DC=12AB+AD，

若λ=12，則AP=12AB+12AC=12AB+12(12AB+AD)=34AB19.【答案】證明見解析；

存在，λ=4；

正三角形．

【解析】(1)