高等數(shù)學(xué)技術(shù)試題及答案高等數(shù)學(xué)技術(shù)試題一、選擇題（每題3分，共30分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x1)}$的定義域是（）A.$(1,+\infty)$B.$(0,1)\cup(1,+\infty)$C.$(1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(2,+\infty)$2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值為（）A.0B.1C.2D.33.設(shè)函數(shù)$y=x^3+3x^21$，則$y'$等于（）A.$3x^2+6x$B.$3x^26x$C.$x^2+6x$D.$x^26x$4.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線方程是（）A.$y=2x1$B.$y=-2x+3$C.$y=x$D.$y=-x+2$5.$\intx^2dx$等于（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^2+C$C.$x^3+C$D.$2x+C$6.設(shè)$f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x+1)dx$等于（）A.$F(2x+1)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x+1)+C$C.$2F(2x+1)+C$D.$F(x)+C$7.微分方程$y'=2x$的通解是（）A.$y=x^2+C$B.$y=2x^2+C$C.$y=\frac{1}{2}x^2+C$D.$y=4x^2+C$8.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,-1,0)$，則$\vec{a}\cdot\vec$等于（）A.0B.1C.2D.39.設(shè)$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$y$10.二重積分$\iint\limits_{D}1d\sigma$，其中$D$是由$x=0$，$x=1$，$y=0$，$y=1$所圍成的區(qū)域，其值為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（每題3分，共15分）1.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{2x}=$________。2.函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)$y'=$________。3.$\int_{0}^{1}xdx=$________。4.已知函數(shù)$z=e^{xy}$，則$\frac{\partialz}{\partialy}=$________。5.微分方程$y''3y'+2y=0$的特征方程為________。三、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.求$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$。2.設(shè)函數(shù)$y=\ln(1+x^2)$，求$y'$。3.計(jì)算定積分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx$。4.求微分方程$y'+2y=0$的通解。四、應(yīng)用題（15分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=200+5x+\frac{1}{2}x^2$（單位：元），其中$x$為產(chǎn)品的產(chǎn)量。已知該產(chǎn)品的銷售單價(jià)為25元，問產(chǎn)量為多少時(shí)，工廠可獲得最大利潤？最大利潤是多少？高等數(shù)學(xué)技術(shù)試題答案一、選擇題1.要使函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x1)}$有意義，則$\begin{cases}x1>0\\\ln(x1)\neq0\end{cases}$，即$\begin{cases}x>1\\x1\neq1\end{cases}$，解得$x>1$且$x\neq2$，所以定義域是$(1,2)\cup(2,+\infty)$，答案選C。2.根據(jù)重要極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinax}{x}=a$，所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3$，答案選D。3.根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)'=nx^{n1}$，對(duì)$y=x^3+3x^21$求導(dǎo)得$y'=3x^2+6x$，答案選A。4.先求$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)$y'=2x$，在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率$k=y'\vert_{x=1}=2$，由點(diǎn)斜式可得切線方程為$y1=2(x1)$，即$y=2x1$，答案選A。5.根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq1)$，所以$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$，答案選A。6.令$u=2x+1$，則$du=2dx$，$\intf(2x+1)dx=\frac{1}{2}\intf(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C=\frac{1}{2}F(2x+1)+C$，答案選B。7.對(duì)$y'=2x$兩邊積分得$y=\int2xdx=x^2+C$，答案選A。8.根據(jù)向量點(diǎn)積公式$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，所以$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-1)+3\times0=0$，答案選A。9.對(duì)$z=x^2y$關(guān)于$x$求偏導(dǎo)數(shù)，把$y$看作常數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)'=nx^{n1}$，可得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$，答案選A。10.二重積分$\iint\limits_{D}1d\sigma$表示區(qū)域$D$的面積，區(qū)域$D$是邊長為1的正方形，其面積為1，所以$\iint\limits_{D}1d\sigma=1$，答案選B。二、填空題1.根據(jù)重要極限$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$，則$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{2x}=\left[\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\right]^2=e^2$。2.根據(jù)求導(dǎo)公式$(\sinx)'=\cosx$，所以函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)$y'=\cosx$。3.根據(jù)積分公式$\int_{a}^xdx=\frac{1}{2}x^2\vert_{a}^$，則$\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}x^2\vert_{0}^{1}=\frac{1}{2}(1^20^2)=\frac{1}{2}$。4.對(duì)$z=e^{xy}$關(guān)于$y$求偏導(dǎo)數(shù)，把$x$看作常數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得$\frac{\partialz}{\partialy}=xe^{xy}$。5.對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次微分方程$y''+py'+qy=0$，其特征方程為$r^2+pr+q=0$，所以微分方程$y''3y'+2y=0$的特征方程為$r^23r+2=0$。三、計(jì)算題1.對(duì)$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$，分子因式分解得$\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。2.已知$y=\ln(1+x^2)$，令$u=1+x^2$，則$y=\lnu$，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則$y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$，$\frac{du}{dx}=2x$，所以$y'=\frac{2x}{1+x^2}$。3.根據(jù)積分公式$\int\sinxdx=-\cosx+C$，則$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=-\cosx\vert_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(\cos\frac{\pi}{2}-\cos0)=-(01)=1$。4.對(duì)于微分方程$y'+2y=0$，分離變量得$\frac{dy}{y}=-2dx$，兩邊積分得$\int\frac{dy}{y}=-\int2dx$，即$\ln\verty\vert=-2x+C_1$，所以$y=Ce^{-2x}$（$C=\pme^{C_1}$），這就是該微分方程的通解。四、應(yīng)用題利潤函數(shù)$L(x)=R(x)-C(x)$，其中$R(x)$為收入函數(shù)，$R(x)=25x$，$C(x)=200+5x+\frac{1}{2}x^2$，則$L(x)=25x-(200+5x+\frac{1}{2}x^2)=\frac{1}{2}x^2+20x200$。對(duì)$L(x)$