2025年極限相關(guān)的題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在2.已知\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)等于（）A.\(e\)B.\(e^{-1}\)C.0D.13.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=B\)，則\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]\)等于（）A.\(A+B\)B.\(A-B\)C.\(AB\)D.\(\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）4.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(f(x)=x^2\)是\(g(x)=x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價(jià)無窮小5.\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)的值為（）A.2B.4C.0D.不存在6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x\to1\)時(shí)的極限是（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在7.已知\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.28.若\(\lim\limits_{x\to+\infty}a^x=0\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a\gt1\)B.\(0\lta\lt1\)C.\(a\lt0\)D.\(a=1\)9.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.2C.0D.110.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-3x+1}\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.0C.\(\infty\)D.\(\frac{2}{3}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限存在的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，下列哪些是無窮小量（）A.\(x\)B.\(x^2\)C.\(\sinx\)D.\(\cosx-1\)3.極限運(yùn)算法則中，正確的有（）A.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)\)B.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)\cdot\lim\limits_{x\toa}g(x)\)C.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\toa}f(x)}{\lim\limits_{x\toa}g(x)}\)（\(\lim\limits_{x\toa}g(x)\neq0\)）D.\(\lim\limits_{x\toa}kf(x)=k\lim\limits_{x\toa}f(x)\)（\(k\)為常數(shù)）4.下列函數(shù)在\(x\to\infty\)時(shí)極限為0的有（）A.\(y=\frac{1}{x^2}\)B.\(y=\frac{1}{x}\sinx\)C.\(y=2^{-x}\)D.\(y=\frac{x}{x^2+1}\)5.關(guān)于等價(jià)無窮小，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，正確的有（）A.\(\sinx\simx\)B.\(\tanx\simx\)C.\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)D.\(e^x-1\simx\)6.極限\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)存在的充要條件是（）A.\(\lim\limits_{x\toa^+}f(x)\)存在B.\(\lim\limits_{x\toa^-}f(x)\)存在C.\(\lim\limits_{x\toa^+}f(x)=\lim\limits_{x\toa^-}f(x)\)D.\(f(a)\)有定義7.當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，下列函數(shù)極限為\(+\infty\)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=-x^2\)8.已知函數(shù)\(f(x)\)，\(g(x)\)，若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=0\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=\infty\)，則（）A.\(\lim\limits_{x\toa}f(x)g(x)\)可能為0B.\(\lim\limits_{x\toa}f(x)g(x)\)可能為\(\infty\)C.\(\lim\limits_{x\toa}f(x)g(x)\)可能為常數(shù)D.\(\lim\limits_{x\toa}f(x)g(x)\)一定不存在9.下列極限中，屬于\(\frac{0}{0}\)型未定式的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)10.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處極限存在與函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的關(guān)系是（）A.極限存在不一定連續(xù)B.連續(xù)則極限一定存在C.極限存在且等于函數(shù)值則連續(xù)D.極限不存在則一定不連續(xù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處極限存在，則\(f(a)\)一定有定義。（）2.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(y=\frac{1}{x}\)是無窮小量。（）3.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=B\)，則\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB\)一定成立。（）4.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^3\)是比\(x^2\)高階的無窮小。（）5.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}=e^2\)。（）6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處極限不存在。（）7.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=\infty\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=\infty\)，則\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=0\)。（）8.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sin\frac{1}{x}\)的極限存在。（）9.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)。（）10.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=a\)處左右極限都存在，則\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)一定存在。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述極限的定義：極限是描述函數(shù)在某一過程中，因變量趨近于一個(gè)確定值的變化趨勢(shì)。對(duì)于函數(shù)\(y=f(x)\)，當(dāng)自變量\(x\)趨近于某一值\(a\)（或\(x\)趨近于\(+\infty\)、\(-\infty\)）時(shí)，若函數(shù)值\(f(x)\)無限趨近于一個(gè)常數(shù)\(A\)，則稱\(A\)為函數(shù)\(f(x)\)在該過程的極限。2.說明無窮小量與無窮大量的關(guān)系：在自變量的同一變化過程中，若\(f(x)\)為無窮大量，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮小量（\(f(x)\neq0\)）；反之，若\(f(x)\)為無窮小量且\(f(x)\neq0\)，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮大量。3.如何判斷一個(gè)極限是否為未定式？常見的未定式有哪些？：當(dāng)直接求極限時(shí)，出現(xiàn)\(\frac{0}{0}\)、\(\frac{\infty}{\infty}\)、\(0\cdot\infty\)、\(\infty-\infty\)、\(1^{\infty}\)、\(0^0\)、\(\infty^0\)等形式，就是未定式。常見的有\(zhòng)(\frac{0}{0}\)和\(\frac{\infty}{\infty}\)型。4.簡(jiǎn)述等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用：在求極限過程中，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，若函數(shù)表達(dá)式中某部分是無窮小量，可將其用等價(jià)無窮小替換，能簡(jiǎn)化極限計(jì)算。但替換時(shí)需注意整體替換或在乘除運(yùn)算中替換，加減運(yùn)算中一般不能隨意替換。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)例：在物理學(xué)中，計(jì)算瞬時(shí)速度，通過求位移函數(shù)在某一時(shí)刻的極限得到；在經(jīng)濟(jì)學(xué)里，計(jì)算邊際成本、邊際收益等，都是對(duì)成本、收益函數(shù)求極限，能幫助企業(yè)決策。在工程測(cè)量誤差分析等方面也有應(yīng)用，通過極限確定誤差范圍。2.分析極限存在與函數(shù)連續(xù)性的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)極限一定存在且等于函數(shù)值；區(qū)別：極限存在只關(guān)注函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)，函數(shù)在該點(diǎn)可以無定義；而連續(xù)要求函數(shù)在該點(diǎn)有定義，極限值等于函數(shù)值，函數(shù)圖像在該點(diǎn)不間斷。3.探討求極限的方法有哪些，以及它們的適用范圍：方法有：直接代入法（適用于函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的情況）；化簡(jiǎn)法（如因式分解、有理化等，適用于消除使分母為0的因子）；等價(jià)無窮小替換法（適用于\(x\to0\)時(shí)部分無窮小量的替換）；洛必達(dá)法則（適用于\(\frac{0}{0}\)或\(\frac{\infty}{\infty}\)型未定式）等。4.當(dāng)函數(shù)極限不存在時(shí)，可能出現(xiàn)哪些情況？舉例說明：情況有：函數(shù)值趨于無窮大，如\(x\to0\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)；左右極限不相等，如\(y=\begin{cases}1,&x\geq0\\-1,&x\lt0\end{cases}\)在\(x=0\)處；函數(shù)值在某點(diǎn)附近振蕩無極限，如\(