第頁第1章集合與常用邏輯用語全章綜合測試卷-基礎(chǔ)篇參考答案與試題解析一．選擇題1．下列命題是全稱量詞命題的是（）A．有一個偶數(shù)是素數(shù) B．至少存在一個奇數(shù)能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每個四邊形的內(nèi)角和都是360°【解題思路】直接利用全稱命題和特稱命題的定義判斷即可．【解答過程】解：A，有一個，存在性量詞，特稱命題，B，至少存在一個，存在性量詞，特稱命題，C，有些，存在性量詞，特稱命題，D，每個，全稱量詞，全稱命題，故選：D．2．設(shè)集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，則A∩B＝（）A．{x|x≥2} B．{x|x＜2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1≤x＜2}【解題思路】直接利用交集運算得答案．【解答過程】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|x≥2}∩{x|﹣1＜x＜3}＝{x|2≤x＜3}．故選：C．3．設(shè)a，b∈R，則“a＞b”是“abA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】取a＝2，b＝﹣1，得到充分性不成立；取a＝﹣2．b＝﹣1，得到必要性不成立．【解答過程】解：取a＝2，b＝﹣1，滿足a＞b，但是ab＜1，充分性不成立；取a＝﹣2．b＝﹣1，滿足ab＞1，但是a＜b，必要性不成立．∴設(shè)a，b∈R，則“a＞b4．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】通過x的取值，確定y的取值，推出B中所含元素的個數(shù)．【解答過程】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，當x＝3時，y＝1，2，滿足集合B．當x＝2時，y＝1，3；滿足集合B．當x＝1時，y＝2，3；滿足集合B．共有6個元素．故選：C．5．若命題“?x∈[1，4]時，x2﹣4x﹣m≠0”是假命題，則m的取值范圍（）A．[﹣4，﹣3] B．（﹣∞，﹣4） C．[﹣4，+∞） D．[﹣4，0]【解題思路】根據(jù)全稱命題是假命題，得到命題的否定是真命題，利用參數(shù)分離法進行求解即可．【解答過程】解：若命題“?x∈[1，4]時，x2﹣4x﹣m≠0”是假命題，則命題“?x∈[1，4]時，x2﹣4x﹣m＝0”是真命題，則m＝x2﹣4x，設(shè)f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，當1≤x≤4時，﹣4≤f（x）≤0則﹣4≤m≤0，故選：D．6．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【解題思路】根據(jù)“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，可得P?Q，再建立a的不等式組可求解．【解答過程】解：∵“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，∴P?Q，∴a?4≤1a+4≥3，∴﹣1≤a7．若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{3，4，5，6} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{4，5，6}【解題思路】由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），再利用集合的基本運算即可求解．【解答過程】解：由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，∴?RB＝{x|≥3}，∴A∩（?RB）＝{3，4，5，6}，故選：A．8．給出下列關(guān)系式：①0∈?；②﹣3∈Z；③{0}?{x|x2＝x}；④{0}?N*；⑤{1}?{（x，y）|2x?y=1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由元素與集合，集合與集合的關(guān)系依次判斷即可．【解答過程】解：①0??，故①錯誤，②﹣3∈Z，故②正確，③{0}?{x|x2＝x}＝{0，1}，即③正確，④{0}?N*，故④錯誤，⑤{1}?{（x，y）|2x?y=1x+4y=5}＝{（1，1）}，故⑤二．多選題9．如圖所示，陰影部分表示的集合是（）A．（?UB）∩A B．（?UA）∩B C．?U（A∩B） D．A∩?U（A∩B）【解題思路】由圖可得，陰影部分表示的集合包含于A，且包含于B的補集，從而得解．【解答過程】解：由圖可知，陰影部分表示的集合包含于A，且包含于B的補集，且包含于?U（A∩B），∴陰影部分表示的集合為：（?UB）∩A或A∩?U（A∩B），故選：AD．10．下列存在量詞命題中，是真命題的是（）A．?x∈Z，2x+xB．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除 C．?x∈R，|x|＜0 D．有些自然數(shù)是偶數(shù)【解題思路】解一元二次方程判斷A，舉實例判斷BC，根據(jù)絕對值的性質(zhì)判斷D．【解答過程】解：對于A，2x+x?1=0?2(x)2+x?1＝0，∴x=?1（舍去）或x=12，∴x=14?Z，∴A是假命題，對于B，當x＝6時，x能同時被2和3整除，∴B是真命題，對于C，對?x∈R，|x11．對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題，其中假命題是（）A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要條件 D．“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充分不必要條件【解題思路】根據(jù)充分、必要性的推出關(guān)系，判斷各選項條件間的關(guān)系，能求出結(jié)果．【解答過程】解：對于A，a＝b?ac＝bc，當c＝0，ac＝bc時，a與b不一定相等，故A是假命題；對于B，若a＝1＞b＝﹣2時，充分性不成立，故B是假命題；對于C，a＜5不一定a＜3，但a＜3必有a＜5，∴“a＜5”是“a＜3”的必要條件，故C是真命題；對于D，a+5是無理數(shù)，則a是無理數(shù)，若a是無理數(shù)，則a+5是無理數(shù)，∴“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件，故D是假命題．故選：ABD．三．填空題12.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩?UA＝{6，7}．【解題思路】進行交集和補集的運算即可．【解答過程】解：∵?UA＝{1，6，7}，∴B∩?UA＝{6，7}．故答案為：{6，7}．13.已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2]．【解題思路】由p是q的必要不充分條件，得到（2，3）?（a，+∞），即可求解．【解答過程】解：∵p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，∴（2，3）?（a，+∞），∴a≤2，∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2]，故答案為：（﹣∞，2]．14.已知命題P：?x≤3，2x﹣1≥a是真命題，則a的最大值為5．【解題思路】利用特稱命題為真命題，建立不等式關(guān)系進行求解即可．【解答過程】解：∵當x≤3時，則2x﹣1≤5．∴若命題“命題P：?x≤3，2x﹣1≥a是真命題，則a≤2×3﹣1＝5，即實數(shù)a的最大值為5，故答案為：5．四．解答題15.設(shè)關(guān)于x的不等式ax﹣3＞2x+a的解集為M．（1）求M；（2）若﹣1∈M且0?M，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）分a＝2和a≠2兩種情況討論．（2）利用﹣1∈M且0?M求解．【解答過程】解：（1）∵ax﹣3＞2x+a?（a﹣2）x＞a+3，當a＝2時，M＝?，當a＞2時，M=(a+3a?2，+∞)，當a＜2（2）∵﹣1∈M且0?M，∴?(a?2)＞a+316.已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a﹣4≤x≤a﹣1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件得集合A是B的真子集，即可求得答案．【解答過程】解：由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件得集合A是B的真子集，∴a?4≤1a?1≥3，∴4≤a≤5，∴實數(shù)a17.已知集合A＝{x|﹣1＜x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}．（1）若a＝3，求圖中陰影部分M；（2）若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）由韋恩圖確定集合M＝（?UA）∩B，從而可求得結(jié)果；（2）由B?A，可得不等式，注意B＝?．【解答過程】解：（1）a＝3時，B＝{x|4≤x≤8}，由韋恩圖可知，M＝（?UA）∩B，因為A＝{x|﹣1＜x≤5}所以?UA＝{x|x≤﹣1或x＞5}，所以M＝{x|5＜x≤8}；（2）當B＝?時，3a﹣1＜a+1，解得a＜1，此時B?A成立；當B≠?時，3a﹣1≥a+1，解得a≥1，因為B?A，所以a+1＞?13a?1≤5，解得1≤綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2]．18.已知集合A＝{x|1≤x﹣1≤4}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，C＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}．（1）若x∈C是“x∈A”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若（A∩B）?C，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）求出集合A，利用x∈C是“x∈A”的充分條件，列出不等式組，由此能求出實數(shù)a的取值范圍；（2）利用交集定義求出A∩B，利用（A∩B）?C，列出不等式組，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．【解答過程】解：（1）集合A＝{x|1≤x﹣1≤4}＝{x|2≤x≤5}，C＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}，∵x∈C是“x∈A”的充分條件，∴2a+1≤52a?1≥2∴實數(shù)a的取值范圍是[32，（2）∵集合A＝{x|1≤x﹣1≤4}＝{x|2≤x≤5}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，C＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，（A∩B）?C，∴2a?1＜22a+1＞∴實數(shù)a的取值范圍是（1，3219.已知命題P：?x∈R，使x2﹣4x+m＝0為假命題．（1）求實數(shù)m的取值集合B；（2）設(shè)A＝{x|3a＜x＜a+4}為非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）通過討論m的