專題04矩形的判定內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)01：矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義法：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；2.對角線相等的平行四邊形是矩形；3.有三個角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.【題型1矩形的判定定理理解】例題：（重慶市巴南區(qū)2024-2025學(xué)年下學(xué)期九年級半期測試數(shù)學(xué)試題卷）滿足下列條件的四邊形是矩形的是（

）A．對角線互相垂直的平行四邊形 B．對角線相等的平行四邊形C．對角線互相平分且垂直的四邊形 D．四邊相等的四邊形【答案】B【知識點(diǎn)】矩形的判定定理理解【分析】本題考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．利用矩形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不一定是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；B.對角線相等的平行四邊形是矩形，故該選項(xiàng)符合題意；C.對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不一定是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；D.四邊相等的四邊形是菱形，不一定是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）下列說法中，不正確的是（

）A．有一個角是直角的四邊形是矩形 B．有一組鄰角相等的平行四邊形是矩形C．有一組對角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形 D．有三個角是直角的四邊形是矩形【答案】A【知識點(diǎn)】矩形的判定定理理解【分析】本題考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵；根據(jù)矩形的幾種判定方法進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，原說法錯誤，符合題意；B、由于平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，當(dāng)一組鄰角相等時，這兩個角為直角，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得出結(jié)論，原說法正確，不符合題意；C、根據(jù)平行四邊形的對角相等及互補(bǔ)，得對角相等且為直角，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得出結(jié)論，原說法正確，不符合題意；D、有三個角是直角的四邊形是矩形，原說法正確，不符合題意；故選：A．2．（24-25九年級下·江蘇南京·期中）能夠判定一個四邊形是矩形的條件為（

）A．四條邊都相等 B．對角線互相平分C．四個角都相等 D．對角線互相垂直【答案】C【知識點(diǎn)】矩形的判定定理理解、證明四邊形是菱形、證明四邊形是平行四邊形【分析】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定，根據(jù)以上判定定理逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握以上判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、四條邊都相等的四邊形是菱形，該選項(xiàng)不合題意；、對角線互相平分的四邊形是平行四邊，該選項(xiàng)不合題意；、四個角都相等的四邊形是矩形，該選項(xiàng)符合題意；、對角線互相垂直的四邊形不一定是矩形，該選項(xiàng)不合題意；故選：．3．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）有下列說法：①四個角都相等的四邊形是矩形；②兩組對邊分別相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．其中，正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【知識點(diǎn)】矩形的判定定理理解【分析】本題考查矩形的判定，根據(jù)矩形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：四個角都相等的四邊形是矩形，故①說法正確；兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故②說法正確；對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．故③說法正確；故選D．【題型2添一條件使四邊形是矩形】例題：（24-25八年級下·廣東江門·期中）中，再添加一個條件，就可判定四邊形為矩形．【答案】（答案不唯一）【知識點(diǎn)】添一條件使四邊形是矩形【分析】本題考查了矩形的判定定理，根據(jù)矩形的判定定理即可解答，熟練掌握矩形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：中，再添加，就可判定四邊形為矩形，故答案為：（答案不唯一）．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·黑龍江牡丹江·期中）已知平行四邊形，請從①；②，③，④的四個條件中，任選一個作為補(bǔ)充條件，使得平行四邊形是矩形，可以是【答案】②③/③②【知識點(diǎn)】添一個條件使四邊形是菱形、添一條件使四邊形是矩形【分析】此題考查了矩形和菱形的判定，根據(jù)矩形和菱形的判定逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，故①不滿足題意；∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，故②滿足題意；∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，故③滿足題意；∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，故④不滿足題意；故答案為：②③2．（24-25八年級下·江蘇徐州·期中）如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，且，連接，，，．若添加一個條件使四邊形是矩形，則該條件可以是．（填寫一個即可）【答案】（答案不唯一）【知識點(diǎn)】添一條件使四邊形是矩形【分析】此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：，理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴．即．∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．故答案為：（答案不唯一）．3．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）四邊形是平行四邊形，加上條件或，就可以使四邊形是矩形；加上條件或，就能使四邊形是菱形．【答案】【知識點(diǎn)】添一條件使四邊形是矩形、添一個條件使四邊形是菱形【分析】本題主要考查了矩形和菱形的判定，有一個角是直角或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直的平行四邊形是菱形，據(jù)此可得答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，加上條件或就可以使四邊形是矩形；加上條件或，就能使四邊形是菱形．故答案為：；；；．【題型3證明四邊形是矩形】例題：（24-25八年級下·福建龍巖·期中）如圖，在中，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊上，，連接，．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)證明、證明四邊形是矩形【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定方法．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)得到，，再結(jié)合題目條件，得到且，可證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)得到即可證明四邊形是矩形．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴且，∴四邊形是平行四邊形．又∵，∴，∴四邊形是矩形；【變式訓(xùn)練】1．（2025·吉林長春·二模）如圖，在中，，點(diǎn)D是延長線上一點(diǎn)，，過點(diǎn)A和點(diǎn)D分別作，和相交于點(diǎn)E，連結(jié)．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定等知識；先證明四邊形是平行四邊形，得；再證明四邊形是平行四邊形，最后由即可證明四邊形是矩形．【詳解】解：，，四邊形是平行四邊形．．，．，四邊形是平行四邊形．，是矩形．2．（2025·北京海淀·二模）如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】證明四邊形是平行四邊形、證明四邊形是矩形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再證明．則．即可證明四邊形是平行四邊形；（2）證明是直角三角形，．即可證明四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：，．，．，．．四邊形是平行四邊形．（2）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，．，．是直角三角形，．四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識，證明四邊形是平行四邊形是關(guān)鍵．3．（2025·山東青島·二模）如圖，平行四邊形，延長至，延長至，使，連接、．(1)證明：；(2)若是中點(diǎn)，平分，則邊與滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形是矩形？證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析；(2)，證明見解析．【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、全等三角形綜合問題、證明四邊形是矩形、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識的綜合，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，且，由此即可求證；（2）根據(jù)題意得到四邊形是平行四邊形，設(shè)，，由勾股定理得到，則，結(jié)合矩形的判定即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，．（2）解：，理由如下，證明：四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，平分，，，，，，

∵是中點(diǎn)，，設(shè)，，，，，平行四邊形是矩形．【題型4根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度、線段長、面積】例題：（24-25八年級下·吉林通化·期末）如圖平行四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)O，且，，則．【答案】【知識點(diǎn)】等邊對等角、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度【分析】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意證得四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)即可計算出的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是矩形，，，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)P為斜邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，，垂足分別為D，E，連接．若，，則的最小值．【答案】【知識點(diǎn)】垂線段最短、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，連接，證明四邊形是矩形，得出，再根據(jù)當(dāng)時，最短，即可推出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，∵、，，∴四邊形是矩形，∴，在中，由勾股定理得，，由題意可知，當(dāng)時，最短，，即的最小值為，故答案為：．2．（24-25八年級下·北京·期中）如圖，等腰三角形，其中，，、分別在、上，四邊形為菱形，若，，則長為．【答案】3【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定與性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．如圖：過F作，連接交于O，先說明四邊形是矩形可得；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可得，進(jìn)而得到，即即可解答．【詳解】解：如圖：過F作，連接交于O，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，∴，即，∵，∴，∴．故答案為：3．3．（24-25八年級下·重慶江津·期中）如圖，點(diǎn)P是矩形的對角線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，分別交于點(diǎn)E、F，連接．若，，則圖中的面積為，陰影部分的面積為．【答案】21【知識點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積【分析】本題考查矩形的判定和性質(zhì)、三角形的面積.由矩形的判定和性質(zhì)得到，，，，，即可得到，計算即可.【詳解】解：作于M，交于N，如圖，

則四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，∴，∴，，，，，∴，∴圖中陰影部分的面積．故答案為：；21．【題型5根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】例題：（2024·福建三明·二模）如圖，在中，，，把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D與點(diǎn)B對應(yīng)，點(diǎn)D恰好落在上，過E作交的延長線于點(diǎn)F，連接并延長交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】連接，可證四邊形是矩形，，即可判斷①③；根據(jù)①③的結(jié)論可推出垂直平分，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，從而可判斷②；證明，推出，設(shè)，推出，，判斷④即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵，，∴由題意得：∴∴∴∵，∴∴四邊形是矩形，∴，，∴∵∴∴∴∴∴∴點(diǎn)是的中點(diǎn)即：，故①正確；∵，∴∵∴∴同理可證∴，故③正確；∵∴垂直平分∴∵∴是等腰直角三角形∴∵∴，故②正確；∵，∴，∴，∴，設(shè)，則：，∴，∴，∴；故④正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、斜中半定理等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)．【變式訓(xùn)練】1.（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖，在四邊形中，，相交于點(diǎn)，且，動點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿四邊形的邊運(yùn)動至點(diǎn)停止，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．連接，下列結(jié)論中：①四邊形是矩形；②當(dāng)時，點(diǎn)是的中點(diǎn)；③當(dāng)，時，線段長度的最大值為2；④當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時，是等邊三角形，其中正確的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的判定，平行線的性質(zhì)等等，由對角線互相平分且相等的四邊形是矩形證明四邊形是矩形，即可判斷①；可證明是中位線，，而點(diǎn)E可以在上，也可以在上，據(jù)此可判斷②；根據(jù)，則有最大值時，有最大值，則點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，的最大值為4，則長度的最大值為2，據(jù)此可判斷③；不平行，則，據(jù)此可判斷④．【詳解】解：∵，∴，即，∴四邊形是矩形，故①正確；當(dāng)點(diǎn)E在上時，∵分別是的中點(diǎn)，∴是中位線，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)E在上時，同理可得，但此時點(diǎn)不是的中點(diǎn)，故②錯誤；由②可知，，∵點(diǎn)E沿四邊形的邊運(yùn)動至點(diǎn)停止，且∴的最大值為4，此時點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴的最大值為2，故③正確；當(dāng)點(diǎn)在邊上，∵不平行，∴，∴不可能是等邊三角形，故④錯誤；∴正確的有①③，共2個，故選；B．2.（23-24九年級上·福建漳州·期中）如圖，矩形中，，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，四邊形是菱形．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】證，得出，，判斷①；證，得出，，判斷③；證四邊形是平行四邊形，得出，判斷②；證四邊形是平行四邊形，證出，則，得出四邊形是菱形；判斷④；即可得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，故①正確；在和中，，，，，故③正確；，即，，四邊形是平行四邊形，，故②正確；，，，，四邊形是平行四邊形，，，是等邊三角形，，，，，，，四邊形是菱形；故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3.（24-25八年級下·四川宜賓·期末）如圖，菱形的邊長為6，對角線相交于O，垂直平分，垂足為E；另有一動點(diǎn)P在上運(yùn)動，過點(diǎn)P作垂直交于點(diǎn)M，垂直交于點(diǎn)N，連接，．下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②菱形的面積為；③；④的最小值為．

【答案】①②③④【分析】先根據(jù)菱形，得，，，，，再根據(jù)垂直平妥線的性質(zhì)可證得是等邊三角形，得，從而可得出，查判定①正確；根據(jù)菱形的性質(zhì)與勾股定理求得，則，根據(jù)菱形的面積公式可得，或判定②正確；證明是的中位線，得，證明四邊形是矩形，得，則，可判定③正確；根據(jù)動點(diǎn)P在上運(yùn)動，所以當(dāng)時，此時最小，利用面積法可求出最小值是，再根據(jù)矩形的性質(zhì)知，所以當(dāng)最小時，最小，即可求得的最小值為，可判定④正確．【詳解】解：∵菱形，∴，，，，，∵垂直平分，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，故①正確；∵菱形的邊長為6，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，故②正確；∵垂直平分，∴是的中位線，∴，∵垂直交于點(diǎn)M，垂直交于點(diǎn)N，∴∴四邊形是矩形，∴∴，故③正確；∵動點(diǎn)P在上運(yùn)動，∴當(dāng)時，此時最小，在中，∴∴∵四邊形是矩形，∴∴當(dāng)最小時，最小，∴的最小值為，故④正確．綜上，正確的有①②③④共4個，故答案為①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，此題屬四邊形綜合題目，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6矩形的性質(zhì)與判定的綜合問題】例題：（2025·云南昭通·二模）如圖，菱形的對角線與相交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使．分別以D，E為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，連接，求的長．【答案】(1)見解析(2)的長為【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形、二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)證明【分析】（1）由菱形的性質(zhì)結(jié)合作圖證明，則．再證明，則．可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）由（1）知，，．可得，則．求解，可得．結(jié)合四邊形是矩形，再利用勾股定理可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：在菱形中，，，，是菱形的對角線，．由題知，，則，結(jié)合作圖可得：平分，，，則．，．是菱形的對角線，．，則．∴四邊形是平行四邊形．菱形的對角線與相交于點(diǎn)，，四邊形是矩形．（2）解：由（1）知，，．在菱形中，，，則．在Rt中，，．四邊形是矩形，．在Rt中，．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的運(yùn)算，熟記矩形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2025·云南楚雄·一模）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點(diǎn)O，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若四邊形的周長為18，，求平行線與間的距離．【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形、利用菱形的性質(zhì)證明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】（1）首先由菱形得到，，然后證明出四邊形是平行四邊形，然后結(jié)合即可得到四邊形是矩形；（2）首先得到，然后由菱形求出，然后勾股定理求出，然后利用完全平方公式的變形得到，然后利用菱形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形；（2）解：矩形的周長為18，．四邊形是菱形，，，，，根據(jù)勾股定理得，，．設(shè)平行線與間的距離為h，，．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定，勾股定理，菱形的性質(zhì)，完全平方公式的變形等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．2．（2025·云南昆明·二模）如圖，已知四邊形是菱形，延長到點(diǎn)E使，延長到點(diǎn)F使，連接，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若平分，菱形的邊長為4，求矩形的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形、利用菱形的性質(zhì)證明、利用二次根式的性質(zhì)化簡、用勾股定理解三角形【分析】（1）根據(jù)，，得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)四邊形是菱形，得出，結(jié)合，，得出，即可證明四邊形是矩形．（2）根據(jù)四邊形是菱形，得出，，即可得，結(jié)合平分，證明，證出，得出，，在中，根據(jù)勾股定理求出，即可求出四邊形的面積．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，又∵，，∴，∴四邊形是矩形．（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵菱形的邊長為4，∴，，∵四邊形是矩形，∴，∵中，，∴，∴，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】該題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）四邊形中，，(1)如圖1，求證：四邊形為矩形．(2)如圖1，為延長線上一點(diǎn)，連分別為的中點(diǎn)，，求．(3)如圖2，點(diǎn)為中點(diǎn)，將沿折疊到，點(diǎn)落點(diǎn)在，射線交邊于，則___________．【答案】(1)見解析(2)9(3)【知識點(diǎn)】與三角形中位線有關(guān)的求解問題、證明四邊形是矩形、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一個角是的平行四邊形是矩形即可證明結(jié)論；（2）如圖：延長至E，使得，連接，則，易證可得，再證明是的中位線，最后根據(jù)中位線的性質(zhì)即可解答．（3）如圖：連接，由矩形的性質(zhì)、中點(diǎn)的定義、折疊的性質(zhì)可得、，易證可得，進(jìn)而得到；設(shè)，則、、、，再由勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴．（2）解：如圖：延長至E，使得，連接，則，∵∴，∴，∵G為的中點(diǎn)，∴，∴，即，∵P為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．（3）解：如圖：連接，∵四邊形為矩形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵將沿折疊到，點(diǎn)落點(diǎn)在，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，即，設(shè)，則，在中，，在中，，在中，，∵，∴，∴，解得：．∴．【題型7與矩形的性質(zhì)與判定有關(guān)的作圖】例題：（2025·湖北恩施·一模）菱形的對角線交于點(diǎn)O，E為邊的中點(diǎn)．(1)按要求畫出圖形，不寫作法，保留作圖痕跡．連接并延長至點(diǎn)F，使得，連接；(2)請判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形是矩形，理由見解析【知識點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)證明、證明四邊形是矩形、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．（1）按要求畫出圖形即可；（2）證明四邊形是平行四邊形，即可．【詳解】（1）解：如右圖所示：（2）解：四邊形是矩形，理由如下：∵E為邊的中點(diǎn)，∴∵∴四邊形是平行四邊形，∵菱形的對角線交于點(diǎn)O，∴，∴平行四邊形是矩形．【變式訓(xùn)練】1．（2025·湖北恩施·二模）如圖，在平行四邊形中，M為的中點(diǎn)，．(1)按要求尺規(guī)作圖：延長至點(diǎn)N，使得，并連接；(2)判定四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形是矩形，理由見解析【知識點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)、證明四邊形是矩形、利用平行四邊形的性質(zhì)證明【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定．（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)求得，，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)，即可證明四邊形是矩形．【詳解】（1）解：所作圖形如圖，；（2）解：四邊形是矩形，理由如下，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，，∴，，∵，∴，∴，∵平行四邊形，∴，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．2．（2025·廣東東莞·二模）如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)O．(1)尺規(guī)作圖：在邊的左側(cè)，作，使．(2)在（1）的條件下，連接．求證：四邊形為矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】尺規(guī)作一個角等于已知角、證明四邊形是矩形、利用菱形的性質(zhì)證明【分析】本題考查了作一個角等于已知角，菱形的性質(zhì)，矩形的判定等知識，掌握菱形的性質(zhì)，正確作出圖形，是解答本題的關(guān)鍵．（1）作一個角等于已知角，再取，即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)有：，，，再證明，問題即可證明．【詳解】（1）如圖，即為所求．（2）證明：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形．3．（2024·湖北恩施·二模）如圖，已知是等腰三角形，，是邊上的中線．(1)請按要求作出圖形：在的右側(cè)求作一點(diǎn)E，使得，，并連接（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)、三線合一、證明四邊形是矩形【分析】本題主要考查了線段的尺規(guī)作圖，三線合一定理，矩形的判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫弧，以點(diǎn)D為圓心，的長為半徑畫弧，二者交于點(diǎn)E，連接，則點(diǎn)E和線段即為所求；（2）可證明四邊形是平行四邊形，得到，再由三線合一定理得到，據(jù)此可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：如圖所示，連接，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵是等腰三角形，，是邊上的中線，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形．一、單選題1．（24-25九年級下·重慶大足·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形B．有兩個角相等的平行四邊形是矩形C．兩條對角線相等的四邊形是矩形D．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是矩形【答案】A【知識點(diǎn)】矩形的判定定理理解【分析】本題考查了矩形的判定定理，根據(jù)矩形的判定定理逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握矩形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故原說法正確，符合題意；B、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故原說法錯誤，不符合題意；C、兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故原說法錯誤，不符合題意；D、兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原說法錯誤，不符合題意；故選：A．2．（24-25八年級下·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，添加下列條件后，可以得到四邊形是矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】添一條件使四邊形是矩形【分析】本題考查了矩形的判定，根據(jù)矩形判定性質(zhì)逐一判斷即可，熟知矩形的判定法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；B、四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形，故該選項(xiàng)符合題意；C、四邊形是平行四邊形，，故該選項(xiàng)不符合題意；D、四邊形是平行四邊形，，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，對角線、相交于點(diǎn)O，且，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)證明、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的判定得到四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)求出，由角的和差關(guān)系求出，再根據(jù)等邊對等角求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴故選：A．4．（24-25八年級下·湖北荊州·期中）如圖，分別為的邊的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，下面兩位同學(xué)進(jìn)行了補(bǔ)充作圖．聰聰：以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作弧，交于點(diǎn)．明明：分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．下列關(guān)于以為頂點(diǎn)的四邊形的說法正確的是（

）A．聰聰作的四邊形是菱形 B．明明作的四邊形是菱形C．聰聰作的四邊形是矩形 D．明明作的四邊形是矩形【答案】C【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形、證明四邊形是菱形、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】根據(jù)聰聰?shù)淖鞣ǎC明，得到，從而可得到，可判定聰聰作的四邊形是矩形；根據(jù)明明的作法，證明，得到，，可判定明明作的四邊形是平行四邊形．即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∵分別為的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，由聰聰作圖可知：，∴，∴四邊形是矩形，故A選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)不符合題意；∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形，故B、D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形和菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．5．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是對角線上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．對于下列兩個結(jié)論：①當(dāng)時，點(diǎn)在的平分線上；②線段的長的最小值為．

下列判斷正確的是（

）A．①②都對 B．①②都錯 C．①錯，②對 D．①對，②錯【答案】D【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、三線合一【分析】連接，，根據(jù)勾股定理求出的值，當(dāng)時，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)在的平分線上；根據(jù)題意可得四邊形是矩形，故，當(dāng)時，有最小值，根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在的平分線上；故①正確；，，，四邊形是矩形，，當(dāng)時，有最小值，此時，，，故②錯誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（24-25八年級下·湖南長沙·期中）如圖，小美用釘子將四根木棍訂成了一個平行四邊形框架，現(xiàn)固定，轉(zhuǎn)動．當(dāng)時，四邊形的面積最大，此時四邊形是形．【答案】90矩【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形【分析】本題考查了矩形的判定，過作于點(diǎn)，再根據(jù)題意，當(dāng)即可求解，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：的面積為，∵不變，∴當(dāng)時，面積最大，∴，∴是矩形，故答案為：90，矩．7．（24-25八年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)，動點(diǎn)以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，點(diǎn)同時以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，若，則經(jīng)過秒時，四邊形是矩形．【答案】或【知識點(diǎn)】添一條件使四邊形是矩形、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握矩形的判定是解題關(guān)鍵．設(shè)經(jīng)過秒時，四邊形是矩形，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，再分兩種情況：①和②，證出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定可得要使平行四邊形是矩形，則需，即，由此即可得．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過秒時，四邊形是矩形，由題意得：，∵，∴點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)所需時間為秒；當(dāng)點(diǎn)相遇時，，解得，此時，點(diǎn)在點(diǎn)相遇，∵四邊形是平行四邊形，，∴．①如圖1，在點(diǎn)相遇前，即，∴，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，要使平行四邊形是矩形，則需，即，∴，解得，符合題設(shè)；②如圖2，在點(diǎn)相遇后，即，∴，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，要使平行四邊形是矩形，則需，即，∴，解得，符合題設(shè)；綜上，經(jīng)過或秒時，四邊形是矩形，故答案為：或．8．（2025·遼寧沈陽·二模）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)E在邊上，將沿向上折疊，若點(diǎn)B與點(diǎn)D恰好重合，則的長為．【答案】5【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、折疊問題【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先證明四邊形是矩形，再結(jié)合折疊性質(zhì)得，，根據(jù)勾股定理得，然后代入數(shù)值進(jìn)行計算，即可作答．【詳解】解：過點(diǎn)C作的延長線上，∵，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵折疊，∴，即，∵，，∴，∴在中，，即，解得，故答案為：59．（24-25八年級下·河南漯河·期中）如圖，平行四邊形中，，，，G是的中點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時，四邊形是矩形，當(dāng)時，四邊形是菱形．【答案】3.52【知識點(diǎn)】證明四邊形是菱形、證明四邊形是矩形【分析】本題考查了菱形的判定，矩形的判定，先證明四邊形是平行四邊形，第一空求出，推出，根據(jù)矩形的判定推出即可；第二空求出是等邊三角形，推出，根據(jù)菱形的判定推出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵G是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；當(dāng)時，平行四邊形是矩形，理由是：過A作于M，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形；當(dāng)時，四邊形是菱形，理由是：∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，故答案為：3.5；2．10．（2025·江蘇南通·二模）圖1為《天工開物》記載的用于舂（）搗谷物的工具———“碓（）”的結(jié)構(gòu)簡圖，圖2為其平面示意圖．已知于點(diǎn)，與水平線相交于點(diǎn)，．若，，，則點(diǎn)到水平線的距離為（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，取1.414，取）．【答案】【知識點(diǎn)】含30度角的直角三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、化為最簡二次根式、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，證明四邊形是矩形，利用勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，故答案為：．三、解答題11．（24-25八年級下·新疆喀什·期中）如圖，在中，，平分，，．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形、三線合一【分析】此題考查矩形的判定定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)定理，熟記定理并運(yùn)用解題是關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，求出，，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形．12．（24-25八年級下·山西呂梁·期中）如圖，在中，，為外角的平分線，為底邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)在不增加輔助線和字母的前提下，請?zhí)砑右粋€條件：_____，使得四邊形為矩形．【答案】(1)平行四邊形，理由見解析(2)【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角的定義及性質(zhì)、添一條件使四邊形是矩形、證明四邊形是平行四邊形【分析】本題主要考查平行四邊形的判定，矩形的判定以及平行線的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到，以及三角形外角和定理得到，證明，證明，即可證明結(jié)論．（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形添加條件即可．【詳解】（1）解：平行四邊形，理由如下：，，為外角的平分線，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：在不增加輔助線和字母的前提下，令，則四邊形是矩形．故答案為：．13．（24-25八年級下·河南洛陽·期中）如圖，，是中點(diǎn)，，．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，，是上一點(diǎn)，且，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、證明四邊形是矩形、三線合一【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可證，，從而可證，又因?yàn)?，根?jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形是